几何证明选讲训练
2013高三数学总复习同步练习：12-1几何证明选讲
12-1几何证明选讲 基础巩固强化1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π [答案] B[解析] ∠A ＝∠BCD ＝30°，由BC sin A ＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BEEC ＝4，AE 交BD 于F ，BFFD等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1:4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. [点评] 利用AD ∥BC 可证△BEF △DAF .⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥AD ⇒∠EAD ＝∠AEB ∠ADF ＝∠FBE ⇒△BFE △DFA ⇒BF FD ＝BE AD ＝BE BC ＝45. (理)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm [答案] B[解析] ∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ，∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GD EC ＝12cm ， ∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.3．(文)如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562C.15D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.(理)如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S △DBA ＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析] ∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE △DBA ，∴S △ABE S △DBA ＝AB 2 DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5，∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ， ∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45， S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 4．(文)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2012·合肥二检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55B.255C.355D.32[答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355. 6．(文)(2012·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝________.[答案] 4 2[解析] 由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ，∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵PA 2＝PC ·PB ＝32，∴PA ＝4 2.(理)(2012·天津十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( ) A ．4 B.52 C ．3 D.12[答案] B[解析] 解法1：根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y ＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254x ＝52，即EA ＝52. 解法2：连AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，CD ＝2，BD ＝4，∴AD ＝CD 2BD＝1，又EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝90°， ∴△EAB△CDB ，∴EA CD ＝AB BD ，∴AE ＝AB ·CD BD ＝52.7．(文)(2012·合肥二检)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，线段DE 的长为355，则⊙O 的半径为________．[答案] 2[解析] 延长BO 交⊙O 于点F ，设⊙O 的半径为r ，则AD ＝r 2＋(r 2)2＝52r ，又BD ＝12，DF ＝2r －12r ＝32r ，由圆的相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DF ，即5r 2×355＝12r ×32r ，解得r ＝2.(理)(2011·深圳调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案]377[解析] ∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2， ∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377.8．(文)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2012·湖南理，11)如右图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．[答案] 6[解析]设圆半径为r，由切割线定理：P A·PB＝(3－r)·(3＋r)，即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝ 6.9.(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC ＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.[答案] 2[解析]连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2012·哈三中模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过⊙O 上一点H 作⊙O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC 、AB 的延长线交这条切线于点E 、F ，连接AH 、CH.(1)求证：AH 平分∠EAF ；(2)若CH ＝4，∠CAB ＝60°，求圆弧BHC ︵的长．[解析] (1)证明：连接OH ，则OH ⊥EF .∵EF ∥BC ，∴OH ⊥BC ，∴H 为弧BC 的中点，∴∠EAH ＝∠F AH ，∴AH 平分∠EAF .(2)连接CO 、BO ，∵∠CAB ＝60°，∴∠COB ＝120°，∴∠COH ＝60°，∴△COH 为等边三角形，∴CO ＝CH ＝4，又∵∠BOC ＝120°，∴BHC ︵的长为8π3. 能力拓展提升11.(文)(2012·湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB 、AD的中点，则EF ＝__________.[答案] a 2[解析] 连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a 2. (理)如图所示，已知圆O 直径为6，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 延长线于点D ，则DA＝________.[答案] 3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角，∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2，∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.12．(文)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED ＝4.则AB的长为________．[答案]2 3[解析]∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∠C＝∠D，∴∠ABC ＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE△ADB，∴AB2＝AE·AD，∴AB＝2 3.(理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5 [解析] ∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AC ，又BC ⊥AC ，∴△ADO △ACB ，∴OD BC ＝AO AB∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154， AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5. 13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 解法1：∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.解法2：由题意知，CD 2＝AD ·DB ≤(AD ＋DB 2)2＝AB 24＝4.(当且仅当AD ＝DB 时取等号)．∴CD max ＝2.(理)(2012·广州测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD的值为________．[答案] 2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD ＝AC CD ＝4r 22r＝ 2. 14．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF＝2， ∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83. 又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ，又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．(理)(2012·深圳调研)如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.[答案] 355[解析] 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 15．(文)(2012·银川一中二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC ︵的中点，BD 交AC 于E .(1)求证：DC 2＝DE ·DB ； (2)若CD ＝23，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r .[解析] (1)证明：由D 为AC →中点知，∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ，又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ～△CED ，∴DE DC ＝DC DB ，∴DC 2＝DE ·DB ；(2)∵D 是AC ︵的中点，∴OD ⊥AC ，设OD 与AC 交于点F ，则OF ＝1，在Rt △COF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，即CF 2＝r 2－1，在Rt △CFD 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，∴(23)2＝r 2－1＋(r －1)2，解得r ＝3.(理)(2012·昆明一中测试)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，延长AD 和BC 相交于点E ，AB ＝AC .(1)证明：AB 2＝AD ·AE ；(2)若EG 平分∠AEB ，且与AB 、CD 分别相交于点G 、F ，证明：∠CFG ＝∠BGF .[证明] (1)如图，连接BD .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB .又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△ABD △AEB ，所以AB AD ＝AE AB，即AB 2＝AD ·AE . (2)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABC ＝∠EDF . 又因为∠DEF ＝∠BEG ，所以∠DFE ＝∠BGF .又因为∠DFE ＝∠CFG ，所以∠CFG ＝∠BGF .16．(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB的延长线交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．[解析](1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB△EAC，∴BC AC ＝EC EA ＝22，∴AC ＝2BC . ∵AC 2＋BC 2＝AB 2＝36， ∴BC ＝2 3.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656 D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.2．(2011·广州市测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[答案] 237[解析]如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. [点评]过D 作DH ∥AB 交EF 于G ，交BC 于H ，由平行截割定理知，DG GH ＝AE EB ＝34，∴DG DH ＝37，由GF ∥HC 可得，GF HC ＝DG DH ＝37， ∵GF ＝EF －2，HC ＝5－2＝3，∴EF ＝237. 3．(2011·南昌市模拟)函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．[答案] (0,1)[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (－2011,0)，B (2010,0)，与y 轴交于点C (0，－2010×2011)，设经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，y 0)，易知原点O 在圆的内部，y 0>0，由相交弦定理知，|OA |·|OB |＝|OC |·|OD |，∴2011×2010＝2010×2011y 0，∴y 0＝1.4.(2011·广东汕头测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12.5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(2011·北京朝阳区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3.7．(2011·天津文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案] 72[解析]由题意：⎩⎨⎧AF ·FB ＝DF ·FC ＝2，AFFB ＝2.∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72.由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74.∴CE ＝72.8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33.9．如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.10．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角 ∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE △ADC . (2)由(1)可知△ABE △ADC ，故AB AE ＝ADAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ① 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°11．(2011·新课标全国文，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD 、AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析](1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C 、B 、D 、E 四点共圆。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
几何证明选讲解三角形排列组合(教师版)
几何证明选讲练习 姓名_______________1．如图，在中，，，过作的外接圆的切线，，与外接圆交于点，则的长为__________．【答案】2．如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD //AC ． 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ． 若AB = AC ， AE = 6， BD = 5， 则线段CF 的长为______．【答案】833．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC =_________．【答案】4．如图， 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ， 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ． 已知PD =2DA =2， 则PE =_____．【答案】.6 ABC 090C ∠=060,20A AB ∠==C ABC CD BD CD ⊥BD EDE5.A ED CB O 第15题图5．如图2，O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为____________．【答案】23 6．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为___________．【答案】8 7．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ．若PA=3，916PD DB =：：，则PD=_________；AB=___________．【答案】95；4 解三角形练习1．如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=点D在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______．【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题．【解析】（法1）过A 作AE ⊥BC,垂足为E ，∵AB=AC=2，BC=∴E 是BC 的中点，且EC=O D EBACRt AEC ∆中，AE=又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=（法2） ∵AB=AC=2，BC=由余弦定理知，cos C =2222AC BC AB AC BC +-⨯∴C=30°， 在△ADC 中，∠ADE=45°，由正弦定理得，sin sin AD AC C ADC=∠， ∴AD=sin sin AD C ADC ∠=12⨯2．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A．3 B．6 C3 D6【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =2AB AD a ==,在ABD ∆中,由余弦定理得： 222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-=13，所以sin A=，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，所以2sin C =，解得sin CD ． 3．,EF 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A ．1627B ．23 CD ．34【答案】D4．在△ABC 中， 4ABC π∠=，AB 3BC =，则sin BAC ∠ =（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C5．ABC ∆中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________．【答案】36．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，求边BC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长．排列组合练习题1．有6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【解析】选①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人．2．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用．4()A 13()B 14()C 23()D 24D 261315132C -=-=4244,,,,,a a b b c c【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有．3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484解析：,答案应选C ． 另解：． 4． 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况；若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况；综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，则所有可能出现的情况共20种，故选C ．5．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种； 4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D6．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）．【解析】概率为 语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有种排法． 32212⨯⨯=472885607216614151641122434316=-=--⨯⨯=--C C C C 472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C 313=C 624=C 225460C C =455C =3____53344A A 3312122223A C C A C3故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为5。
几何证明选讲定理大全
6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O旳直径， CE⊥AD，E为垂足，CE旳延长线交AB
于点F，求证：AC2=AF·AB.
7.已 知BC是 圆O的直 径，AD BC，垂足 为D， BF交AD于E， 且AE BE. (1)求证 ：弧AB 弧AF; (2)如 果sinFBC 3，AB 4 5， 求AD的 长.
直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂
足为D，
求证：AC平分∠BAD
E
O
A
C
D
2.如图，⊙O和⊙O′都经过A、B 两点，AC是⊙O ′旳切线，交 ⊙O于C，AD是⊙O旳切线，交 ⊙O ′于D，
求证：AB2＝BC·BD.
A
O CB
O' D
3.在△ABC中，∠A旳平分线AD交BC 于D，⊙O过点A，且和BC切于D， 和AB、AC分别交于E、F， 求证：EF//BC.
若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆；
D
若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
C O
PA
B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点旳直线CD与
⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点旳直线EF与
⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
D
E
A
A
D
C
C O1
O2
F
D
E
B
C
A
D
E
16
16 8
CF DE , BF 8
.
3
33
B
17版：几何证明选讲（步步高）
课时1相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也________．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线______________．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：(2)________________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的____________；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的____________．1．(2015·南京模拟)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度．3．(2015·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求BFFC的值．题型一平行截割定理的应用例1如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC 分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.思维升华当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度．(2)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的长．题型二相似三角形的判定与性质例2(2015·南京质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.思维升华(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长．(2)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，求四边形ABCD的面积．题型三射影定理的应用例3(2015·苏州调研)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长．1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．课时2直线与圆的位置关系1．圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于________________．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角________．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_______________．(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点________．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点________．3．圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．4．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．与圆有关的比例线段切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长______两条切线的夹角．1．(2015·南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线P AB，C为切点．求证：AP·BC＝AC·CP.2．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．3．(2015·扬州质检)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长．4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题例1(2015·课标全国Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．思维升华(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(1)(2015·无锡模拟)如图所示，⊙O的两条切线P A和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小．(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，求P A的长．题型二四点共圆问题例2(2015·银川一中月考)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．思维升华(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．题型三与圆有关的比例线段例3(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长．第(1)题图第(2)题图(2)(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．1．判定切线通常有三种方法：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．2．四点共圆问题主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明，利用圆内接四边形的性质或判定对问题求解．3．解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．答案解析课时1 相似三角形的判定及有关性质基础知识 自主学习 知识梳理1．相等 平分第三边 平分另一腰 2．成比例3．(1)两角 两边 夹角 三边 (2)相似比 相似比的平方 4．比例中项 比例中项 考点自测1．证明 由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ， 故A ，B ，C ，D 四点共圆，从而∠CAB ＝∠CDB . 由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ， 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．解 在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD＝27. 3．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型分类 深度剖析例1 证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DK DH.因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KF KO ，即KO 2＝KE ·KF .跟踪训练1 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.例2 证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ， ∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 跟踪训练2 解 (1)∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，∴△PDE ∽△PEA ， ∴PE P A ＝PDPE，则PE 2＝P A ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6. (2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10， 由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD， 所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 例3 解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AFAC ＝x 2－1x.在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.跟踪训练3 解 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ＝9∶4， ∴AC ∶BC ＝3∶2.(2)如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9.课时2 直线与圆的位置关系基础知识 自主学习 知识梳理1．(1)它所对弧的度数 (2)一半 相等 直角 2．(1)互补 对角 (2)共圆 共圆 3．(1)切线 (2)半径 切点 圆心5．PC ·PD △BDP PC ·PD △PDB PB ·PC △PCA (1)PB ∠OPB 相等 平分 考点自测1．证明 因为PC 为圆O 的切线，所以∠PCA ＝∠PBC ， 又∠CP A ＝∠BPC ，故△CAP ∽△BCP ， 所以AC BC ＝APCP ，即AP ·BC ＝AC ·CP .2．解 首先由切割线定理得P A 2＝PC ·PD ，因此PD ＝623＝12，CD ＝PD －PC ＝9，又CE ∶ED＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3，再由相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2.3．解 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF ，∴EF ＝3.4．解 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20， ∴AC ＝10，BC ＝10 3.∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3.由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ， 即(53)2＝15DE ， ∴DE ＝5.题型分类 深度剖析例1 (1)证明 连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB . 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)解 设CE ＝1，AE ＝x ， 由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.由射影定理可得，AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.跟踪训练1 解 (1)如图所示，连接OA ，OB ，则OA ⊥P A ，OB ⊥PB . 故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.(2)如图，连接OA ，由圆周角定理知∠AOC ＝60°，又OA ⊥P A ，在Rt △POA 中，P A ＝OA ·tan ∠AOC ＝1×3＝ 3.例2(1)证明如图，连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.跟踪训练2证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．例3(1)证明因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32， 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.跟踪训练3 解 (1)由相交弦定理得AF ·FB ＝DF ·CF ，由于AF ＝2FB ，可解得FB ＝1，所以BE ＝12.由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝74，即CE ＝72.(2)由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2. 由切线长定理得PB ＝P A ＝2QA ＝4.。
几何证明选讲(广东文数)
选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理. （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；2. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；222A AD BC =___________,__________,__________ABCRtAD AB AC ==如图，中，为直角，为斜边上的高，则3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
圆内接四边形的性质与判定定理_ B_ C_ A4.圆中的比例线段三、常见题型题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ， 则=+ADFGBC EF ．变式练习. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC 分成面积相等的两部分，那么:DE BC =__________例2. 如图，在ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，D A B D B A ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.题型二.与圆角度相关问题例1.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 _ __ .变式练习.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延 长线上， BD=OB ，CD 与⊙O 切于C ，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 ____变式练习. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为________题型三.切割线定理例1.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD,AB 是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB= __。
高二数学几何选讲试题答案及解析
高二数学几何选讲试题答案及解析于点，过点作两1.如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（1）求证：；（2）若是⊙的切线，且，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点，推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；（2）圆的切线的性质定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线；若已知条件中直线与圆的公共点不明确，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径；（3）掌握与圆有关的比例线段，如相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理.试题解析：解：（I）∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝∠D，1又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC. 5分（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴＝12 ①∵AD∥EC，∴，∴②由①、②解得（∵x>0，y>0）∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12. 11分2【考点】（1）证明直线与直线平行；（2）求切线长.2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D是AB的中点，∠ADE=∠ACB，则DE=_________．【答案】.【解析】首先由知，∽，所以.然后因为AB=8，D是AB的中点，所以.又AC=7，BC=6，所以，即.【考点】相似三角形的性质.3.如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN=_________．【答案】1.【解析】因为AC为⊙O的直径，OB⊥AC，且OC=，OM=1，所以，. 设，由相交弦定理知，即，所以，即.【考点】与圆有关的比例线段.4.如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】四边形是圆的内接四边形，它的两对对角互补，进而得到∽，因而有，故选择B.【考点】平面几何中的圆与四边形.5.如图在△中,∥,,交于点,则图中相似三角形的对数为( ).A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】,;又,,故选B.【考点】相似三角形.6.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以AE. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长.【答案】【解析】利用相交弦定理可得到的等量关系，并结合已知条件可计算出,利用切割线定理可得到的等量关系，并结合前面所得可得结果.试题解析：由相交弦定理得，由于，可解得，所以.由切割线定理得，即.【考点】相交弦定理，切割线定理.8.若一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为A．7.2 cm2B．6 cm2C．12 cm2D．24 cm2【答案】B【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8 (cm)，故由射影定理知斜边长为＝5 (cm)，∴三角形的面积为×5×2.4＝6 (cm2)．9.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.【答案】【解析】连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，即BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.10.如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝4，PC＝PD.求CD 的长．【答案】10【解析】解设CD＝x，则PD＝x，PC＝x.由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，∴4×4＝x·x，x＝10.∴CD＝10.11.如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.【答案】【解析】依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.12.如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于A．3∶14B．14∶3C．17∶3D．17∶14【答案】B【解析】过Q点作QM∥AP交BC于M，则＝＝，又∵＝，∴＝.又＝＝，＝＝，∴＝，∴＝.13.如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有①∠AED＝∠B②＝③＝④DE∥BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.14.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】设AP＝x，则PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，得x＝<7，符合条件．(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P 有3个．15. 在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，AD ＝2，则四边形ABCD 的面积是______． 【答案】4【解析】因∠B ＝∠D ＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA 与CD 的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE ，由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形，所以DE ＝AD ＝2，所以S △ADE ＝×2×2＝2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ， 所以＝2＝2＝3.∴S △EBC ＝3S △EDA ，∴S 四边形ABCD ＝S △EBC －S △ADE ＝4.16. 如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝8，BD ＝7，求DC 的长．【答案】9【解析】解 ∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ， ∴△CAD ∽△CBA.∴＝＝.∴AC ＝，AC ＝.∴＝.设CD ＝x ， 则＝，解得x ＝9.故DC ＝9.17. 如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．【答案】5【解析】由相交弦定理知 EA·EB ＝EC·ED. (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.18. 如图所示，已知BC 是⊙O 的弦，P 是BC 延长线上一点，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.19.(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】(1)见解析 (2)cm【解析】(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)解因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝cm.20.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为A．1B．C．D．【答案】C【解析】⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，∴OB＝＝R，∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.21.若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.【答案】1或－1【解析】由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1. 22.(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.【答案】见解析【解析】证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.23.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O24.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为A．m sin2α B．m cos2αC．m sin αcos α D．m sin αtan α【答案】C【解析】由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcos αsin α.故选C.25.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．【答案】【解析】在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.∵E为AB的中点，∴＝＝，∴＝.26. (拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．【答案】(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析 (2)【解析】解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2.又∵△AMF∽△BGM，∴＝∴BG＝＝＝.又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，∴CG＝4－＝.∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.27.如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.【答案】3∶22∶1【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.∵BF∶EF＝3∶2，∴＝＝.∴AC∶AE＝3∶2.又DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即＝.∴＝.即＝＝2，即＝2.∴AD∶BD＝2∶1.28.如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.【答案】见解析【解析】证明如图所示，连接AE交DC于O.∵四边形ACED是平行四边形．∴O是AE的中点．∵在梯形ABCD中，DC∥AB，在△EAB中，OF∥AB，又∵O是AE的中点，∴F是EB的中点，∴EF＝BF.29.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于上底和两腰长已知，故要求梯形面积，关键是要找出底边上和高，由于图形中无法再分析出边与边的关系，所以我们可以从角的方向入手，求梯形的内角。
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几何证明选讲专题
1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则
EF FG
BC AD
+=
1 由平行线分线段成比例可知
,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FC
BC AD AC
++==
2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若
AEF ∆的面积为6cm 2，则ABC ∆的面积为 cm 2
72 不妨设,AEF ABC ∆∆,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边 形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以
:1:12AEF ABC S S ∆∆=，从而ABC ∆的面积为72 cm 2
3．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于
5 由直角三角形射影定理2
CD BD DA =⋅可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若
4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=
30 由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即4(4)5(53)AB ⨯+=⨯+，得6AB =
即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠=
，从而1
302
CBD COD ∠=
∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，
1PB =，则圆O 的半径R =
由切割线定理知2PA PB PC =⋅，即221PC =⨯，4PC =，所以AC =
6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD =
245
由切割线定理知2
PC PA PB =⋅得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ⨯⋅=⋅=
=+，从而24
5
CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知
6,AB CD ==AD 的长度为
由条件可知AB 为圆O 的直径，所以3r =，连接OD ，则2OE ==，
所以5,AE AD ==
=
8．如图，在梯形ABCD 中，////AD BC EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H ，若5,7AD BC ==，则GH =
1 由条件可知EF 为梯形ABCD 的中线，且1
(57)62
EF =
+=；由相似三角形的相似比可知,57EG BG GF DG BD BD ==，从而6157EG EG -+=，解得52EG =，同理可解得
5
2HF =，所以1GH =
9．如图，圆的内接ABC ∆的C ∠的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知3BD =，
7,5CE BC ==，则线段BE =
21
5
因为CD 为C ∠的平分线，所以BCE ECA ∠=∠，又圆周角EBA ECA ∠=∠，所以BCE EBA ∠=∠，又E E ∠=∠，所以EBC EBD ∆∆ ，从而BE BD EC BC =，即3
75
BE =，
所以21
5
BE =
10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BC 是直径，MN 切圆O 于A ，25MAB ∠=
， 则D ∠=
115 连接AC ，由条件可知25C MAB ∠=∠= ，又BC 为直径，所以90BAC ∠= ，、
从而180902565B ∠=--= ，又180B D ∠+∠= ，所以115D ∠=
11．如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则
BF
BC
=
1
2
过E 作//EG DC 交BC 于G ，因为E 是BD 的中点，D 是AC 的中点，所以1124EG DC AC ==，BG GC =，又11
43
FG FC GC ==，所以
21
32
BF BG FG GC FC =-==
12．如图，圆'
O 和圆O 相交于A 和B ，PQ 切圆O 于P ，交圆'
O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ，3,15,MN NQ ==则PN =
由割线定理、切割线定理，有2NM NQ NB NA NP ⋅=⋅=，所以2315PN =⨯，
即PN =13．如图，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆上两点，如果46E ∠=
32DCF ∠= ，则A ∠的度数是
因为,EB EC 是圆O 的两条切线，所以EB EC =，又46E ∠=
，所以
1
(18046)672EBC ECB ∠=∠=-= ，又32DCF ∠= ，所以
180673281BCD ∠=--= ，从而1808199A ∠=-=
14．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距
离为3AB =，则切线AD 的长为
依题意，2BC ==，所以5AC =，由215AD AB AC =⋅=
，
得AD =15．如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心
O ，若12,PF PD ==
则EFD ∠的度数为
30
由切割线定理得2
PD PE PF =⋅2163
412
PD PE PF ⨯⇒===8EF ⇒=,4OD =, ∵OD PD ⊥,1
2
OD PO =
∴30P ∠= ,60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=。