高考中的几何证明选讲
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线
第2讲 圆周角定理与圆的切线【高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。
高考数学专题几何证明选讲
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：452.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°平行线分线段成比例定理的应用，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD ＝________.解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：2∶52.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. 答案：1 [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案]6[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：4 2射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC＝________.解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用． 3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CFCA ，CF＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.答案：55° [类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD ，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，11 所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
第23讲几何证明选讲
第23讲几何证明选讲一．高考真题体验（2015年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若，求∠ACB 的大小。
(2014年)（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且M B M C =， 证明：ABC ∆为等边三角形.（2013年）（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D 。
（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径。
（2012年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：(Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBDG（2011年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。
已知的长为m ，的长为n ，AD,的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
二．考情考向分析几何证明是选做题之一，考试中属于容易题．三．热点分类突破考点一 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 2.圆的切线的性质及判定定理例1 (1)(2014·高考江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.D E ABC∆AB AC ABC ∆AE AC AB x 2140x x mn -+=C B D E 90A ∠=︒4,6m n ==C B D E(2)(2015·唐山市统考)如图，△ABC 内接于⊙O， AB ＝AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB ，AD 交BC 于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF ＝AE ，求证：BF 是⊙O 的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．跟踪演练1如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．求证： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2＝BE·CD.考点二 圆内接四边形的判定及性质圆内接四边形的判定定理和性质定理例2(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC 的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到一定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．跟踪演练2(2015·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O 的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．考点三与圆有关的比例线段 与圆有关的比例线段相交弦定理弦PAB 切割线定理PA 切线长定理PA 例3(2014·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E.证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD·DE＝2PB 2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．跟踪演练3.(2015·辽宁省五校联考) 如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．四．课后限时训练1. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E.(1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．2．(2015·郑州市质量预测) 如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F.(1)证明：A 、E 、F 、M 四点共圆 (2)若MF ＝4BF ＝4，求线段BC 的长．3．(2015·山西省四校联考) 如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.(1)求证：AB AC ＝PAPC ；(2)求AD·AE 的值．4. (2015·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．5．(2014·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，P D 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED.6. (2015·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD.(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．7. (2015·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.(1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.8．(2015·云南省第一次统一检测)已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.(1)求证：PA·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．9 (2015·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CD＝CA.10. 如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．。
高考数学(理)二轮配套训练【专题8】(1)几何证明选讲(含答案)
第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________． 答案 3∶2解析 方法一 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC )2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD .又AD ∶BD ＝9∶4， 所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二 因为AD ∶BD ＝9∶4， 所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ， 所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ， 所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，BE 的长为________． 答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且P A ＝4，PC ＝8，则tan ∠ACD 和sin P 的值为________． 答案 12，35解析 连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝P A ·PB .故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PC PB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B .所以tan ∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12.因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10. 所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三 圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·湖北)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO 的值为________．答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD， 设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·湖南)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt △ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析 在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE ＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE )2＝9.押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a 2解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt △ADE 中，AD ＝a ， F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·陕西)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF，∴EF ＝3.3．(2014·天津改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·F A ， 故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE . ∴AE BE ＝CEDE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BDAB ，即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝P A ＝2QA ＝4.2．(2014·重庆)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________. 答案 4解析 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________． 答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD .∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2， 所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BFFC 的值为______．答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. 6．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析 由切割线定理可得P A 2＝PB ·PC ， 即PC ＝P A 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3， 因为AC 是圆O 的直径， 所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12， 即AC ＝12＝23， 所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，P A ＝2，则AC 的长为________． 答案2解析 ∵P A 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD . ∵P A ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则P A ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠P AD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠P AD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x ，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD， 所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°， AC ＝AD sin ∠ACD＝2， AB ＝AC sin ∠ABC＝4， 故圆O 的面积为π·22＝4π.。
专题：几何证明选讲
专题：几何证明选讲【知识梳理】1.相似三角形的判定定理：判定定理1.两角对应相等的三角形相似。
判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。
判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。
性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.平行截割定理三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。
4.射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。
5.圆周角与弦切角圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。
推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。
推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。
6.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论1.直径所对的圆周角都是直角推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。
7.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
8.圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理：（不用掌握）9.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
【知识梳理】平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
10-1几何证明选讲 39张 公开课一等奖课件
[证明]
EP AE (1)∵EP∥BC，∴ ＝ . BC AB
PF DF 又∵PF∥BC，∴ ＝ . BC DC AE DF EP PF ∵AD∥EF∥BC，∴AB＝DC，∴BC＝BC， ∴EP＝PF.
(1)△DFE∽△EFA；
(2)△EFG∽△EFC.
[解析] 证明：(1)∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ∵∠DFE＝∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.
(2)由(1)知：△DFE∽△EFA， EF FD ∴ ＝ ， FA EF 即 EF2＝FA· FD. 由割线定理得 FA· FD＝FG· FC. EF FC ∴EF ＝FG· FC，即 ＝ . FG EF
线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； 1 (2)若△ABC 的面积 S＝2AD· AE， 求∠BAC 的大小．
[分析] (1)利用两角对应相等，两三角形相似． (2)利用△ABE∽△ADC及面积公式来求解． [证明] (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似 ( 简叙为：两角对应相等，两三角形相似 ) ；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比
例且夹角相等，两个三角形相似)；如果一个三角形的三条
边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．
(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形
第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形【高考会这样考】1．考查相交弦定理，切割线定理的应用． 2．考查圆内接四边形的判定与性质定理． 【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能.基础梳理1．圆中的比例线段 定理名称基本图形条件结论 应用 相交弦定理弦AB 、CD 相交于圆内点P(1)P A ·PB ＝PC ·PD ； (2)△ACP ∽ △DBP(1)在P A 、PB 、PC 、PD 四线段中知三求一； (2)求弦长及角 切割线定理P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线(1)P A 2＝PB ·PC ； (2)△P AB ∽△PCA (1)已知P A 、PB 、PC 知二可求一； (2)求解AB 、AC 割线定理P AB 、PCD 是⊙O 的割线 (1)P A ·PB ＝PC ·PD ；(2)△P AC ∽△PDB(1)求线段P A 、PB 、PC 、PD 及AB 、CD ； (2)应用相似求AC 、BD2.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形判定定理：①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．双基自测1．(2011·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．解析∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴BCAD＝PBPD＝13.答案1 32．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案125°3．(2011·深圳调研)如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为BD的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________.解析如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴AE ⊥BE ，又E 是 BD 的中点， ∴∠BAE ＝∠EAC ， 从而E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ＝6，AB ＝AC ＝18，由CD ·CA ＝CE ·CB ，得(18－AD )×18＝6×12，故AD ＝14. 答案 144．(2011·广州模拟)如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.解析 ∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ， ∴△ABD ∽△BCD ，AD BD ＝AB BC ，解得BC ＝32. 答案 325．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知， EA ·EB ＝EC ·ED .(*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5. 答案5考向一相交弦定理的应用【例1】►(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．[审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE.解析延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝AO2＋OD2＝ 5.由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即5·DE＝1×3，DE＝35 5.答案35 5相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用.【训练1】(2011·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.解析依题AP＝PB＝32a，由PD·CP＝AP·PB，得CP＝AP2PD＝98a.答案98a考向二切割线定理的应用【例2】►如图所示，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．[审题视点] 由切割线定理知P A2＝PB·PC，可得直径BC的长，要求AD·AE，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可．解如图所示，连接CE，∵P A是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴P A2＝PB·PC.又P A＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.∵P A切⊙O于A，∴∠P AB＝∠ACP.又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA.∴ABCA＝P APC＝1020＝12.∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝65，AB＝3 5. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴ABAE＝ADAC.∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧．【训练2】如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC.求证：AP·BC＝BE·AC.证明由题意可知∠APC＝90°，连BP，则∠APB＝90°，∴B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于AB⊥AC，易证Rt△APB∽Rt△CAB.∴ABCB＝PBAB，即AB2＝BP·BC，又由切割线定理，得BE2＝BP·BC，∴AB＝BE，又Rt△APB∽Rt△CAB，∴ABCB＝APCA，即AP·BC＝AB·AC，∴AP·BC＝BE·AC.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】►(2011·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.[审题视点] (1)利用∠PHQ＝∠PKQ＝90°；(2)先证∠HKS＝∠QSP，TS＝TK，再证TS＝QT.证明(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若P A·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若P A·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．【训练3】如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .证明 (1)如图，连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵AG ⊥FG ，∴∠AGE ＝90°. 又∠EAG ＝∠BAC ， ∴∠ABC ＝∠AEG .又∠FDC ＝∠ABC ， ∴∠FDC ＝∠AEG . ∴∠FDC ＋∠CEF ＝180°. ∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线， ∴GH 2＝GC ·GD .由C ，D ，F ，E 四点共圆，得∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF . ∴△GCE ∽△GFD . ∴GC GF ＝GE GD， 即GC ·GD ＝GE ·GF .∴CH 2＝GE ·GF .如何求解高考中几何证明选讲问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对切割线定理的应用及四点共圆问题重点考查，题型为填空题或解答题．【示例】► (本题满分10分)(2011·新课标全国)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．第(1)问连DE ，证明△ADE ∽△ACB ，即证∠ADE ＝∠ACB ，根据对角互补判定四点C ，B ，D ，E 共圆；第(2)问先求AD 、AB 的长，再确定C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心，进一步求半径．[解答示范] (1)连接DE ，根据题意，在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ， 从而△ADE ∽△ACB .(3分) 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(4分)(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.(6分)取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .(8分)由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.(10分)本题主要考查平面几何证明，四点共圆，三角形相似，一元二次方程根与系数的关系．四点共圆常用的证明方法是求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角，当然也可以求出过其中三点的圆，然后证另一点也在这个圆上，也可以证明以两个点为端点的线段的垂直平分线与以另两个点为端点的线段的垂直平分线相交．【试一试】(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[尝试解答] (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
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高考中的几何证明选讲几何证明选讲是新课标新增内容，在我省高考中是选考内容，常以填空题的形式出现，难度不大，在备考中应从考纲入手，掌握考试要求，在平时训练中，熟练掌握多种题型，以不变应万变。
几何证明选讲常考内容有：平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.考题多数是以求角度，线段长度，面积，比值等。
类型一．求比值例1.（2007湛江一模理）如图1，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则=FCBF.【解析】作DH//BC 交AF 于H ，则由D 为AC 中点知12DH FC =, 又DH//BF, E 为BD 中点，易知BF=DH, 所以,BF DH =所以：12BF FC = 【命题意图】本题考查平行线分线段成比例定理。
例2．(2010天津理科)如图2，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长A B 和DC 相交于点P 。
若12PB PA =，13PC PD =，则BCAD的值为 。
【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以 PB PD =PC PA =BCAD，设PB=x ，PC=y ，则有32x y y x =，即62y x =， 所以BC AD =3x y=66。
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。
类型二. 求长度 例3. (2010湖南理科)如图3，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________.【解析】根据切线长定理2216,82PT PT PA PB PB PA ==== 所以826AB PB PA =-=-= 【命题意图】本题考察切线长定理。
例4．（2010广东理科）如图4，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23a，∠OAP=30°，则CP ＝______.【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥.在Rt OPA ∆中，3cos30BP AP a a ===. A BCD E F H 图1图2.OBTA图3OA PD C 图4由相交线定理知，BP AP CP DP ⋅=⋅，即332223a a CP a ⋅=⋅，所以98CP a =． 【命题意图】考查垂径定理，相交弦定理。
类型三.求角度例5(2008惠州一模理)如图5：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320， 则∠A 的度数是 ____【解析】由EB ，EC 为⊙O 的切线，则EB=EC ，所以∠ECB=∠EBC=90o 1672o E -∠=又∠DCF ＝320，所以∠BCD ＝180089o ECB DCF -∠-∠=， 由∠A 180oBCD +∠=,所以∠A=99o【命题意图】考查圆的内接四边形的性质。
例6. 如图6,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=__________【解析】连结AD ,则sin ADAPD AP∠=,又CDP BAP ∆∆, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠===,所以2122sin 1()33APD ∠=-=. 【命题意图】考查圆内相交弦，相似似三角形的性质。
类型四. 求面积例7（09广东理）如图7，点是圆上的点， 且AB=4,∠ACB=45o ， 则圆的面积等于 ．【解析】连结、，则，∵，，∴，则；【命题意图】考查圆周角的性质。
例8. (08广州一模文)在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上， 且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为62cm ， 则ABC ∆的面积为 2cm ． 【解析】1123AE AE EB AB =⇒=，AFE CFD ∆∆ 13AF AE AE CF CD AB ⇒===, 所以14AF AC = 设 AEF ∆的高为h 1, ABC ∆的高为h 2, 则1214h h =所以121167234AEF ABC ABC ABCS AE h S S AB h S ∆∆∆∆===⇒= 【命题意图】考查相似三角形的性质。
平面几何选讲在高考中是比较容易的题目，在备考中，要熟练掌握考纲要求的几个定理，并能灵活应 用。
图5 图6OC AB图7AEB CDF图8习题精练1.如图1，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则=+ADFGBC EF ． 简答：//(1)//(2)(1)(2)1EF AFEF BC BC AC FG CFFG AD AD ACEF FG CF AF ACBC AD AC AC AC ⇒=⇒=++=+==2.如图2, 在ABCD 中E 为CD 上一点，23DE CE =连结AE ，BE ，BD ，且AE 、BD 交于点F ，则::________DEF EBF ABF S S S ∆∆∆=1122122221355212221552DEF EFBEBF ABFBDF h S DE DE DF EF CE AB BF AF S BF h EF h S EF AF S AF h ∆∆∆∆=⇒===⇒===⇒==解：由::41025DEF EBF ABF S S S ∆∆∆=：：3．如图3所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==， 则圆O 的半径等于 ．2,,()()4,85OA R OD x CD AD BD R x R x CD BD R x R ====-+==+==解：设则由∴4.如图4.AB 是圆O 的直径，,10,8,AD DE AB BD ===则cos BCE ∠=_____,10,86cos cos 3sin sin 5o A AB BD AD AD DE DAC DBA BCE ACDAD DAC DBA AB ∠==⇒==⇒∠=∠∠=∠=∠=∠==解：连结由AB 为直径知ADC=90由由∴图1ABCDFE图2图3ABD EC O 如图45.如图5, 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直 径, PC 与圆O 交于点B,PB=1, 则圆O 的半径R=_______2222,4122233PB PC PC AC PC PA AC R R ===-=⇒===解：由切割定理知：PA ∴又∴6.如图6所示，圆O 的直径6=AB ，C 为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的 切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ， 则∠DAC ＝ ____，线段AE 的长为 __ .26,3303360303399022()3o o ooAB AB BC CAB AC DCA DAC ADC DC DC AD AD AE AE ==∠==∠=⇒∠=∠===-⇒=解：由为直径知且又,∴，AD=7.如图7，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CD =________.222224,826,2,6:61224 x=555PC PB PC PA PB PA AB AE x PE x PE x CE BE AE PC PE CE CE CD ====⇒===+=-==+⇒=⇒=解：因为:由切割定理知:所以设则由射影定理知又：所以：8.如图8，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ___ ．22222 :23,62,4()3252AD AB AC AD AC AB BC BC O BD d r ===⇒===-=-=解：由切割定理知由则到的距离为9如图9，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，•=∠25MAB ，则=∠D ___ 2565,180115o oo oMAB ACB BC ACB ABCD O D ACB ∠=∠=∆∆∠=∠=-∠=解:连结AC,由条件知由为直径知ABC 为Rt ,所以四边形由接于圆如图5如图6O EDCBAP如图7如图9BOC如图810如图10，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于 点C ，AD CE ⊥于D ，若AD =1，30ABC ∠=， 则圆O 的面积是_________2224o AC R S R ππ∠∠⇒=⇒=⇒==解:由条件知ACD=ABC=3011. 如图11，在四边形ABCD 中，135,90,23,2,o oA B D BC AD ∠=∠=∠===则四边形ABCD 的面积是_______22:,1354522452311422ooo o ABCD EBC ADE BA CD E BAD DAE ADE BEC BE BC S S S BC AD ∆∆∠=⇒∠=∠∠∆∴∠=⇒===-=-=解延长交于点，由又ADE=ADC=90∴为等腰直角三角形,AE=AD=2∴12. 如图12, AB//EF//CD, 已知AB=20， DC=80， BC=100， 则EF=_______(1):////(2)(1)(2)16EF CFAB BCAB EF CD EF BF CD BCEF ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩+⇒=解由答案： 1. 1 ; 2. 4：10：25 3 . 5 ; 4. 35;5. 3;6. 30°， 3 ; 7．245; 8. 5 ; 9. 115o ; 10. 4π 11. 4 12. 16如图10ACD如图11A EFCD如图12。