计算机图形学实验Koch曲线
计算机图形学实验报告(分形图)
实验六：分形图的生成班级11信计2班学号20110502078 姓名刘昱丞分数一、实验目的理解分形图生成的基本原理，掌握几种常见的分形图生成算法，利用TurboC实现Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法。
二、实验内容1.、利用Koch 曲线生成规则，在屏幕上生成一段Koch 曲线。
2/、利用Mandelbrot Set 生成规则，在屏幕上生成可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)三、实验步骤（1）预习教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)的生成原理。
（2）仿照教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法生成算法，使用TurboC实现该算法。
（3）调试、编译、运行程序。
四、实验要求在下次实验时提交本次试验的实验报告（实验报告包括实验目的、实验内容、实验实现过程、源程序、实验结果、实验体会）。
五、实验过程( 1 ) Koch 曲线的生成规则它的构造是：迭代初始把原线段去掉中间的三分之一，代之以底边在被去线段上的等边三角形的两腰；以后每一步的迭代都是这样的重复。
从以上过程可以清楚地看出，Koch曲线（其它分形集也是如此）可以由简单的图，称为生成元，迭代产生。
在这里，Koch曲线的生成元是：六、实验代码1/、Koch曲线源程序：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <conio.h>#include <graphics.h>#define rad 0.0174532925#define NUMBER 24koch(ax,ay,bx,by)int ax,ay,bx,by;{ float cx,cy,ex,ey,dx,dy,arf,le,c;c=1000; /*30000,20000,10000,5000,1000 tiao jie ci shu */if ((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay)<c)line(ax,ay,bx,by);else{cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax)/3;ey=by-(by-ay)/3;koch((int)(ax),(int)(ay),(int)(cx),(int)(cy)); /* koch(ax,ay,cx,cy); */ koch((int)(ex),(int)(ey),(int)(bx),(int)(by));le=sqrt((ex-cx)*(ex-cx)+(ey-cy)*(ey-cy)); /* koch(ex,ey,bx,by); */ arf=atan((ey-cy)/(ex-cx));if((arf>=0 &&(ex-cx)<0)||(arf<=0 &&(ex-cx)<0))arf=arf+3.1415;dy=cy+sin(arf+3.1415/3)*le;dx=cx+cos(arf+3.1415/3)*le;koch((int)(cx),(int)(cy),(int)(dx),(int)(dy)); /*koch(cx,cy,dx,dy);*/ koch((int)(dx),(int)(dy),(int)(ex),(int)(ey)); /* koch(dx,dy,ex,ey); */ }}main(){float xa1,xb1,ya1,yb1;float xa,xb,ya,yb;float dex,dey,dx,dy;float x,y,s1,s2;int steps,k;int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,"C:\\JMSOFT\\DRV");cleardevice();setbkcolor(BLUE);/* line(400,400,600.4,540.6); */settextstyle(1,0,3);outtextxy(100,100,"Shijiazhuang University");/* koch(340,150,100,150) ; */koch(100,300,500,300) ;getch();closegraph();return 0;}输出结果为：2.、可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集）源程序：#include <graphics.h>#include <conio.h>// 定义常量#define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细#define MAXCOLOR 64 // 颜色数/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色及初始化颜色/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色int Color[MAXCOLOR];// 初始化颜色void InitColor(){// 使用HSL 颜色模式产生角度h1 到h2 的渐变色int h1 = 240, h2 = 30;for(int i=0; i<MAXCOLOR/2; i++){Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);}}/////////////////////////////////////////////////// 绘制Mandelbrot Set (曼德布洛特集)/////////////////////////////////////////////////void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy){COMPLEX z, c;int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < ITERA TIONS; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= ITERA TIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);}}}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口及颜色initgraph(640, 480);InitColor();// 初始化Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系double fromx, fromy, tox, toy;fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);// 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域MOUSEMSG m;bool isLDown = false;int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区while(!kbhit()){m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息switch(m.uMsg){// 按鼠标中键恢复原图形坐标系case WM_MBUTTONUP:fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_MOUSEMOVE:if (isLDown){rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);seltx = m.x;selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);}break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONDOWN:setcolor(WHITE);setwritemode(R2_XORPEN);isLDown = true;selfx = seltx = m.x;selfy = selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONUP:rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);setwritemode(R2_COPYPEN);isLDown = false;seltx = m.x;selty = m.y;if (selfx == seltx || selfy == selty) break;// 修正选区为4:3int tmp;if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;} if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) ){selty += (3 - (selty - selfy) % 3);selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;}else{seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;}// 更新坐标系double f, t;f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;fromx = f;tox = t;f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;fromy = f;toy = t;// 画图形Draw(fromx, fromy, tox, toy);}}getch();closegraph(); }输出结果为：。
计算机图形学_Koch雪花的分形算法实现
Koch雪花的分形算法实现1.内容介绍分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的，树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。
分形是图形学中一门重要的理论，是最近20多年发展起来的新学科，其中Koch雪花则是分形曲线的典型代表。
本文通过对Koch雪花算法实现的详细论述与具体代码，进而分析分形的基本思想、实现方法以及实际应用等。
2.设计思想Koch雪花的实际结构为三条Koch曲线的拼接，这三条Koch曲线分别构成正三角形的三条边即可。
因此，在此详细论述Koch曲线的设计思想。
首先绘制一条线段，假设线段长度为L，则在线段L/3处至2L/3处以L/3为边长做一个正三角形，并去掉底边。
此时该图形变为四条线段，同理对每条线段继续上述步骤即可绘制出Koch曲线。
设计中的难点在于每条线段的端点坐标较难确定，根据已知的初始线段两个端点坐标，我们通过几何三角计算出每次迭代的端点坐标并进行递归即可。
如图1所示，每点的迭代算式为(x1,y1) (x3,y3)(x5,y5)(x4,y4)(x2,y2) α60°第 1 页共9 页图1 端点坐标推导计算32113211533321215333212111()()331c o s (60)31(c o s 60c o s s in 60s in )31[())]61c o s (60)31(s in 60c o s c o s 60s in )31)()]6x x x x y y y y x x L x L x x x y y y y L y L y x x y y αααααα=-+=-+=+︒+=+︒-︒=+---=+︒+=+︒+︒=+-+-在推导出每点的坐标计算后，即可通过编程实现Koch 雪花。
在程序中，首先通过初始化定义正三角形底边的两个端点坐标，然后通过计算得出顶点坐标。
对每一条边进行Koch 曲线递归绘制，最终就可以得到Koch 雪花。
Koch曲线
Koch曲線
Koch曲線是一個數學曲線，同時也是早期被描述的一種分形曲線。
它由瑞典數學家
Helge von Koch在1904年發表的一篇題為“從初等幾何構造的一條沒有切線的連續曲線”（原來的法文題目：
"Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire"）的論文中提出。
有一種Koch曲線是象雪花一樣，被稱為Koch雪花（或Koch星），它是由三條Koch曲線圍成的等邊三角形。
設想從一個線段開始，根據下列規則構造一個Koch曲線：
1．三等分一條線段；
2．用一個等邊三角形替代第一步劃分三等分的中間部分；
3．在每一條直線上，重複第二步。
Koch曲線是以上步驟地無限重複的極限結果。
Koch曲線的長度為無窮大，因為以上的變換都是一條線段變四條線段，每一條線段的長度是上一級的1/3，因此操作n步的總長度是(4/3)n：若n→∞，則總長度趨於無窮。
Koch曲線的分形維數是log 4/log 3 ≈ 1.26，其維數大於線的維數（1），小於Peano填充曲線的維數（2）。
Koch曲線是連續的，但是處處不可導的。
Koch雪花的面積是，這裡的s是最初三角形的邊長，Koch雪花的面積是原三角形面積的8/5，它成為一條無限長的邊界圍繞著一個有限的面積的幾何物件。
数学实验报告Koch雪花。
数学实验报告试验二迭代与分形练习一实验目的与要求对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
实验过程具体的代码如下：function plotkoch(r,k) %显示等边三角形迭代k次后的曲线图 r代表边长默认（0 0）为起点p=[(r/2) r*sin(pi/3);r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边1n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;b(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[b;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边2n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;z(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[z;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;(r/2) r*sin(pi/3)]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边3n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;a(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[a;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例运行得到图像如下：k=1 k=5k=0时23 k=1时 S=234r +2312r k=2时 S=234r +2312r + 2327r k=3时 S=234r +2312r + 2327r + 243243r k=n 时 S=234r +2312r + …2(1)12133*4*()3n n r ---+2(1)233*4*()43n n r r - 每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的13，数量为上一次的4倍. S=234+234*（3*21()3+12*221()3+……+3*(1)4n -*21()3n ）2323*(1)211[3*4*()]3n i i i -=∑曲线总面积无穷大。
Koch曲线
一、问题提出：画出Koch 曲线，计算它的第n 级分形的周长L n 。
第一步：先以10cm 为边长，以原点为中心画出正三角形，计算周长L 0。
第二步：将每一边长三等分，在中间段向外突出作小一级正三角形，擦去中间段，计算周长L 1。
第n 步：重复第二步至n=10,50,100,计算周长L n 至极限。
演示过程。
二、研究过程：用Matlab 软件画出第一个图形Γ0和第二个图形Γ1。
如图1与图2所示。
图1 图2通过观察，从第一个图形Γ0到第二个图形Γ1时，显然每条边经过变换变成四条边，Γ1的每条边为Γ0每条边的31。
同时Γ0的每条边生成了一个“突起”，这个突起为正三角形，它与Γ0的边数个数一致，边长和Γ1相同。
下面用几何画板画出一个“突起”。
如图3所示。
图3由图3可以看出：AE 为原来的边，取它的三分点B 、D ，在由BD 为边做出△BCD 。
C 点可以看成D 绕B 点逆时针旋转60°得到，此时B 、C 、D 确定。
设A （x 1，y ）, E （x 2，y ），则B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+,y x x x 3121；D ⎪⎭⎫ ⎝⎛--,y x x x 3122；设()00,y x BC =→，而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡032123232103cos sin sin cos 121200x x x x θθθθy x ， 得到()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=636120120x x y x x x ，即()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→63,61212x x x x BC 。
故用Matlab 演示过程时，在正三角形三边均取两个三分点，然后通过转轴变换移动D 至C 点，最后连接BC 、CD 即可得到图像。
同理可得，从Γn-1到Γn 的过程中，每条边经过变换变成四条边，Γn 的每条边为Γn-1每条边的31。
同时Γn-1的每条边生成了一个正三角形，它与Γn-1的边数个数一致，边长和Γn 相同。
Koch曲线
Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。
从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。
1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。
设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。
现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。
显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。
算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。
opengl绘制实线、虚线、kock曲线(C++)
实验四1、实验目的和要求利用OpenGL实现实线，虚线，点划线的绘制，及kock曲线。
2、实验内容1）用OpenGL程序绘制实现，虚线和点划线2）用OpenGL程序，分别以直线和正三角形为初始生成员，实现迭代次数在6次以内的kock曲线，要求用键盘交互控制迭代次数。
3、实验步骤1）相关算法及原理描述①直线的绘制在OpenGL中绘制直线通过指定直线段的端点来实现，用glVertex函数指定直线段端点的坐标位置，用glBegin/glEnd函数对包含一系列的点坐标，并利用符号常量解释这些点构成直线的方式。
②虚线的绘制绘制虚线需要先调用函数过了Enable（GL_LINE_STIPPLE）；打开划线模式。
然后，函数glLineStipple将建立用于划线的模式glLineStipple（Glint factor, GLushort pattern）；③Kock曲线Kock曲线的初始生成员是一条直线，生成规则是将直线段分为三等分，首尾两段保持不变，中间用两段等长且互成60°角的直线段代替。
这样，直线段被分成四段，每段长度都只有原来的1/3。
Kock曲线的分形维数为D=ln4/ln3≈1.26186假设原直线的首尾点是P0（x0，y0），P1（x1，y1），则新的四段直线段的五个端点坐标分别为(x0 , y0) (x0+(x1-x0)/3 , y0+(y1-y0)/3)((x1+x0)/2±(y0-y1)√3/6 , (y1+y0)/2±(x1-x0)√3/6)(x0+2(x1-x0)/3 , y0+2(y1-y0)/3) (x1 , y1)其中，第三个点坐标公式中的正负号表示中间两条心直线段处于元直线段的哪一侧。
根据这一规则迭代六次。
2）程序调试、测试与运行结果分析①直线的绘制结果②虚线的绘制结果③Kock曲线绘制结果4、实验总结这次是两个实验，先做的是直线、虚线的绘制，这要相对简单的多，直线、虚线的绘制只需要调用相应的函数即可，这个程序和上次的橡皮筋技术很像，只是线的两端点是自己指定的，不需要鼠标或键盘的确定。
Koch分形曲线
在新的图形中，有将没一直线段中间的三 分之一部分都用一个等边三角形的另两边 代替，得到15个结点的图形
• 每迭代一次，曲线的长度增加4/3。 • 下面是迭代5次的图形。
算法的程序设计见下页的M-文件
p=[0,0;10,0]; a=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];
练习
• 以正三角形为基础图形，在每一个边上 构造Koch曲线，得到Koch雪花。
结点 p(4:4:4*n-4,:)=q+2*d; end plot(p(:,1),p(:,2)) %插入第三组结点
算法的设计
(1) Q 1 P 1 ( p 2 P 1) / 3 ( 2 ) Q 3 P 1 2 ( P 2 P 1) / 3 ( 3 ) Q 2 Q 1 ( Q 3 Q 1) A ' ( 4 ) P 5 P 2 ; P 2 Q 1; P 3 Q 2 ; P 4 Q 3;
Koch分形曲线
一、分形的概念
• 把形态、功能和信息方面具有自相似性的对象 称为分形(fractal)。 • Koch曲线是最简单的分形曲线，从一条直线段 开始，将中间的三分之一部分用一个等边三角 形的另两条边代替，得到5个结点的图形
（ 0, 0),( 3.3333, 0),(5.0000, 2.8868),(6.6667,0),(10.0000,0)
• 在第三步中的矩阵A为
cos A sin
3
Байду номын сангаас
sin
3
3 cos 3
• 由上面的程序，从{P1,P2}得到一个新的5 个顶点的数组{P1,P2,P3,P4,P5},就是我们 的生成元，然后对每一个线段{Pi,Pi+1} 再依次进行新的生成过程，得到一个17 个顶点的数组，第n步得到4n-3个顶 点……直至无限，就得到Koch曲线。
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实验 8-2
一、实验题目
在Koch 曲线的基础上，调整α角,分别以α＋0°、α＋60°和α－120°绘制三条Koch 曲线构成封闭图形，形成图8-59所示的Koch 雪花,请编程实现.
二、实验思想
已知初始直线段的起点坐标P 0和终点坐标P 1，可以计算出长度L 0 .
设递归n 次后的最小线元长度为d ，则
三、实验代码
void CTestView:：GetMaxX （)//求屏幕最大x 值
｛
CRect Rect;
GetClientRect(＆Rect ）；
MaxX=Rect.right ；
}
void CTestView ：：GetMaxY()//求屏幕最大y 值
{
CRect Rect ；
GetClientRect （&Rect ）；
MaxY=Rect 。
bottom ；
}
void CTestView ：:Koch1(CDC ＊pDC ，int n ）//α＋0°
2012010)..()..(y P y P x P x P L -+-=n
0))cos +2(1/(θL d =
｛
Position.x=MaxX/4;Position.y=MaxY/4;
if(n==0)
{
b.x+=d＊cos(alpha＊PI/180）；
b。
y+=d*sin(alpha*PI/180)；
pDC->MoveTo（ROUND（a.x+Position.x），ROUND(a。
y+MaxY-Position。
y）)；
pDC->LineTo(ROUND（b。
x+Position。
x)，ROUND（b。
y+MaxY—Position。
y））；
a=b;
return；
｝
Koch1(pDC，n-1);
alpha+=60;
Koch1（pDC，n—1);
alpha—=120;
Koch1（pDC，n—1);
alpha+=60;
Koch1(pDC，n-1)；
｝
void CTestView：:Koch2（CDC *pDC,int n）//α＋60°
{
Position.x=MaxX/4；Position.y=MaxY/4;
if（n==0)
{
b。
x+=d＊cos（(alpha+60)*PI/180);
b。
y+=d*sin（(alpha+60)*PI/180);
pDC—〉MoveTo(ROUND(a.x+Position.x),ROUND（MaxY-Position.y-a.y)）；
pDC->LineTo（ROUND(b。
x+Position。
x),ROUND（MaxY—Position.y-b。
y）);
a=b；
return；
}
Koch2（pDC,n—1);
alpha+=60；
Koch2(pDC,n-1）；
alpha—=120；
Koch2(pDC，n—1）；
alpha+=60；
Koch2(pDC,n—1)；
｝
void CTestView:：Koch3（CDC ＊pDC，int n）
{
Position。
x=MaxX/2；Position.y=MaxY/4;
if(n==0）
｛
b。
x+=d*cos((alpha-120）*PI/180）；//α－120°
b.y+=d＊sin（（alpha—120)＊PI/180)；
pDC->MoveTo（ROUND（a。
x+Position.x),ROUND（a。
y+MaxY-Position。
y));
pDC->LineTo(ROUND（b.x+Position。
x），ROUND(b。
y+MaxY-Position。
y))；
a=b;
return;
｝
Koch3（pDC，n-1）;
alpha+=60；
Koch3（pDC，n-1);
alpha—=120;
Koch3(pDC，n—1）；
alpha+=60;
Koch3(pDC，n-1）；
｝
void CTestView：:OnMENUKochSnow（）
｛
// TODO： Add your command handler code here CInputDlg dlg；
if (dlg。
DoModal()==IDOK)
n=dlg。
m_n；
else
return；
RedrawWindow（);
CDC *pDC=GetDC（);//客户区DC
GetMaxX（);GetMaxY（）;
d=(MaxX/4)/pow（3，n)；
a.x=0，a。
y=0,
b.x=0，b.y=0，alpha=0；
Koch1(pDC,n）;
a.x=0,a。
y=0,
b.x=0,b。
y=0，alpha=0;
Koch2（pDC,n）；
a。
x=0,a.y=0，b.x=0，b。
y=0，alpha=0；
Koch3（pDC，n);
ReleaseDC（pDC）；
｝
四、实验结果截图。