高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题

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【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲第2讲圆周角定理与圆的切线

第2讲圆周角定理与圆的切线【高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用．【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系相交两个 d ＜r 相切一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝________. 解析连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ，因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1，所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解．解析连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。

人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案

高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知三角形的3 条中位线分别为 3cm 、4cm 、 6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ． 3cmB ． 26cmC ． 24cmD ． 65cm2．要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为 20cm ，那么切合条件的三角形框架乙共有（）．A ．1种B ．2 种C ．3 种D ．4 种3．在 RtABC 中， CD 是斜边上的高线， AC ∶BC=3 ∶ 1，则 SABC ∶ S ACD 为（）．A ．4∶3B ．9∶1C ． 10∶ 1D ．10∶94．如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， BF ⊥ CE 于 F ，那么 S △BFC :S 正方形ABCD =（）．A ．1：3B ． 1：4C ． 1：5D ．1：65．在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶ 3，CD ⊥ AB 于 D ， AB ＝ a ，则 DB ＝（）aaC ．a D ．3aA ．B ．24436．若梯形的中位线被它的两条对角线三均分，则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是（）．1122A ．2B ． 3C ． 3D ． 57．如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，4以下结论： ① BAE 30AD，② △ABE ∽△ AEF ， ③ AEEF ，④ △ADF ∽△ECF ．此中正确的个数为（）FA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4BEC8．直角梯形的一条对角线把梯形分红两个三角形，此中一个是边长为30 的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．以下图，在 △ABC 中， AC=5 ，中线 AD=4 ，则 AB 边的取值范围是（）．A ．1 AB 9B ． 3 AB 13C ． 5AB 13D ． 9AB13D CFAEB10 ABCD中， AE : EB m : n，若AEF的面积等于 a ，则CDF．如图，平行四边形的面积等于（）．m 2 n 2(m n)2D ．( m n)2A ． 2 aB ． 2 aC ．2a 2anmmn11．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ，对角线 AC ⊥BD ，AD且 AC=12 ，BD=9 ，则此梯形的中位线长是（）．A ． 10B ．2115D ． 12BCC ．2212．如图，设 P 为ABC 内一点，且 2 1CAPAB AC，55则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于（）． P1B ．2 31A ．5 C ．D ．552AB二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．若两个相像三角形的周长比为3: 4 ，则它们的三角形面积比是 ____________ ．14．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AC ⊥ BA ， AD=DC=5 ，则 BC 的长是 __________ ．15．已知： △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， BE 的延伸线交AC 于点 F ，则AF____________ ．AC16．在 △ABC 中， AB9，AC 6 ，点 M 在 AB 上且 AM 3 ，点 N 在 AC 上，联络 MN ，使△ AMN 与原三角形相像，则 AN ＝ ___________三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点 E ，求证： AE BF 2DE AF ．（ 10 分）CDEA F B18．如图，正方形DEMF内接于△ ABC，若S ADE1， S正方形DEFM 4 ，求 S ABC（12分）AD P EB M Q F C例 2 图19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ均分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直均分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延伸线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD是 Rt△ ABC的斜边AB上的高， E 是BC上随意一点，EF⊥AB于 F．求证：AC 2AD AF CD EF ．（12 分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90 ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ，111AB c ． CD b ，试说明：2b 2h2．（ 12分）aCb h aA c D B22．如图，在△ ABC 中，BAC90 ， AD 是BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合）， EFAB ，EGAC ，垂足分别为F ，G ．（ 1）求证：EGCG；AD CD（ 2） FD 与 DG 能否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明原因；（ 3）当 AB AC 时， △ FDG 为等腰直角三角形吗？并说明原因．（ 12 分）AFGBD EC答案与分析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13． 9:1614． 101915．16． 2，或3 217．证明：过 D 作 DG // AB ，交 CF 于 G ，∴AEF DEG ， CDG CBF ，AEDE DG CD ∴，BF，AFDGCB ∵ D 为BC 的中点， CD1 CB ，2DG 1 ， DG 1BF ，BF 2 2AE 2DEAE BF 2DE AF ．AF，即 BF18．解：∵正方形的面积为 4，∴ DE ＝ MF ＝ 2,过 A 点作 AQ ⊥BC 于 Q ，交 DE 于 P ，∵SADE1，∴ AP ＝1，∵DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ APDE ，即 1 2 AQBC 3 BC∴BC ＝6，故 S ABC ＝919．证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直均分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ均分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＡＦ＝C Ｆ，ＢＦＡＦ∴ＡＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．20．证明： AC 2 AD AB ,AC 2 AD AFAD (AB AF) AD BF由于 Rt ADCRt EFB ,因此 ADEF ,CDBF则ADBFCD EF ，AC 2 AD AFCD EF ,即 AC 2 AD AF CD EF ．11121．解：等式 a 2b 2 h 2 建立．原因以下：∵ ACB 90 ,CD AB ，C 公共，∴1ab1AB h ， AB 2a 2b 2 ，2 2 ∴ ab c h ，∴ a 2 b 2 c 2 h 2 ，∴ a 2 b 2(a 2 b 2 )h 2 ，∴a 2b 2 (a 2b 2 )h 2，a 2b 2h2a 2b 2 h 2∴1 a 2b 2，h2a 2b2∴11 1．h 2a 2b 222．证明：在四边形AFEG 中，∵ FAG AFEAGE 90 ，∴ 四边形 AFEG 为矩形， ∴ AFEG ，（ 1）易证∴AFAD EG CG ，而 AFEG ，AD CD CG；CD（ 2） △ ABC 为直角三角形， ADBC ，∴ FADC ，即 △ AFD ∽△CGD ，∴ ADFCDG ，又CDG ADG 90∴ADFADG90，，即FDG 90 ，∴ FD DG ；（ 3）当 ABAC 时， △ FDG 为等腰直角三角形，原因以下：AB AC ，BAC 90 ，∴ AD DC又由于 △ AFD ∽△ CGD∴FD AD1， FD DGGD DC又 FDG 90∴ △FDG ,△ FDG 为等腰直角三角形．。

人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)

高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（一）1．如图，已知在△ ABC 中， CD ⊥AB 于 D 点， BC 2＝ BD ·AB ，则∠ ACB ＝______. 分析：在△ ABC 与△ CBD 中，由 BC 2＝ BD ·AB ，得 BC ＝ AB，且∠ B ＝∠ B ， BD BC因此△ ABC ∽△ CBD.则∠ ACB ＝∠ CDB ＝ 90°. 答案： 90°2．如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D ， AC ＝ 6，DB ＝ 5，则 AD 的长为 ________．分析：在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB ，∴ AC 2＝ AB ·AD.设 AD ＝ x ，则 AB ＝ x ＋ 5，又 AC ＝ 6， ∴ 62＝ x(x ＋ 5)，即 x 2 ＋5x － 36＝0. 解得 x ＝4 或 x ＝－ 9( 舍去 )，∴ AD ＝ 4. 答案： 43．如下图，已知在△ ABC 中，∠C ＝ 90°，正方形 DEFC 内接于△ ABC ，DE ∥ AC ，EF ∥ BC ，AC ＝1， BC ＝ 2，则 AF ∶ FC 等于 ________．分析：设正方形边长为 x ，则由△ AFE ∽△ ACB ，AF FE x 1－ x可得 AC ＝ CB ，即 2＝1 ，因此 x ＝2，于是 AF ＝1.3 FC 2 答案： 124．如图，平行四边形 ABCD 中，AE ∶ EB ＝ 1∶ 2，△ AEF 的面积为 6，则△ ADF的面积为 ________．分析：由题意可得△ AEF ∽△ CDF ，且相像比为 1∶ 3，由△ AEF 的面积为 6，得△ CDF 的面积为54，由题意易知SADF ∶ S CDF ＝ 1∶ 3，因此 S ADF ＝ 18.△△ △答案： 185．如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ 4 cm ， AC ＝3 cm ， DE ∥ BC 且 DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分，则 DE ＝ ________.分析： ∵∠ BAC ＝ 90°， ∴ BC ＝ 5 cm.设 AD ＝ x cm ，AE ＝ y cm ，则 x ＋ y ＝ 6.①∵ DE ∥ BC ，得 AD＝ AE ，即 x ＝ y.②ABAC43 由①②得 x ＝24，y ＝18，77∴ DE ＝ x 2＋ y 2＝307 cm.30答案：7cm6．在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠ BAC ＝∠ ADC ，AC ＝ 8，BC ＝ 16，则 CD 为 ________．分析： ∵∠ BAC ＝∠ ADC ，∠ C ＝∠ C ，∴△ ABC ∽△ DAC ，22∴BC ＝AC，∴ CD ＝AC＝ 8＝4.ACCDBC 16答案：4和7．如图，已知在梯形 BD 订交于点 P ，ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC(1)若 AP 长为 4，则 PC ＝ ________；(2)△ ABP 和△ CDP 的高的比为 ______．分析： (1) ∵AB ∥ CD ， ∴△ APB ∽△ CPD ，∴ AP CP ＝ CD AB ，即 CP 4＝ 26，解得 PC ＝12.(2)由 (1) 及△ ABP 和△ CDP 的高的比等于它们的相像比，得这两个三角形的高的比为1∶3.答案：(1)12(2)1∶ 38． (2010 ·东卷广 )如图，在直角梯形 ABCD 中， DC ∥AB ， CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝ a ， CD＝ a，点 E ， F 分别为线段 AB ，AD 的中点，则 EF ＝ ________. 2分析：连结 DE ，因为 E 是 AB 的中点，故 a BE ＝ .2又 CD ＝a， AB ∥ DC ， CB ⊥ AB ，∴四边形 EBCD 是矩形．2在 Rt △ADE 中， AD ＝a ， F 是 AD 的中点，故 EF ＝a.2【答案】a2AE 29．如图，已知 AD ∥EG ∥ BC ， AD ＝ 6，BC ＝ 9， AB ＝ 3，则 GF 的长为 ________．分析： ∵ AD ∥ EG ∥BC ，EG AE EF BE∴BC＝AB ， AD ＝BA.∵ AE＝2，∴BE＝1，EF 1 EG 2∴ AD ＝ 3， BC ＝ 3. 又∵ AD ＝ 6， BC ＝ 9， ∴ EF ＝ 2， EG ＝ 6， ∴ GF ＝ EG －EF ＝4.答案： 410．如图，在直角梯形AB ＝ 6，在 AB 上选用一点ABCD P ，使△中，上底 AD ＝ 3，下底 BC ＝ 3 3，与两底垂直的腰和△PBC 相像，这样的点 P 有 ________个． PAD分析：设 AP ＝ x ，AD AP(1)若△ ADP ∽△ BPC ，则 BP ＝ BC ，即 3 ＝ x，因此 x 2－ 6x ＋ 9＝ 0，解得 x ＝ 3. 6－ x 3 3(2)若△ ADP ∽△ BCP ，则AD＝ AP， BC BP即 3 ＝x ，解得 x ＝3， 3 3 6－ x 2因此切合条件的点 P 有两个．答案：两11．如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F. 求证： AE ·AB ＝ AF ·AC . 证明： ∵AD ⊥BC ，∴△ ADB 为直角三角形，又∵ DE ⊥ AB ，由射影定理知，AD 2＝ AE ·AB.同理可得 AD 2＝ AF ·AC ，∴ AE ·AB ＝ AF ·AC .12．如下图，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点E.求证： AE ·BF ＝ 2DE ·AF.证明：过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M ，交 FC 于点 N. 在△ BCF 中， D 是 BC 的中点， DN ∥ BF ，1 ∴ DN ＝ 2BF.∵ DN ∥AF ，∴△ AFE ∽△ DNE ，∴AE ＝DE . AF DN1 AE 2DE又 DN ＝2BF ，∴ AF ＝ BF ，即 AE ·BF ＝2DE ·AF .13．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是中线， P 为 AD 上一点， CF ∥ AB ， BP 延伸线交 AC ，CF 于 E ， F ，求证： PB 2＝ PE ·PF.证明：如图，连结 PC ，易证 PC ＝PB ，∠ ABP ＝∠ ACP.∵ CF ∥ AB ，∴∠ F ＝∠ ABP ，进而∠ F ＝∠ ACP ，又∠ EPC 为△ CPE 与△ FPC 的公共角，进而△ CPE ∽△ FPC ，∴CP ＝ PE， FP PC∴ PC 2＝ PE ·PF ，又 PC ＝ PB ，∴ PB 2＝ PE ·PF .14．已知：在 Rt △ABC 中， ∠ ACB ＝ 90°，M 是 BC 的中点， CN ⊥ AM ，垂足是 N ，求证： AB ·BM ＝AM ·BN.2证明：∵ CM ＝ MN ·AM ，∴ BM 2＝ MN ·AM ，∴ BM AM ＝ MN BM ，又∵∠ BMN ＝∠ AMB ，∴△ AMB ∽△ BMN ，∴ AB BN ＝ AM BM ，∴ AB ·BM ＝ AM ·BN.15．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，底边 BC 上的高 AD ＝ 10 cm ，腰 AC 上的高 BE ＝ 12 cm.(1)求证：AB ＝5； BD 3(2)求△ ABC 的周长 . 【分析方法代码 108001159】分析： (1) 证明：在△ ADC 和△ BEC 中，∵∠ ADC ＝∠ BEC ＝ 90°，∠ C ＝∠ C ，∴△ ADC ∽△ BEC ，∴AC ＝ AD ＝ 10＝ 5.BCBE126∵ AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 的高线， ∴ BC ＝ 2BD ，又 AB ＝ AC ， ∴ AC ＝ AB 5 AB 5 BC 2BD＝，∴ BD ＝ .6 3 5(2)设 BD ＝ x ，则 AB ＝ 3x ，在 Rt △ABD 中，∠ ADB ＝ 90°，依据勾股定理，得 AB 2 ＝BD 2 ＋AD 2，∴53x 2＝ x 2＋102，解得 x ＝ 7.5.5∴ BC ＝ 2x ＝ 15， AB ＝ AC ＝ 3x ＝ 12.5，∴△ ABC 的周长为 40 cm.16．如右图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD ，垂足为 E ，连结 AE ， F 为 AE 上一点，且∠ BFE ＝∠ C.(1)求证：△ ABF ∽△ EAD . (2)若 AB ＝ 4，∠ BAE ＝ 30°， AD ＝ 3，求 BF 的长．分析： (1) 证明：∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAF ＝∠ AED .又∵∠ BFE ＝∠ C ，∠ BFE ＋∠ BFA ＝∠ C ＋∠ EDA ， ∴∠ BFA ＝∠ ADE . ∴△ ABF ∽△ EAD .4＝8 3， (2)∵ AE ＝ sin 60° 3BF ABAB3 3又AD ＝ AE ，∴ BF ＝AE ·AD ＝ 2 .17．如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，EF 经过梯形对角线的交点 O ，且 EF ∥ AD .(1)求证： OE ＝OF ；OE OE (2)求 AD ＋ BC 的值；112 (3)求证： AD ＋BC ＝EF . 【分析方法代码 108001160】分析： (1) 证明：∵ EF ∥ AD ，AD ∥ BC ，∴ EF ∥ AD ∥ BC.OE AE OF DF∵ EF ∥ BC ，∴ BC ＝AB ， BC ＝ DC .AE DF ∵ EF ∥ AD ∥ BC ，∴ AB ＝ DC .∴ OE ＝ OF，∴ OE ＝ OF.BC BCOE BE (2)∵ OE ∥ AD ，∴ AD ＝ AB .由 (1)知， OE BC ＝AEAB ，∴OE ＋ OE ＝BE ＋AE ＝ BE ＋ AE ＝ 1.AD BC AB AB ABOE OE2OE 2OE(3)证明：由 (2)知 AD ＋ BC ＝ 1，∴ AD ＋ BC ＝2.又 EF ＝ 2OE ，∴ EF＋ EF＝ 2， AD BC∴1＋1＝2AD BC EF.18．一块直角三角形木板，如下图， ∠ C ＝ 90°，AB ＝ 5 cm ，BC ＝ 3 cm ，AC ＝ 4 cm.依据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应如何裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．分析：如图 (1)所示，设正方形 DEFG 的边长为 x cm ，过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ，交DE 于N ，因为 S △ABC ＝ 1AC ·BC ＝1AB ·CM ，2 2因此 AC ·BC ＝ AB ·CM ，12即 4×3＝ 5·CM ，因此 CM ＝ 5 .因为 DE ∥AB ，因此△ CDE ∽△ CAB .12因此 CN ＝ DE ，即 5 － x.＝ x CM AB 125560因此 x ＝37.如图 (2)所示，设正方形 CDEF 的边长为 y cm ，因为 EF ∥ AC ，因此△ BEF ∽△ BAC .BF EF 3－ y y12因此 BC ＝ AC ，即 3 ＝4，因此 y ＝ 7.60 12 60因为 x ＝37， y ＝ 7 ＝35，因此 x<y.因此当按图 (2) 的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为12cm.7。

数学选修4-1几何证明选讲总复习题(学生版)

数学选修4-1几何证明选讲总复习题一、相似三角形（一）相似三角形与全等三角形的区别（二）相似三角形的判定方法（三）相似三角形性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （四）直角三角形的射影定理二、圆的相关概念（一）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD .中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD （二）圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD （二）圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角，∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

全国高考数学第二轮复习选修4—1 几何证明选讲理

选修4—1 几何证明选讲真题试做1．(·北京高考，理5)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )．A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 22．(·天津高考，理13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF＝32，则线段CD 的长为________．3．(·课标全国高考，理22)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD . 考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及其性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．热点例析热点一相似三角形问题【例１】如图，点P 是⊙O 的直径CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相切于点A ，若PA =15，PB=5.(1)求tan∠ABC 的值；(2)若弦AD 使∠BAD =∠P ，求AD 的长．规律方法在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题： (1)应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形． (2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件． (3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线．(4)如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．变式训练1 如图，过圆O 外一点M作它的一条切线，切点为A ，过A 点作一直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .(1)证明OM ·OP =OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K ，证明∠OKM ＝90°.热点二有关圆的切线、弦切角问题【例２】如图，已知圆上的弧AC BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ·CD .规律方法与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系． (2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系．变式训练2 如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．热点三圆内接四边形的判定与性质【例３】如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB =1，PD =3，则BCAD的值为__________.规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系以及外角与其内对角的相等关系等．(2)通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，再利用题设条件来解决问题．(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．变式训练3 如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED . (1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．热点四有关与圆相关的比例线段问题【例４】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BE 是∠CBD 的角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆．(1)求证：AC 是⊙O的切线；(2)如果AD =6，62AE =，求BC 的长．规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析，当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．变式训练4 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．1．如图，ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BCBM －ABBN的值等于( )．A ．12B ．1C ．32D ．232．(原创题)如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(·北京丰台区3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC 内接于圆，∠ABC ＝60°，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆于点D .若PA ＝AE ，PD ＝3，BD ＝33，则AP ＝__________，AC ＝__________.4．(·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O 的直径为6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝__________.5．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA=__________.6．(·江苏镇江5月模拟，21)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长线交⊙O 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P .求证：PD 2＝PA ·PC .7．(·吉林长春实验中学模拟，22)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与△ABC 的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 2．433．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC . 又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD . 而CF ∥AD ，连接AF ，所以ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD . 精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：(1)连接AC ，∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°. 又∵PA 为切线， ∴∠BAP ＝∠C . 又∵∠P ＝∠P ， ∴△PAB ∽△PCA . ∴AP BP ＝AC BA ＝155＝3. ∴在Rt△ABC 中，tan∠ABC ＝AC AB ＝3. (2)由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ，即PA 2＝PB (PB ＋BC )．又PA ＝15，PB ＝5，∴BC ＝40. 设AB ＝x ，则AC ＝3x .由勾股定理，得AC 2＋AB 2＝BC 2，即x 2＋(3x )2＝402，得x ＝410(舍去负根)．连接BD ，在△PAB 和△ADB 中， ∠PAB ＝∠D ，∠P ＝∠BAD ， ∴△PAB ∽△ADB . ∴AD AP ＝AB PB， ∴AD ＝AP ·AB PB ＝15×4105＝1210.【变式训练1】证明：(1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM .又因为AP ⊥OM ，在Rt△OAM 中，由射影定理，知OA 2＝OM ·OP . (2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OM OK，又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.【例2】证明：(1)因为AC BD ，所以∠BCD ＝∠ABC ，又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC，即BC 2＝BE ·CD .【变式训练2】证明：过A 作两圆的公切线，连接O 1A ，O 1B ，O 2C ，由弦切角定理，易得∠AO 2C ＝∠AO 1B ，所以O 1B ∥O 2C ，所以△O 1AB ∽△O 2AC ，所以AB ∶AC ＝O 1A ∶O 2A ＝r 1∶r 2. 故AB ∶AC 为定值．【例3】13 解析：∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝BC AD ＝13. 【变式训练3】证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD . 因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA ，所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA .所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．【例4】(1)证明：连接OE ，因为OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE . 又因为BE 平分∠CBD ，所以∠CBE ＝∠DBE .所以∠OEB ＝∠CBE . 所以EO ∥CB . 因为∠C ＝90°，所以∠AEO ＝90°，即AC ⊥OE .因为E 为⊙O 半径OE 的外端，所以AC 是⊙O 的切线． (2)解：因为AC 是⊙O 的切线，所以AE 2＝AD ·AB .因为AE ＝62，AD ＝6，所以(62)2＝6×AB .解得AB ＝12，则OD ＝OB ＝3. 因为EO ∥CB ，所以AO AB ＝OE BC. 所以912＝3BC.解得BC ＝4.【变式训练4】2 创新模拟·预测演练1．B 2．C 3．2 3 3 3 4．332 5．1696．证明：连接OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP ＝90°.所以∠OEB ＋∠BEP ＝90°.因为OB ＝OE ，所以∠OBE ＝∠OEB . 因为OB ⊥AC 于点O ，所以∠OBE ＋∠BDO ＝90°.故∠BEP ＝∠BDO ＝∠PDE ，PD ＝PE . 又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2＝PA ·PC .故PD 2＝PA ·PC .7．(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ∽△DBA ， ∴PC AB ＝PD BD. 又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD.(2)解：由(1)可得，∠ACD ＝∠APC ， ∵∠CAP ＝∠CAP ，∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝AC AD.∴AC 2＝AP ·AD ＝9.。

4-28几何证明选讲(选修4-1)

高考专题训练二十八几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟分值：100分总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。

高考复习数学(理)试题：选修4-1几何证明选讲Word版含答案

第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．②判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形相似的判定定理①判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．( )(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．( )(3)在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，若AD 2＝BD ·CD ，则∠A 为直角．( ) (4)在直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AD ，则BC 2＝BD ·AB .( ) (5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：83.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：244.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：45[典题1] (1)如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．第(1)题图第(2)题图(2)如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．[听前试做] (1)如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. (2)设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MHAH ，∴x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.即△DEF 的边长为43.对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1.[典题2] 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．[听前试做] (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABCS △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明：∵E 是Rt △ACD 斜边中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ， ∴∠FBD ＝∠FDC .∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .[典题3] 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .[听前试做] 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1， ∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AF AC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 22＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AE ＝BDAB ，① AF EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AE ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．2．等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．[易错防范]1．平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C . 又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM . 又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA . ∴AM DM ＝EM AM，∴AM 2＝DM ·EM . 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN， ∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC . ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PFPE.证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AMAF .对△MBN 有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN .对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PFPE.第二节直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理． 2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角． ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．()(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．()(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．()(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．()(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC 的长为________．解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：23．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝P A＝2QA＝4.答案：44．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析：设x＝BC＝AD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x＋10)＝4(x＋4)，∴x＝2，∴AB＝42－22＝2 3.答案：2 3[典题1](2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[听前试做](1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.[典题2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． [听前试做] (1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC AF ＝DCAE ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[典题3]如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[听前试做]连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.(1)因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．解：(1)证明：连接AB .因为AC 是⊙O 1的切线，所以∠BAC ＝∠ADB . 又∠BAC ＝∠CEP ，所以∠ADB ＝∠CEP ，所以AD ∥EC .(2)法一：因为P A 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线，所以P A 2＝PB ·PD ，即62＝PB ·(PB ＋9)．所以PB ＝3或PB ＝－12(舍去)．在⊙O 2中由相交弦定理，得P A ·PC ＝BP ·PE ，所以PE ＝4. 所以DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16. 因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12. 法二：设BP ＝x ，PE ＝y . 因为P A ＝6，PC ＝2，所以由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12.① 因为AD ∥EC ，所以DP PE ＝APPC ，所以9＋x y ＝62.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)，所以DE ＝9＋x ＋y ＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．处理与圆有关的比例线段问题的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系．2．圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．3．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．4．相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．[易错防范]1．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．1．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC.D为圆O上一点，且AD∥OC.(1)求证：CO平分∠DCB；(2)已知AD·OC＝8，求圆O的半径．解：(1)证明：连接OD，BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD.设BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE，∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB.(2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA，∴∠DOC＝∠OAD，∴Rt△BDA∽Rt△CDO.∴AD·OC＝AB·OD＝2OD2＝8.所以所求圆的半径为2.2．(2015·湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.3．(2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3. 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4. (2016·开封模拟)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5．(2016·南昌模拟)如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：AB·PC＝P A·AC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴AB·PC＝P A·AC.(2)∵P A为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝40，BC＝30.又∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝900，又由(1)知ABAC＝P APC＝12，∴AC＝125，AB＝65，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠CEA＝∠DBA，∴△ACE∽△ADB，∴AB AE ＝AD AC，AD ×AE ＝AB ×AC ＝65×125＝360. 6．(2016·唐山模拟)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC .解：(1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰三角形ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.。

选修4-1几何证明选讲练习题

几何证明选讲专项练习1. (2008梅州一模文)如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD． 2. (2008广州一模文、理)在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为 cm 2．3.(2007广州一模文、理)如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于．4.(2007深圳二模文)如图所示，从圆O作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __. 5. (2008广东文、理)已知PA 是圆O PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点则圆O 的半径R=_______.6. (2007广东文、理) 如图所示，圆O AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C 过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l D 、E，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为7. (2008韶关一模理)如图所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.8.(2008深圳调研文)如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=，AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________. 9.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，则圆O 的半径等于．10. (2008韶关调研理)如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB的延长线于点D ，CD=AB=BC=3.则BD 的长______，AC 的长_______． 11.(2007韶关二模理) 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．12. (2008广州二模文、理)如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .13.（2007湛江一模文）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ .14.(2007湛江一模理)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF =FC .15.(2008惠州一模理)如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .16. (2008汕头一模理) 如图，AB 是圆O 直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.17.(2008佛山一模理)如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．18.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________. 19.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D.AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.A B CDE FBA DCENBADCE ABCDABCDE FGHB20.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.21.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。

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第1题图
第6题图高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作
圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )
A .15︒
B .30︒
C .45︒
D .60︒
【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒,
故选B .
2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )
A .0
B .1
C .2
D .3
【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )
D .99cm
【(0)k k >,由相交弦定理得
33k =cm .故选B .
4.ABC ∆与 cm D .
5.P C D 经过圆心,已知
C .6
)(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,
且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2
tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3
A B C
D E 第4题图
第11题图
第10题图
第9题图
【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得2
CD r =,从而3π
θ=,
故21tan 23
θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )
A .
B .1:2
C .1:3
D .1:4
【解析】ADE ABC ∆∆ ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
A .2
B .3
C .4
D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的
,
( )
D .4 mm
,
AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .
第15题图由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC
∆=∆ ＝15, 同理可得1ABQ ∆=．故4ABP ∆=,选B . , 是【解析】由图可得22230((180135)2
R R =+--,解得25R =. 135 180 第16题图
第17
题图第20题图三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是
O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.
【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得
1(180)6732992
A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分) 如图,⊙O 的直径A
B 的延长线与弦CD E 为⊙O 上一点, AE A
C =,DE 交AB 于点F ,且=AB 求PF 的长度.
【解析】连结,,OC OD OE ,结合题中条件 AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又∠AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆ PCO ∆
点BD ．
＝DB ＝∠DCB
，∠EAD ＝∠DCB
·DC ＝AE ·BD.
CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠
∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠
又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角,
从而CPE FPC ∆∆ ,∴CP PE FP PC = ∴2PC PE PF =⋅ 解答用图
A B C
E
D 第19题图
C 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证. 解得B
D =．BD FH ==∴．12
FG HG CG DG ==∵，12
FG CG =∴．3CF FG =∴．在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+．
222(3)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）
．3FG =∴． C
［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233
CD CG FG CB CF FG ===∴．
23=
，解得BD =Rt CFB △中，由勾股定理，得的，则D 线使它不经过ABCD 各边黄金分割点.
(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为 ABC △，BDC ADC S BD S AD
=△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADC
S S S S =△△△△．所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.
第22题图
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==
,即121
s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△
设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。