集合的并、交、补基本运算法则讲解学习
高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算(第1课时)并集和交集
集合运算时忽略空集致错
• 典例 4 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－ 1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．
• [错解] 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者 2∈B，∴a＝2或a＝1.
• [错因分析] A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它
可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可
B．{x|－4<x<－2}
• C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
• [解析] N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－ 2<x<3}，
• ∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}
• ＝{x|－2<x<2}，故选C．
• 4．(202X·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0， x∈R}，则A∩B＝___{_1,_6_} ______.
• 2．并集和交集的性质并集
简单 性质
A∪A＝___A___； A∪∅＝___A___
常用 结论
A∪B＝B∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
交集
A∩A＝___A___； A∩∅＝___∅___
A∩B＝B∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；
A∩B＝B⇔B⊆A
• 1．(202X·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝ {x|x2≤1}，则A∩B＝ ( A )
• 将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，
• ∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，
集合及运算的知识点总结
集合及运算的知识点总结一、集合的概念及表示方法1. 集合的概念集合是由一些特定的事物组成的整体。
这些事物称为集合的元素，元素可以是任何事物，可以是数字、字母、形状、人、动物等。
集合通常用大写字母表示，而集合中的元素用花括号{}括起来表示。
例如：集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示A是一个包含1、2、3、4、5这几个元素的集合。
2. 集合的表示方法除了用花括号{}表示集合外，还可以用以下方法来表示集合：a. 列举法：直接列出集合中的所有元素。
b. 描述法：通过描述集合的特征来表示集合。
例如：偶数集合{2, 4, 6, 8, 10}可以用描述法表示为{2n | n∈N，n≤5}。
二、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、补集和差集。
1. 并集并集是指将两个集合中的所有元素放在一起组成的一个新的集合。
并集通常表示为A∪B。
例如：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集交集是指两个集合中共同的元素组成的一个新的集合。
交集通常表示为A∩B。
例如：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
3. 补集补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素组成的一个新的集合。
补集通常表示为A-B。
例如：设A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
4. 差集差集是指一个集合去掉另一个集合中的相同元素后的新集合。
差集通常表示为A△B。
例如：设A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，则A△B = {1, 2, 6, 7}。
三、集合的运算法则1. 并集的运算法则a. 交换律：A∪B = B∪A。
b. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
c. 对偶性：(A∪B)' = A'∩B'。
2. 交集的运算法则a. 交换律：A∩B = B∩A。
集合中元素的交并补运算
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
集合运算法则
集合运算法则交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
集合运算法则交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C同一律：A∪∅=A；A∩U=A求补律：A∪A'=U；A∩A'=∅对合律：A''=A等幂律：A∪A=A；A∩A=A零一律：A∪U=U；A∩∅=∅吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。
文字表述：1.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集;2.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集。
容斥原理（特殊情况）：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A )+card(A∩B∩C)。
集合集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
第10讲 集合的运算 (解析版)
第10讲 集合的基本运算一、 集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。
这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？ （3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ； 答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ， 则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2， 则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集 （1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ． 【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。
《集合的基本运算》(第2课时补集及应用)PPT
并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.
解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,
则∁UA={x|-1≤x≤3};
∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3};
(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
∴A∩B={x|-1<x<2},∁UB={x|x≤-1,或x>3}.
又 P= ≤ 0,或 ≥
5
2
,
5
∴(∁UB)∪P= ≤ 0,或 ≥ 2 .
5
又∁UP= 0 < < 2 ,∴(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩ 0 < <
5
={x|0<x<2}.
2
解:(1)∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A.
∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B.
8
= 7,
2
4 + 4 + 12 = 0,
∴ 2
解得
12
2 -2 + = 0,
=- 7 .
8 12
∴a,b 的值分别为7,- 7 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
集合中的新定义问题
)
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}
C.{2,4,7}
D.{2,5,7}
(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则∁UA=
.
解析:(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得∁UA={2,4,7}.故选C.
高一数学知识点大全：集合的几种运算法则
高一数学知识点大全：集合的几种运算法则 高一数学知识点大全：集合的几种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A ），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。
那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。
再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。
那么说A∪B={1，2，3，5}。
图中的阴影部分就是A∩B。
有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。
结果是3，5，7每项减集合1再相乘。
48个。
对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A？B定义为：A？B=（A-B）∪（B-A）例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A？B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A？B=（A∪B）-（A∩B）无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B 的差（集）。
记作：A\B={x│x∈A，x不属于B}。
注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”。
补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。
例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。
CuA={3，4}。
在信息技术当中，常常把CuA写成~A。
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集合的并、交、补基本运算法则
集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．
定理4.2.1.设A,B,C为任意三个集合，Ω与∅分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：
(1)交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；
(2)结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,
(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C ）；
(3)分配律: (A∩B ) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),
(A∪B) ∩C =(A ∩C) ∪(B∩C)；
(4)摩根(Morgan)律: ，；
(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；
(6)吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；
(7)0―1律: A∪∅=A，A∩Ω=A，
A∪Ω=Ω，A∩∅=∅；
(8)互补律: , ∅；
(9)重叠律: , .
证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．
例4.2.1 试证明等式
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证.
＝Ω∩C ＝C
对偶. 定理4.2.1的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律
中的∪
换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式 ． 例4.2.2 的对偶为 ； 的对偶为 ； 的对偶式是。