数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线
第2讲 圆周角定理与圆的切线【高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。
选修41几何证明选讲
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
三、相似三角形的判定及性质 1．判定定理
提素能 高效题 组训练
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解
与△ABC相似，则x的值为(
)
题策略
提素能 高效题 组训练
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：由题意知，△ACD和△CBD与△ABC相似，故x＝2.
山 东
答案：B
金 太
阳
书
业
有
限
公
司
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知
2．(课本习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，
研考向 要点知 识探究
悟真题
透析解 题策略
一、平行线等分线段定理
提素能 高效题
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线
组训练
上截得的线段也 相等 ．
山
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 东
必 平分第三边 ．
金 太
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直
阳 书
线平分另一腰 ．
选修4－1 几何证明选讲
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点8.圆内接多边形的性质与判定
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题知识点8：圆內接多边形的性质与判定 【圆内接四边形的性质与判定定理】性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 常考题型：证明多点共圆，角度相等或互补方法详述：证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．例1 如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．(1)证明：连接DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．（2） ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ，又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.高考试题精析【2014·全国卷Ⅰ】如图，四边形ABCD 是O的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.解析：（I ）由题设知,,,A B C D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠．由已知得E CBE ∠=∠，故D E ∠=∠．（II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上．又AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，故O M A D ⊥，即M N A D ⊥．所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故E A ∠=∠．由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.【2015·湖南理】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅解析：（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥， 即90OME ∠= ， 90ENO ∠= ，180OME ENO ∠+∠= ，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅。
本章小结-人教B版选修4-1几何证明选讲教案
本章小结-人教B版选修4-1 几何证明选讲教案引言在初中数学的学习中，几何证明是一项重要的内容。
通过几何证明的学习和实践，不仅可以帮助学生更好地理解数学中的某些概念和问题，而且培养了学生的逻辑思维能力、认识能力、解决问题的能力等多方面的素质。
本文档旨在回顾人教B版选修4-1 几何证明选讲教案，总结教案中的知识重点和教学方法，为初中数学教学工作者提供参考。
教学重点几何证明作为初中数学的重要内容，需要具体的知识与技能，以下为教学重点：1.熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质、特点以及面积的计算方法；2.熟练掌握各种直角三角形的性质和特点，包括勾股定理、边角关系等；3.掌握三角形的相似性质，能利用相似关系进行证明；4.熟练掌握各种平行四边形、矩形、正方形的性质，同时还要掌握长方形、菱形、梯形等概念的定义和特点；5.熟练掌握圆的性质，包括周长和面积的计算公式，同时还要掌握切线定理、弦长定理等；6.掌握三角形和圆的关系，能够运用勾股定理、相似性质、正弦定理、余弦定理、切线定理等进行相关的证明。
教学方法在教学过程中，我们应该采取多种方法与学生进行互动，以提高学习质量和效果，以下为教学方法：1.采用讲授法和示范法相结合。
即在给出相关的定理和公式的同时，注重通过图形演示的方法来进行直观的说明和解释，让学生更好地理解和掌握其中的知识和技能；2.创设不同形式的学习环境和情境，如小组讨论、问题探究、应用案例分析等，创设一种轻松愉快、富有挑战的学习氛围和体验，激发学生的学习兴趣和信心；3.通过思维导图、概念图、知识框架等形式，将教学内容进行整合和体系化的呈现和总结，让学生更清晰有序地理解和把握各个知识点之间的内在联系和逻辑关系；4.通过探究式学习、课堂体验、任务驱动、问题导向等多种形式的教学活动来激发学生的自主学习和创新意识，提高学习者的自主探究和解决问题能力；5.在授课过程中，充分利用多媒体教学手段，如演示文稿、教学视频等，以丰富多彩的形式来呈现教学内容，但也不宜过度依赖于这些教学工具和手段，更要注重师生的互动与交流。
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)
数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)高中数学选修4-1学问点总结数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相像三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。
相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）。
由于从定义动身推断两个三角形是否相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：相像的简洁方法：（1）两角对应相等，两三角形相像；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；（3）三边对应成比例，两三角形相像。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相像。
判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。
简述为：两角对应相等，两三角形相像。
判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。
判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。
简述为：三边对应成比例，两三角形相像。
高中数学选修4-1学问点总结引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
一轮总复习精品课件：选修4—1 几何证明选讲
成比例 ,那么它们相
成比例 ,那么这两个直角三角形相似.
(3)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
相似比 ;
②相似三角形周长的比等于 相似比 ; ; ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 (或内切圆)的面积比等于
④相似三角形外接圆( 或内切圆)的直径比、周长比等于相似比,外接圆
判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切
线 .
8.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 .
选修4系列
选修4—1
几何证明选讲 12 -12-
9.与圆有关的其他性质定理 (1)相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的 相等. (2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的 交点的两条线段长的
2．如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,AC=6,DB=5,求 AD 的 值.
解:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,∴ AC2=AB·AD. 设 AD=x,则 AB=x+5,又 AC=6, ∴ 62=x(x+5),即 x2+5x-36=0. 解得 x=4(舍去负值), ∴ AD=4.
AB·CE=AC·DE.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
思想方法
选修4系列
选修4—1
几何证明选讲 23 -23-
考点二
相似三角形的性质与判定定理的应用
【例 2】 (2013 辽宁高考)如图,AB 为☉O 的直径,直线 CD 与☉O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.
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数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么
在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线
段成比例。
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形
对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：
相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的
两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形
的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比
例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角
边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的
比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四
个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶
点共圆。
圆的切线的性质及判定定理。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。