第三章 基于谓词逻辑的机器推理
第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
人工智能第三章谓词逻辑与归结原理
• 所以要考虑置换与合一。即对变量 作适当的替换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换
• 置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用 置换项去置换变量。
• 定义： 置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}的有限集合。其 中，x1, x2, …, xn是互不相同的变量，t1, t2, …, tn是 不同于xi的项（常量、变量、函数）；ti/xi表示用ti 置换xi，并且要求ti与xi不能相同，而且xi不能循环 地出现在另一个ti中。
例如： {a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。 {g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
置换的合成
• 设＝{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}， ＝{u1/y1, u2/y2, …, un/yn}，是两个置换。 则与的合成也是一个置换，记作·。它是从集合
• 最一般合一求取方法
– 令W={F1,F2} – 令k=0,W0=W, σ0=ε – 如果Wk已合一，停止， σk=mgu,否则找Dk – 若Dk中存在元素vk和tk，其中，vk不出现在tk中，转下一
步，否则，不可合一。 – 令σk+1= σk.{tk/vk},Wk+1=Wk{tk/vk}=W σk+1 – K=k+1转第3步。
《人工智能》第三章 谓词逻辑与归结原理
谓词归结子句形
• 子句与子句集
– 文字：不含任何连接词的谓词公式。 – 子句：一些文字的析取（谓词的和）。 – 空子句：不含任何文字的子句。记作NIL或
□ – 子句集：所有子句的集合。 – 对于任何一个谓词公式G，都可以通过
人工智能课后答案第三章
人工智能课后答案第三章本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.基于谓词逻辑的机器推理方法：自然演绎推理，归结演绎推理，基于规则的演绎推理。
2. 求下列谓词公式的子句集(1) x y(P(x,y) Q(x,y))解：去掉存在量词变为：P(a,b)Q(a,b) 变成子句集{ P(a,b),Q(a,b )}(2) x y(P(x,y) Q(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：x y(¬ P(x,y)Q(x,y)) 去掉全称量词变为：¬ P(x,y) Q(x,y) 变成子句集{ ¬ P(x,y) Q(x,y)}(3) {()[(,)(,,)]}x P x y zQ x z zR x y z ∀→∃∀∨∀()(,)(,(),)P x Q x z R x f x z ⌝∨∨(4)((,,,,,)(,,,,,)(,,,,,))x y z u v w P x y z y v w Q x y z y v w R x y z u v w ∃∀∃∃∀∃∨∧ {p(a,y,f(y),y,v,g(y,v)) Q(a,y,f(y),y,v,g(y,v)), p(a,x,f(x),x,z,g(x,z))R(a,x,f(x),h(x),z,g(x,z))} 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的（1）使用删除策略（2）归结 4.用合一算法求下列公式集的最一般合一。
（1）W={Q(a,x),Q(y,b)} 最一般合一为:{a/y,b/y} （2）{()((,))}W Q x y z Q u h v v u =，，，，，最一般合一为：{z/u,h(v,v)/y,z/x}或{x/u,h(v,v)/y,x/z}5.用归结原理证明，G 是否可肯定是F 的逻辑结果。
(1) F 1 (x)(P(x)(Q(x)∧R(x)) F 2 (x) (P(x) ∧S(x) G (x)(S(x) ∧R(x)) 证明：利用归结反演法，先证明F 1 ∨ F 2 ∨¬G 是不可满足的。
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
第3章 基于谓词逻辑的机器推理4
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
然后把上述各语句翻译为谓词公式： (1) x(R(x)→L(x)) (2) x(D(x)→乛L(x)) (3) x(D(x)∧I(x)) (4) x(I(x)∧乛R(x)) 已知条件
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
求题设与结论否定的标准型，得 (1)乛R(x)∨L(x) (2)乛D(y)∨乛L(y)
Kills ( Jack , Tuna ) False
Kills ( Jack , Tuna )
False
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
例 设已知： (1)能阅读者是识字的； (2)海豚不识字； (3)有些海豚是很聪明的。 试证明：有些聪明者并不能阅读。 首先，定义如下谓词： R(x)：x能阅读。I(x)：x是聪明的。 L(x)：x识字。D(x)：x是海豚。
B: Dog（y） Owns(x,y) Animallover(x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
x Animallover(x) y Animal (y) ¬ Kills(x,y) x, y {¬[Animallover(x) Animal (y) ]¬Kills(x,y)} ¬Animallover(x) ¬ Animal (y) ¬ Kills(x,y) }
C:Animallover(x) Animal (y) Kills(x,y) False D: Kills(Jack,Tuna) Kills(Tom,Tuna)
E: Cat(Tuna)
F: Cat(x) Animal (x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
第3章 基于谓词逻辑的机器推理
然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么，利用谓词公式，我们同样可以将形式逻辑中抽 象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。表3.1
和表3.2就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑
蕴含式，即推理规则的符号表示形式。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
表5.1 常用逻辑等价式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
A(a1, a2, …, an)
在谓词逻辑中就表示一个(原子)命题。 例如,
(1) 素数(2), 就表示命题“2是个素数”。
(2) 好朋友(张三, 李四), 就表示命题“张三和李四是好朋 友”。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
一般地, 表达式
P(x1,x2,…,xn)
在谓词逻辑中称为 n元谓词。其中 P是谓词符号，也称谓词， 代表一个确定的特征或关系 (名)。x1,x2,…,xn称为谓词的参量或
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
把上面关于量化的概念也可以推广到谓词公式。于 是，我们便可以说，如果一个公式中的所有个体变元都 被量化，或者所有变元都是约束变元（或无自由变元）， 则这个公式就是一个命题。特别地，我们称 xA(x)为全 称命题， xA(x)为特称命题。对于这两种命题，当个体
域为有限集时（设有n个元素），有下面的等价式：
x (P(x)→…)。
(2) 对存在量词 , 把限定量词作为一个合取项加入 ,
x (P(x)∧…)。
这里的P(x)就是限定谓词。 我们再举几个例子。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
例 5.1
不存在最大的整数, 我们可以把它翻译为
x(G( x)y(G( y) D( x, y))
或
x(G( x) y(G( y) D( y, x))
人工智能答案终极版
人工智能复习参考（2015工程硕士）第1章绪论1-1.什么是人工智能？它的研究目标是什么？人工智能（Artificial Intelligence），简称AI，又称机器智能（Machine Intelligence，MI），主要研究用人工的方法和技术开发智能机器或智能系统，以模仿、延伸和扩展人的智能、生物智能、自然智能，实现机器的智能行为。
近期目标：人工智能的近期目标是实现机器智能。
即先部分地或某种程度地实现机器智能，从而使现有的计算机更灵活好用和更聪明有用。
远期目标：人工智能的远期目标是要制造智能机器。
具体讲就是使计算机具有看、听、说、写等感知和交互能力，具有联想、学习、推理、理解、学习等高级思维能力，还要有分析问题解决问题和发明创造的能力。
1-2.人工智能有哪些研究方法和途径？简单描述它们的特点。
一、传统划分法1.符号主义：以人脑的心理模型为依据，将问题或知识表示成某种符号，采用符号推演的方法，宏观上模拟人脑的推理、联想、学习、计算等功能，实现人工智能。
2.连接主义：不仅要求机器产生的智能和人相同，产生的过程和机理也应该相同。
人或某些动物所具有的智能皆源自于大脑，通过对大脑微观结构的模拟达到对智能的模拟，这是一条很自然的研究人工智能的途径。
3.行为主义：模拟人在控制过程中的智能活动和行为特性，如自适应，自寻优、自学习、自组织等，以此来研究和实现人工智能。
二、现代划分法1.符号智能：是对智能和人工智能持狭义的观点，侧重于研究任何利用计算机软件来模拟人的抽象思维过程，并把思维过程看成是一个抽象的符号处理过程。
2.计算智能：计算机智能又重新回到依靠数值计算解决问题的轨道上来，它是对符号智能中符号推演的再次否定。
3.群体智能：它认同智能同样可以表现在群体的整体特性上，群体中每个个体的智能虽然很有限，但通过个体之间的分工协作和相互竞争，可以表现出很高的智能。
1-3.为什么能够用机器（计算机）模仿人的智能？假设：任何一个系统，如果它能够表现出智能，那么它就必定能够执行上述6种功能：输入符号；输出符号；存储符号；复制符号；建立符号结构；条件性迁移：反之，任何系统如果具有这6种功能，那么它就能够表现出智能，这种智能指的是人类所具有的那种智能。
人工智能教程习题及答案第3章习题参考解答
第三章确定性推理方法习题参考解答3.1 练习题3.1 什么是命题？请写出3个真值为T 及真值为F 的命题。
3.2 什么是谓词？什么是谓词个体及个体域？函数与谓词的区别是什么？3.3 谓词逻辑和命题逻辑的关系如何？有何异同？3.4 什么是谓词的项？什么是谓词的阶？请写出谓词的一般形式。
3.5 什么是谓词公式？什么是谓词公式的解释？设D= {1,2} ，试给出谓词公式（ x）（ y）（P（x,y） Q（x,y））的所有解释，并且对每一种解释指出该谓词公式的真值。
3.6对下列谓词公式分别指出哪些是约束变元？哪些是自由变元？并指出各量词的辖域。
（1）( x)(P(x, y) ( y)(Q(x, y) R(x, y)))（2）( z)( y)(P(z, y) Q(z, x)) R(u, v)（3）( x)(~ P( x, f (x )) ( z)(Q(x,z) ~ R(x,z)))（4）( z)(( y)(( t)(P(z, t) Q(y, t)) R(z, y))（5）( z)( y)(P(z, y) ( z)(( y)(P(z, y) Q(z, y) ( z)Q(z, y))))什么是谓词公式的永真性、永假性、可满足性、等价性及永真蕴含？3.7什么是置换？什么是合一？什么是最一般的合一？3.8判断以下公式对是否可合一；若可合一，则求出最一般的合一：3.9（1）P(a,b) ，P(x, y)（2）P(f(z),b) ，P(y, x)（3）P(f(x), y) ，P(y, f(a))（4）P(f(y), y,x) ，P(x, f(a), f(b))（5）P(x, y) ，P(y, x)什么是范式？请写出前束型范式与SKOLEM 范式的形式。
3.10什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。
3.113.12谓词公式与它的子句集等值吗？在什么情况下它们才会等价？3.13 把下列谓词公式分别化为相应的子句集：(1)( z)( y)(P(z, y) Q(z, y))(2)( x)( y)(P(x, y) Q(x, y))(3)( x)( y)(P(x, y) (Q(x, y) R(x, y)))(4)( x)( y)( z)(P(x, y) Q(x, y) R(x, z))(5)( x)( y)( z)( u)( v)( w)(P(x, y,z,u,v,w) (Q(x, y, z,u, v, w) ~R(x, z, w)))3.14 判断下列子句集中哪些是不可满足的：(1)S {~ P Q,~ Q,P,~ P}(2)S {P Q,~ P Q,P ~ Q,~ P ~ Q}(3)S {P(y) Q(y), ~ P(f(x)) R(a)}(4)S {~ P(x) Q(x), ~ P(y) R(y), P(a),S(a),~ S(z) ~ R(z)}(5)S {~ P(x) ~ Q(y) ~ L(x, y), P(a), ~ R(z) L(a, z), R(b), Q(b)}(6)S {~ P(x) Q(f(x), a), ~ P(h(y)) Q(f(h(y)), a) ~ P(z)}(7)S {P(x) Q(x) R(x),~ P(y) R(y),~Q(a),~ R(b)}(8)S {P(x) Q(x),~ Q(y) R(y), ~ P(z) Q(z),~ R(u)}3.15 为什么要引入Herbrand 理论？什么是H 域？如何求子句集的H 域？3.16 什么是原子集？如何求子句集的原子集？3.17 什么是H 域解释？如何用域D 上的一个解释I 构造H 域上的解释I *呢？3.18 假设子句集S＝{P(z) ∨Q(z),R(f(t))} ，S 中不出现个体常量符号。
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谓词公式
一阶谓词 若限定不允许对谓词、连词、量词和函数名进行量化处理， 且参数项不能是谓词公式，则这样的谓词演算是一阶的。例如: （ P）P(A)、 （ P） （ x）P(x) 、 Married(y(L1), Mary，y)（y是变量）都不是一阶谓词公式。 本书中所用到的谓词演算均是一阶的。
谓词逻辑中的形式演绎推理（谓词公式的性质） 尽管谓词公式具有强大的形式化表示功能，但由于包括了 多种连词和量词以及它们的嵌套应用，会使表示形式过于复杂， 不利于演绎推理系统的设计和高效运作。为此，化简谓词公式 到某些约定的标准形式是很有意义的，谓词公式的性质则为化 简工作提供了依据。下面给出关于谓词公式的常用性质： 1） 双重否定 ¬ (¬ P) P 2） 蕴涵式转化 P Q ¬ P∨Q 3） 狄· 摩根定律 ¬ (P∨Q) ¬ P∧¬ Q ¬ (P∧Q) ¬ P∨¬ Q 4) 分配律 P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R） P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) 5）交换律 P∨Q Q∨P ,P∧Q Q∧P
举例：P（x），Q（x，y）
谓词、函数、量词
函数：表达式 f(x1, x2, …, xn)ห้องสมุดไป่ตู้
说明： （1）其中，f是函数符号（简称函 数）约定用小写英文字母打头作为函数符 号。 （2）xi(i=1,2,…n)是个体变元 （3）由于有n个变元，f(x1, x2, …, xn) 成为n元个体函数
举例：father（li），sum（x，y） 约定：如果为单个项，用小写字母x， y，z等作为变元的符号，小写字母a， b，c等作为个体常元符号
谓词、函数、量词
量词：
全称量词--以符号（ x）P(x)来表示对 于某个论域中的所有个体x,都有P(x）真值为T。 （一切，任一，全体，凡是等） 存在量词--以符号（ $ x）P(x)来表示某 个论域中至少存在一个个体x，使P(x) 真值为T。 （存在，有些，至少有一个，有的） 这里，P(x)是任意逻辑语句，也称作量词的 管辖范围（简称辖域）。
第一节
一阶谓词逻辑
本节主要内容： 谓词、函数、量词 谓词公式 谓词逻辑中的形式演绎推理
谓词、函数、量词
谓词：表达式 P(x1, x2, …, xn)
说明： （1）其中，P是谓词符号（简称谓 词）约定用大写英文字母打头作为谓词符 号(Prolog?)。 （2）xi(i=1,2,…n)是参数项（简 称项） （3）由于有n个参数项，P(x1, x2, …, xn)表示了一个n元谓词公式。
谓词公式：连词和量词（见上）
谓词公式是谓词演算的基本单元，也称为原子公式。通过 引入连词和量词，可以把原子公式组合为复合谓词公式。 1） 连词 谓词演算中使用的连词主要有:¬ （非）、∧（与）、∨（或）、 =>（蕴涵，也表示为 ->）和（等价，也表示为 ↔）。 看几个例子： ¬ Inroom(Robot,R2) Isa(Liming, Student)∧Lives(Liming,House1)∧Color(House-1, White) Isa(Wang, Teacher)∨Isa(Wang, Officer) At(Liming,School)=>At(Wang, School) At(Liming,School)At(Wang, School)
谓词、函数、量词
量词举例： (x)[Robot(x)=>Color(x, Gray)],所有机器人 都是灰色的； (x)[Road(x) Lead(x, Roma)],条条大路通罗 马； （$x)[Isa(x,Robot)∧Inroom(x,R1)],至少有一 个机器人在房间R1 中； （x)($y)[Person(x)∧Book(y)∧Give(Mary,x, y)]，Mary给每个人一本书。 （x)[Person(x)∧Give（Mary,x,y）], Mary给 每人某个同样的东西。
谓词公式
谓词公式的一般形式是： P(x1, x2, …, xn) 其中，P是谓词符号（简称谓词），xi(i=1,2,…n)是参数项 （简称项）；由于有n个参数项，P(x1, x2, …, xn)表示了 一个n元谓词公式。项可以是常量、变量或函数。 例如，谓词公式Inroom(Robot, L1)包括2个常量项， Married(father(L1), x)包括函数项father(L1)和变量项x, father(L1)映射L1到他的父亲。为避免混淆和增加表示的 清晰性，谓词和常量项通常以首字母大写的形式来表示， 而函数和变量则以小写字母的形式表示。 当一谓词公式中不含变量，或变量值均取定时，谓词 公式所表示的事物间的关系也就唯一确定。若这种关系在 应用域确实存在，则谓词公式取值为真（记为T），否则为 假（记为F）。在这个意义上，每个谓词公式均有一个确定 的真值：T或F。
谓词公式
谓词公式的永真性和可满足性 1） 谓词公式的永真性 若某谓词公式P对于某论域D上的所有可能的解释都有真值 T，则称P在D上是永真的；若P在每个可能的非空论域上均永真， 则称P是永真的。 2） 谓词公式的可满足性 对于谓词公式P，若在论域D上至少可以建立一个解释，使 P有真值T，则称P在D上是可满足的；若至少有一个论域使P可 满足，则称P是可满足的。 3） 谓词公式的永假性 若某谓词公式P对于论域D上的所有可能的解释都有真值F， 则称P在D上是永假的(即不可满足的)；若P在每个可能的非空 论域上均永假，则称P是永假的。
6）结合律 (P∧Q)∧R P∧(Q∧R） (P∨Q)∨R P∨（Q∨R） 7）逆否律 P Q Q P 8）量词否定 ¬ ($x)P(x) (x)(¬ P(x)) ¬ (x)P(x) （$x)(¬ P(x)) 9) 量词分配 (x)[P(x)∧Q(x)] (x)P(x)∧(x)Q(x) ($x)[P(x)∨Q(x)] （$x）P(x)∨($x)Q(x) 10) 约束变量的虚元性（约束变量名的变换不影响合适 公式的真值） (x)P(x) (y)P(y) ($x)P(x) ($y)P(y)