第3章谓词逻辑
第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
第三章：谓词逻辑
§3.1.1 谓词和量词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下 的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命 题”，应该就是“命题”P。但是，
TI(H) = TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110 =0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存 在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。 若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满 足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称 为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
是项，则f(t1, …, tn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生成
的符号串。
定义3.2.2
若P(x1,…,xn)是n元谓词符号，t1,…,tn是 项，则P(t1,…,tn)是原子。
定义3.2.3 公式
谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：
1) 原子是公式； 2) 若G，H是公式，则(G)，(GH)，(GH)，
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H， 或H是G的逻辑结果，如果公式GH是恒 真的，并记以GH。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H 的充要条件是：对任意解释I，若I满足G， 则I必满足H。
同样，命题逻辑中的基本蕴涵式仍成立。
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
证令明G：1 =H是x(GH1(x)G2M的(逻x))辑，结G2果=H。(a)，H=M(a) 张因三为)，，且设II满是足GG1 ，1GG22，，H即的I满一足个解释(I指定a为
第3章谓词逻辑
第3章谓词逻辑谓词逻辑原子命题是命题逻辑中最基本的组成单元，不能对它再作进一步的分解，但同时也无法反映出某些原子命题的共同特征和相互关系。
例如，用p表示命题“小李是大学生”，用q表示命题“小王是大学生”，在命题逻辑的范畴中它们是两个独立的原子命题，p和q之间没有任何关系。
但是，命题“小李是大学生”和“小王是大学生”之间有着相同的结构和内在的联系，它们都具有相同的谓语（及宾语）“是大学生”，不同的只是主语，它们都描述了“是大学生”这样一个共同的特性；而使用原子命题表示时并没有能将这一共性刻画出来。
再如著名的苏格拉底三段论：凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
这个推理显然是正确的。
但是，如用p、q、r分别表示上面3个命题，由于p∧q?r不是永真式，因此它不是正确的推理；也就是说，当p和q都为真时，得不出r一定为真。
其根本原因在于命题逻辑不能将命题p、q、r间的内在的联系反映出来。
为了克服命题逻辑的局限性，引入了谓词和量词对原子命题和命题间的相互关系做进一步的剖析，从而产生了谓词逻辑。
谓词逻辑亦称一阶逻辑，它同命题逻辑一样，是数理逻辑中最基础的内容。
§3.1谓词、量词与自然语句形式化§3.1.1 谓词在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓词两个部分。
定义3.1个体词（individual）是一个命题里表示思维对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体。
简单地讲，个体词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用a、b、c表示；抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般用x、y、z表示。
个体变项的取值范围称做个体域或论域（domain of the discourse），宇宙间一切事物组成的个体域称做全总个体域（universal domain of individuals）。
注：本书在提及论域时，如未特别说明，指的都是全总个体域。
第三章_谓词逻辑与归结原理
例：P∨~P
矛盾式或永假式 contradictory
设A为任一命题公式，若A在它的各种赋值下取值均为假，则称 A是永假式。
例： P∧~P
3.1 命题逻辑
可满足式 satisfiable
设A为任一命题公式，如果存在一组取值使A为真，则A为可满 足式。 即：对于命题公式A，若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
3.1 命题逻辑
命题公式的赋值
对命题公式中的所有的命题变量各赋给一个值0，1。
真值表 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ~p p∧q p∨q p→q p ↔q
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 1
3.1 命题逻辑
复合命题的真值
例：
p: 周杰伦是一个流行歌手 q: 人工智能是计算机科学的一个分支 r: 牛在天上飞 求下列复合命题的真值
将命题从语言表述转换为命题公式
step1、找出简单命题，并用符号表示 step2、分析简单命题间的逻辑关系，用联结符号进行描述
例
4、只要不下雨，我就骑自行车上班 令p表示“天下雨”，q表示“骑自行车上班” 2、教室里有30名男生和10名女生 1、3不是偶数 3、如果天下雨，出门带伞 ~p→q 令：p表示“教室里有30名男生”， 令：p表示“3是偶数”，~p 令p表示“天下雨”，q表示“出门带 q表示“教室里有10名女生” 伞” 5、只有不下雨，我才骑自行车上班 p∧q p→q 令p表示“天下雨”，q表示“骑自行车上班” q →~p
怪物洞穴
智能体行动的关键是要 根据获得的信息推理， 从而判断那个房间有怪 物，那个房间有陷阱， 那个房间是安全的 房间[4,2]和[2,3]有陷阱， 房间[3,4]有怪物，房间 [4,3]有金子
谓词逻辑
由等值式推演出新的等值式的过程称为等值演算。 置换规则 设 Φ( A) 是含公式 A 的公式， Φ(B) 是用 B 置换了 Φ( A) 中的 A 之后的公式，若 A <=> B ，则 Φ( A) <=> Φ(B) 。 联结词的优先顺序 在演算中，～最优先，其次为 ∧ 与 ∨ （ ∧ 与 ∨ 同级），再其次为 → 与 ↔ （ → 与 ↔ 同级）； 若有括号（圆括号），则括号最优先；同级按从左到右的顺序演算。 4．范式 范式：范式是公式的标准型式，公式往往需要变换为同它等价的范式，以便对它们作一般性 的处理。 原子公式：不含任何联结词的公式为原子公式。 文字：原子或原子的否定形式称为文字。 子句：任何文字的析取式称为子句。 简单合取式：仅由有限个文字构成的合取式成为简单合取式。 简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 合取范式：仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。形如：P ∧ (P ∨ Q) ∧ (~ P ∨ Q) 析取范式：仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。形如：P ∨ (P ∧ Q) ∨ (~ P ∧ Q) 范式的性质： ①一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式。 ②一个合取范式是重言式，当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式。 范式存在定理 任意命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式。
给出事件的命题公式的基本步骤为：
①分析简单命题，将其符号化。 ②使用适当的联结词，把简单命题逐个连接起来组成复合命题的符号化表示。 例如： 1. “如果我进城我就去看你，除非我很累。” 设 P 为“我进城”， Q 为“去看你”， R 为“我很累”，则有命题公式： ~ R → (P → Q) 。 2. “应届高中生，得过数学或物理竞赛的一等奖，保送上大学。” 设 P 为“应届高中生”， Q 为“保送上大学”， R 为“得过数学一等奖”，T 为“得过物理一 等奖”，则有命题公式： P ∧ (R ∨ T ) → Q 。
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
第三章一阶谓词逻辑
在谓词公式中，变元的名字是无关紧要的，可以把一个变元
的名字换成另一个变元的名字。但是，必须注意，当对量
词辖域内的约束变元更名时，必须把同名的约束变元都统
一改成相同的名字，且不能与辖域内的自由变元同名。同 样，对辖域内的自由变元改名时，也不能改成与约束变元 相同的名字。例如，对于公式（x）R(x,y)，可以改名为 （t）R(t,u),这里将约束变元x改成了t,把自由变元y改成 了 u。
函数符号：是从若干个研究对象到某个研究对象的映射的
符号。
• n元函数 f(x1,x2,…,xn) 规定为一个映射： f: Dn →D 谓词与函数的区别：
1.谓词的真值是真和假，而函数无真值可言，其值是个体域中的 某个个体。 2.谓词描述的是个体域中的个体之间的关系或性质。而函数实现的 是一个个体的出现依赖于个体中中的其他个体，他是一个个体 在个体域中的映射。 3.在谓词逻辑中，函数本身不能单独使用，它必须嵌入到谓词中。
5、谓词公式的解释
在谓词逻辑中，对谓词公式中各个个体变元的一次真值
指派称为谓词公式的一个解释。也即蜕化成命题逻辑，
一旦解释确定，根据各联接词的定义就可求出谓词公 式中真值（T或F）。 定义：谓词公式G的论域为D，根据D和G中的常量符号， 函数符号和谓词符号按下列规则作的一组指派成为 G的 一个解释I（或赋值） 解释I：三个赋值规定： （1）对公式G，为每个常量指派D中的一个元素；
命题逻辑的局限性：
例如：命题:焦作是一个漂亮的城市
郑州是一个漂亮的城市 晋城是一个漂亮的城市 新乡是一个漂亮的城市 安阳是一个漂亮的城市
P
Q R S T
要表达这样一个类别的知识时，命题逻辑表达起来，不方便。 用谓词结构的形式最方便
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
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三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
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3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
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谓 词 逻 辑原子命题是命题逻辑中最基本的组成单元，不能对它再作进一步的分解，但同时也无法反映出某些原子命题的共同特征和相互关系。
例如，用p表示命题“小李是大学生”，用q表示命题“小王是大学生”，在命题逻辑的范畴中它们是两个独立的原子命题，p和q之间没有任何关系。
但是，命题“小李是大学生”和“小王是大学生”之间有着相同的结构和内在的联系，它们都具有相同的谓语（及宾语）“是大学生”，不同的只是主语，它们都描述了“是大学生”这样一个共同的特性；而使用原子命题表示时并没有能将这一共性刻画出来。
再如著名的苏格拉底三段论：凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
这个推理显然是正确的。
但是，如用p、q、r分别表示上面3个命题，由于p∧q⇒r不是永真式，因此它不是正确的推理；也就是说，当p和q都为真时，得不出r一定为真。
其根本原因在于命题逻辑不能将命题p、q、r间的内在的联系反映出来。
为了克服命题逻辑的局限性，引入了谓词和量词对原子命题和命题间的相互关系做进一步的剖析，从而产生了谓词逻辑。
谓词逻辑亦称一阶逻辑，它同命题逻辑一样，是数理逻辑中最基础的内容。
§3.1谓词、量词与自然语句形式化§3.1.1 谓词在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓词两个部分。
定义3.1个体词（individual）是一个命题里表示思维对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体。
简单地讲，个体词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用a、b、c表示；抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般用x、y、z表示。
个体变项的取值范围称做个体域或论域（domain of the discourse），宇宙间一切事物组成的个体域称做全总个体域（universal domain of individuals）。
注：本书在提及论域时，如未特别说明，指的都是全总个体域。
定义3.2在命题中，表示个体词性质或相互之间关系的词称做谓词（predicate）。
第3章 谓词逻辑 可以这样来理解谓词：如果命题里只有一个个体词，这时表示该个体词性质或属性的词便称为谓词。
这是一元（目）谓词，以P(x)、Q(x)、R(x)表示。
如果在命题里的个体词多于一个，那么表示这几个个体词间的关系的词称做谓词。
这是多元（目）谓词，有n个个体的谓词P(x1, x2, …, x n)称n元（目）谓词，以P(x, y)、Q(x, y)、R(x, y, z)等表示。
用谓词表示命题，必须包括个体词和谓词两个部分。
例如，在“小李是大学生”中，“小李”、“大学生”都是个体词，“是大学生”是谓词。
在“9大于4”中，“9”和“4”都是个体词，“大于”是谓词。
准确地讲，谓词P(x)、Q(x, y)是命题形式而不是命题。
因为既没有指定谓词符号P、Q的含义，而且个体词x、y也是个体变项而不代表某个具体的事物，从而无法确定P(x)、Q(x, y)的真值。
仅当赋予谓词确定的含义，并且个体词取定为个体常项时，命题形式才化为命题。
如P(x)表示“x是素数”，那么P(7)是命题，真值为T；Q(x, y)表示“x等于y”，那么Q(4, 5)是命题，取值为F。
有时将P(3)、Q(2, 3)这样不包含个体变项的谓词称做零元谓词，当赋予谓词确定含义时零元谓词为命题。
因而可将命题看成是特殊的谓词。
【例3.1】将下列命题在一阶逻辑中用零元谓词符号化，并讨论其真值。
（a）8是素数；（b）如果3大于4，则2大于6。
解：（a）设一元谓词P(x)为“x是素数”，则“8是素数”可符号化为零元谓词P(8)，真值为假。
（b）设二元谓词G(x, y)为“x大于y”，则“如果3大于4，则2大于6”符号化为零元谓词G(3, 4)⇒G(2, 6)，由于G(3, 4)为假，所以该命题为真。
§3.1.2 量词用来表示个体数量的词是量词（quantification），给谓词加上量词称做谓词的量化，可看作是对个体词所加的限制、约束的词，但不是对数量一个、二个、三个、…的具体描述，而是讨论以下两个最通用的数量限制词。
定义3.3符号“∀”称做全称量词（universal quantification），读作“所有的x”、“任意x”或“一切x”，含义相当于自然语言中的“任意的”、“所有的”、“一切的”、“每一个”、“凡”等。
(∀x)P(x)意指对论域D中的所有个体都具有性质P。
命题(∀x)P(x)当且仅当对论域中的所有x来说P(x)均为真时方为真。
定义3.4符号“∃”称做存在量词（existential quantification），读作“存在x”，含义相当于自然语言中的“某个”、“存在”、“有的”、“至少有一个”、“有些”等。
(∃x)P(x)意指对论域D中至少有一个个体具有性质P。
【例3.2】假设个体x的论域是全总个体域，“一切事物都是运动的”可以形式描述为(∀x)(x是运动的)。
若以P(x)表示x是运动的，则可写作(∀x)(P(x))，或简写成(∀x)P(x)离散数学及应用或∀xP(x)。
【例3.3】假设个体x的论域是全总个体域，“有的事物是水果”可以形式描述为(∃x)(x 是水果)。
若以Q(x)表示x是水果，那么这句话就可写成(∃x)Q(x)，或简写成(∃x)Q(x)或∃xQ(x)。
§3.1.3 自然语句形式化命题逻辑表达问题的能力仅限于联结词的使用；而谓词逻辑由于变项、谓词和量词的引入而具有强得多的表达问题的能力，已成为描述计算机所处理的知识的有力工具。
其中首要的工作就是问题本身的形式描述。
类似命题逻辑，将一个用自然语言描述的命题表示成谓词公式的形式，称为谓词逻辑中的自然语言形式化。
基本方法如下：（1）首先要将问题分解成一些原子命题和逻辑联结符；（2）之后分解出各个原子命题的个体词、谓词和量词；（3）按照合式公式的表示规则翻译出自然语句。
【例3.4】将下述语句翻译为谓词公式，使用全总个体域。
（a）所有的素数都是整数。
（b）有的素数是奇数。
（c）并非所有整数都是素数。
（d）没有奇数是偶数。
（e）所有的素数或者是奇数，或者等于2。
（f）存在一个奇数，比所有整数都大。
（g）存在唯一的偶素数。
（h）至多有一个偶素数。
（i）哥德巴赫（Goldbach）猜想：每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和。
解：令谓词P(x)表示“x是整数”，Q(x)表示“x是奇数”，R(x)表示“x是偶数”，S(x)表示“x是素数”，E(x, y)表示“x=y”，G(x, y)表示“x>y”。
（a）这句话可以形式化为(∀x)(S(x)⇒P(x))。
需注意的是这句话不能形式化为(∀x)(S(x)∧P(x))，这个公式的意思是说，对宇宙间所有的事物x而言，x既是素数又是整数。
一般地讲，“所有的A是B”、“是A的都是B”、“一切A都是B的”这类语句的形式描述只能使用⇒而不能使用∧。
（b）这句话的形式描述应为(∃x)(S(x)∧Q(x))。
需注意的是不能使用(∃x)(S(x)⇒Q(x))，一般地讲，“有的A是B”这类语句的形式描述只能使用∧而不能使用⇒。
（c）这句话可以形式化为~(∀x)(P(x)⇒S(x))；也可以把这句话理解为“有的整数不是素数”，这时应形式化为(∃x)(P(x)∧~S(x))。
它们都是正确的，其理由将在3.3节中阐述。
（d）这句话可以形式化为~(∃x)(Q(x)∧R(x))；也可以把这句话理解为“所有的奇数都不是偶数”或者“所有的偶数都不是奇数”，这时应形式化为(∀x)(Q(x)⇒~R(x))或者第3章 谓词逻辑 (∀x)(R(x)⇒~Q(x))。
它们都是正确的。
（e）这句话可以形式化为(∀x)(S(x)⇒(E(x, 2)∨Q(x)))。
（f）这句话的含义是：“存在一个个体x，它是奇数；而且，如果对于任意个体y，如果它是整数，那么一定有y<x。
”因此可以形式化为(∃x)(Q(x)∧(∀y)(P(y)⇒G(x, y)))。
（g）这句话的含义是：“存在一个个体x，它既是偶数又是素数；而且，如果还有个体y也是既是偶数又是素数，那么一定有x=y。
”因此可以形式化为(∃x)(S(x)∧R(x)∧(∀y)(S(y)∧R(y)⇒E(x, y)))。
（h）这句话和（g）的区别在于允许不存在偶素数，因此在形式化后也是不同的，应该表示为(∀x)(S(x)∧R(x)⇒(∀y)(S(y)∧R(y)⇒E(x, y)))。
这句话也可以理解为“不存在不相等的两个个体，它们都既是偶数又是素数”，可形式化为~(∃x)(∃y)(S(x)∧R(x)∧S(y)∧R(y)∧~E(x, y))。
（i）这句话可以形式化为(∀x)(R(x)∧G(x, 2)⇒(∃y)(∃z)(S(y)∧S(z)∧E(x, y+z)))。
【例3.5】假设论域是整数集，将下述语句翻译为谓词公式。
（a）至少存在一个偶数，且至少存在一个奇数。
（b）至少有一个整数既是偶数又是奇数。
（c）对于任一个整数而言，它或者是偶数，或者是奇数。
（d）所有整数都是偶数或者所有整数都是奇数。
（e）对于任一个整数而言，都存在比它小的整数。
（f）存在一个整数，满足任何整数都大于它。
解：令谓词P(x)表示“x是奇数”，Q(x)表示“x是偶数”，E(x, y)表示“x=y”，G(x, y)表示“x>y”。
将以下各式译为汉语，并判断其真值。
（a）这句话可以形式化为(∃x)P(x)∧(∃x)Q(x)，是真命题。
（b）这句话可以形式化为(∃x)(P(x)∧Q(x))，是假命题。
（c）这句话可以形式化为(∀x)(P(x)∨Q(x))，是真命题。
（d）这句话可以形式化为(∀x)P(x)∨(∀x)Q(x)，是假命题。
（e）这句话可以形式化为(∀x)(∃y)G(x, y)，是真命题。
（f）这句话可以形式化为(∃y)(∀x)G(x, y)，是假命题。
上述例子说明(∃x)P(x)∧(∃x)Q(x)和(∃x)(P(x)∧Q(x))、(∀x)(P(x)∨Q(x))和(∀x)P(x)∨(∀x)Q(x)、(∀x)(∃y)G(x, y)与(∃y)(∀x)G(x, y)含义不同。
这些都是容易混淆的，须注意加以区别。
【例3.6】假设论域是全总个体域，将下述语句翻译为谓词公式。
（a）没有人可以永生不死。
（b）天下乌鸦一般黑。
（c）金子一定闪光，但闪光的不一定是金子。
（d）所有的大学生都会说英语，有一些大学生会说法语。
解：∧Q(x))。
（a）设P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
原语句可表示成~(∃x)(P(x)~（b）设F(x)表示“x是乌鸦”，G(x,y)表示“x与y一般黑”。
原语句可表示成离散数学及应用∧G(x,y))，即不存在个体x, y (∀x)(∀y)(F(x)∧F(y)⇒G(x,y))；或者~(∃x)(∃y)(F(x)∧F(y)~都是乌鸦但不一般黑。