离散数学习题解答-第3章谓词逻辑
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离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
19
练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
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谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学概论习题答案第3章
第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。
集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。
在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。
集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。
集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。
同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。
接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。
集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。
第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。
一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。
通常用大写英文字母表示集合。
例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。
用小写英文字母表示集合内元素。
若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。
集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。
表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。
1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。
这种表述方式为列举法。
例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。
且集合元素之间没有次序关系。
一个集合可以作为另个集合的元素。
例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。
因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。
,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。
当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
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三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
15
3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
离散数学-谓词逻辑-3
2B是任意两个谓词公式，对 A、B的任何解释和赋值，若其真值相同，则称A与 B是等价的，记作A⇔B；若A→B是普遍有效的，则 称A蕴含B，记作A⇒B。 设A、B是任意两个谓词公式。当A⇔B时，则 A↔B是永真式（普遍有效的）。反之，当A↔B是 永真式时，有A⇔B。所以，也可以用A↔B是永真 式描述A⇔B。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
离散数学第四版课后答案(第3章)
但对于等式（4），左边经变形后得
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
计算机科学与技术 离散数学 第3章 谓词逻辑
10
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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(6) 不能被 2 整除的整数称为奇数。 (7) 北京有外国人。 (8) 有些实数能表示成分数。 解：(1)包含全称量词；(3)包含存在量词；(4)包含全称量词；(6)包含全称量词；(7)包含存在 量词；(8)包含存在量词；(2)和(5)不包含量词。 4. 指出下列命题中的个体词和谓词。 (1) 2 是素数。 (2) 张丽丽与赵明辉是中学同学。 (3) 并不是所有汽车都比火车跑得慢。 (4) 8 3 . 解：(1) 2 是个体词， “„是素数”是谓词； (2) 张丽丽、赵明辉是个体词， “„与„是中学同学”是谓词； (3) 汽车、火车是个体词， “„比„跑得快”是谓词； (4) 8、3 是个体词， “„大于„”是谓词。
F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) .
(5) P( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； L( y, z ) 中的 y 和 z 是自由变元；
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元；公式最左边的 x 的辖域是 yP( x, y, z ) ； y
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解：(1) F ( x, y ) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； H ( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x, y) yH ( x, y, z) ； y 的辖堿是 H ( x, y, z ) . (2) F ( x) 中的 x 是约束变元； G( x, c) 中的 x 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x) . (3) R( x, y) 中的 x 和 y 是约束变元； L( y, z ) 中的 y 是约束变元， z 是自由变元；
的辖域是 P( x, y, z ) ；公式右边的 x 的辖域是 H ( x, y) . (6) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；Q( x, y, z ) 中 的中的 x 和 y 是自由变元， z 是约束变元； x 的辖域是 F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) ； z 的辖域是 Q( x, y, z ) .
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(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； x 的辖域是 y( R( x, y) L( y, z)) ； y 的
辖域是 R( x, y) L( y, z) ； x 的辖域是 H ( x, y) . (4) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；x 的辖堿是
习 题 3.2
1. 在下列符号串中，哪些是谓词公式，哪些不是谓词公式？ (1) p q r (2) F ( x, y) zG( y, z ) (3) x( p q) yF ( y) (4) xF ( y, z ) yG( z ) (5) xG( x) yzF ( y, z ) p( p q) 解：(2)和(4)是谓词公式；(1)、(3)和(5)不是谓词公式。 2. 指出下列公式的约束变元、自由变元及量词的辖域。 (1) x( F ( x, y) yH ( x, y, z )) (2) xF ( x) G( x, c) (3) xy( R( x, y) L( y, z )) xH ( x, y) (4) xF ( x) yG ( x, y) (5) xyP( x, y, z) ( L( y, z ) xH ( x, y)) (6) xF ( x) yG( x, y) zQ( x, y, z )
H ( x) 表示： x 能适应高原气候； a 表示：周兵。
(2) x(Q( x) P( x)) y( R( y) P( y)) z( R( z) Q( z)) . 其中， Q( x) 表示：
x 是有理数； P( x) 表示： x 是分数； R( x) 表示： x、(3)和(8)是简单命题；(1)、(4)、(5)、(6)和(7)是复合命题。 2. 找出下列各复合命题中所包含的互不相同的简单命题。 (1) 有理数和无理数都是实数。 (2) 李丽媛既喜欢学习又喜欢锻炼身体。 (3) 乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，所以天鹅不是乌鸦。 (4) 有理数和无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理 数。 (5) 每个理科学生都要学高等数学，每个学高等数学而又勤奋的学生都能掌握微积分知 识，王磊是理科生并且勤奋学习，所以王磊能掌握微积分知识。 (6) 命题公式 A 是重言式当且仅当 A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 2009 年 6 月 6 日是星期一或星期三，如果是星期三，那么我有英语课，我就不能去 开会。如果是星期一，我就可以去开会。 解：(1) 包含 2 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数。 (2) 包含 2 个简单命题：李丽媛既喜欢学习；李丽媛喜欢锻炼身体。 (3) 包含 3 个简单命题：乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，天鹅不是乌鸦。 (4) 包含 5 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数；虚数不是实数；虚数不是有理 数，虚数不是无理数。 (5) 包含 7 个简单命题：每个理科学生都要学高等数学；学高等数学的学生；勤奋的学 生；能掌握微积分知识的学生；王磊是理科生；王磊勤奋学习，王磊能掌握微积分知识。 (6) 包含 2 个简单命题：命题公式 A 是重言式； A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 包含 4 个简单命题： 2009 年 6 月 6 日是星期一； 2009 年 6 月 6 日是星期三；我有 英语课；我去开会。 3. 下列各命题中是否包含量词，如果包含，请指出是全称量词还是存在量词。 (1) 有理数是实数。 (2) 刘鸣是三好学生。 (3) 有人喜欢锻炼身体。 (4) 发光的东西不一定是金子。 (5) 星期一我去出差。
2. 用谓词公式表示下列命题。 (1 )对所有实数 x ，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 整除。 (2) 对所有实数 x ，若 x 是质数，则存在实数 y ， y 是偶数且 x 整除 y 。 (3) 对任意实数 x , y ，有 ( x y) x 2 xy y .
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解：(1) x( R( x) (P( x) G( x))) . 其中， R( x) 表示： x 是实数； P( x) 表示： x 是 偶数； G( x) 表示： x 被 2 整除。 (2) x( R( x) (P( x) y( R( y) D( x) G( x, y)))) . 其中，R( x) 表示：x 是实数；
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
(3) xy( R( x) R( y) (G( f ( x, y), g ( x, y)))) .其中，R( x) 表示：x 是实数；G(u, v) 表示： u v ； f ( x, y) ( x y) ； g ( x, y) x 2 xy y .
3. 判定下列公式是否为封闭公式。 (1) yx(G( x, y) zH ( x, y, z)) xM ( x) (2) x( F ( x) G( x, y)) yH ( x, y) (3) xy( R( x, y) zL( y, z )) xH ( x, y) (4) x( F ( x) yG( x, y)) xzM ( x, z) (5) xy( R( x, y) zL( y, z )) xyH ( x, y) (6) x( L( x, a) yG( x, y)) xzM ( x, z) H (a, b) 解：(1)、(4)、(5)和(6)是闭公式； (2)不是闭公式， G( x, y) 中的 y 是自由变元；
(3) x(S ( x) H ( x)) y( H ( y) D( y) C ( y)) S (a) D(a) C (a) . 其 中 ，
S ( x) 表示：x 是理科生；H ( x) 表示：x 要学高等数学；D( x) 表示：x 是勤奋的学生；C ( x)
表示： x 能掌握微积分知识； a 表示：王磊 (4) x( P( x) S ( x) y(Q( y) H ( x, y))) .其中， P( x) 表示： x 是命题公式； S ( x) 表示： x 是可满足的； Q( y ) 表示： y 是公式的一组赋值； H ( x, y) 表示：在赋值 y 下 x 的 真值为 1. 5. 将习题 3.1 第 2 题中的命题符号化。 解：(1) 有理数和无理数都是实数。 令 P( x) 表示： x 是有理数； Q( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数；则原命题 可表示为： x( P( x) R( x)) x(Q( x) R( x)) .
(6) 不能被 2 整除的整数称为奇数。 (7) 北京有外国人。 (8) 有些实数能表示成分数。 解：(1)包含全称量词；(3)包含存在量词；(4)包含全称量词；(6)包含全称量词；(7)包含存在 量词；(8)包含存在量词；(2)和(5)不包含量词。 4. 指出下列命题中的个体词和谓词。 (1) 2 是素数。 (2) 张丽丽与赵明辉是中学同学。 (3) 并不是所有汽车都比火车跑得慢。 (4) 8 3 . 解：(1) 2 是个体词， “„是素数”是谓词； (2) 张丽丽、赵明辉是个体词， “„与„是中学同学”是谓词； (3) 汽车、火车是个体词， “„比„跑得快”是谓词； (4) 8、3 是个体词， “„大于„”是谓词。
F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) .
(5) P( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； L( y, z ) 中的 y 和 z 是自由变元；
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元；公式最左边的 x 的辖域是 yP( x, y, z ) ； y
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解：(1) F ( x, y ) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； H ( x, y, z ) 中的 x 和 y 是约束变元， z 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x, y) yH ( x, y, z) ； y 的辖堿是 H ( x, y, z ) . (2) F ( x) 中的 x 是约束变元； G( x, c) 中的 x 是自由变元； x 的辖堿是 F ( x) . (3) R( x, y) 中的 x 和 y 是约束变元； L( y, z ) 中的 y 是约束变元， z 是自由变元；
的辖域是 P( x, y, z ) ；公式右边的 x 的辖域是 H ( x, y) . (6) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；Q( x, y, z ) 中 的中的 x 和 y 是自由变元， z 是约束变元； x 的辖域是 F ( x) ； y 的辖域是 G( x, y) ； z 的辖域是 Q( x, y, z ) .
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(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
H ( x, y) 中的 x 是约束变元， y 是自由变元； x 的辖域是 y( R( x, y) L( y, z)) ； y 的
辖域是 R( x, y) L( y, z) ； x 的辖域是 H ( x, y) . (4) F ( x) 中的 x 是约束变元；G( x, y) 中的 x 是自由变元， y 是约束变元；x 的辖堿是
习 题 3.2
1. 在下列符号串中，哪些是谓词公式，哪些不是谓词公式？ (1) p q r (2) F ( x, y) zG( y, z ) (3) x( p q) yF ( y) (4) xF ( y, z ) yG( z ) (5) xG( x) yzF ( y, z ) p( p q) 解：(2)和(4)是谓词公式；(1)、(3)和(5)不是谓词公式。 2. 指出下列公式的约束变元、自由变元及量词的辖域。 (1) x( F ( x, y) yH ( x, y, z )) (2) xF ( x) G( x, c) (3) xy( R( x, y) L( y, z )) xH ( x, y) (4) xF ( x) yG ( x, y) (5) xyP( x, y, z) ( L( y, z ) xH ( x, y)) (6) xF ( x) yG( x, y) zQ( x, y, z )
H ( x) 表示： x 能适应高原气候； a 表示：周兵。
(2) x(Q( x) P( x)) y( R( y) P( y)) z( R( z) Q( z)) . 其中， Q( x) 表示：
x 是有理数； P( x) 表示： x 是分数； R( x) 表示： x、(3)和(8)是简单命题；(1)、(4)、(5)、(6)和(7)是复合命题。 2. 找出下列各复合命题中所包含的互不相同的简单命题。 (1) 有理数和无理数都是实数。 (2) 李丽媛既喜欢学习又喜欢锻炼身体。 (3) 乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，所以天鹅不是乌鸦。 (4) 有理数和无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理 数。 (5) 每个理科学生都要学高等数学，每个学高等数学而又勤奋的学生都能掌握微积分知 识，王磊是理科生并且勤奋学习，所以王磊能掌握微积分知识。 (6) 命题公式 A 是重言式当且仅当 A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 2009 年 6 月 6 日是星期一或星期三，如果是星期三，那么我有英语课，我就不能去 开会。如果是星期一，我就可以去开会。 解：(1) 包含 2 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数。 (2) 包含 2 个简单命题：李丽媛既喜欢学习；李丽媛喜欢锻炼身体。 (3) 包含 3 个简单命题：乌鸦都是黑色的，天鹅不是黑色的，天鹅不是乌鸦。 (4) 包含 5 个简单命题：有理数是实数；无理数是实数；虚数不是实数；虚数不是有理 数，虚数不是无理数。 (5) 包含 7 个简单命题：每个理科学生都要学高等数学；学高等数学的学生；勤奋的学 生；能掌握微积分知识的学生；王磊是理科生；王磊勤奋学习，王磊能掌握微积分知识。 (6) 包含 2 个简单命题：命题公式 A 是重言式； A 的每一组赋值都使 A 的真值为 1 . (7) 包含 4 个简单命题： 2009 年 6 月 6 日是星期一； 2009 年 6 月 6 日是星期三；我有 英语课；我去开会。 3. 下列各命题中是否包含量词，如果包含，请指出是全称量词还是存在量词。 (1) 有理数是实数。 (2) 刘鸣是三好学生。 (3) 有人喜欢锻炼身体。 (4) 发光的东西不一定是金子。 (5) 星期一我去出差。
2. 用谓词公式表示下列命题。 (1 )对所有实数 x ，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 整除。 (2) 对所有实数 x ，若 x 是质数，则存在实数 y ， y 是偶数且 x 整除 y 。 (3) 对任意实数 x , y ，有 ( x y) x 2 xy y .
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解：(1) x( R( x) (P( x) G( x))) . 其中， R( x) 表示： x 是实数； P( x) 表示： x 是 偶数； G( x) 表示： x 被 2 整除。 (2) x( R( x) (P( x) y( R( y) D( x) G( x, y)))) . 其中，R( x) 表示：x 是实数；
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
(3) xy( R( x) R( y) (G( f ( x, y), g ( x, y)))) .其中，R( x) 表示：x 是实数；G(u, v) 表示： u v ； f ( x, y) ( x y) ； g ( x, y) x 2 xy y .
3. 判定下列公式是否为封闭公式。 (1) yx(G( x, y) zH ( x, y, z)) xM ( x) (2) x( F ( x) G( x, y)) yH ( x, y) (3) xy( R( x, y) zL( y, z )) xH ( x, y) (4) x( F ( x) yG( x, y)) xzM ( x, z) (5) xy( R( x, y) zL( y, z )) xyH ( x, y) (6) x( L( x, a) yG( x, y)) xzM ( x, z) H (a, b) 解：(1)、(4)、(5)和(6)是闭公式； (2)不是闭公式， G( x, y) 中的 y 是自由变元；
(3) x(S ( x) H ( x)) y( H ( y) D( y) C ( y)) S (a) D(a) C (a) . 其 中 ，
S ( x) 表示：x 是理科生；H ( x) 表示：x 要学高等数学；D( x) 表示：x 是勤奋的学生；C ( x)
表示： x 能掌握微积分知识； a 表示：王磊 (4) x( P( x) S ( x) y(Q( y) H ( x, y))) .其中， P( x) 表示： x 是命题公式； S ( x) 表示： x 是可满足的； Q( y ) 表示： y 是公式的一组赋值； H ( x, y) 表示：在赋值 y 下 x 的 真值为 1. 5. 将习题 3.1 第 2 题中的命题符号化。 解：(1) 有理数和无理数都是实数。 令 P( x) 表示： x 是有理数； Q( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数；则原命题 可表示为： x( P( x) R( x)) x(Q( x) R( x)) .