洛阳市2017-2018学年高三(一练)数学(文)试题及答案
河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试文科数学 Word版含答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷（文） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．42. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则21z z =（ ） A ．1322i + B ．1322i -+ C ．1322i - D ．1322i -- 3.设m R ∈，是 “2m =”是“1,,4m 为等比数列”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若()()2f f x =，则x 取值的集合为（ ）A ．∅B ． {}|01x x ≤≤ C. {}2 D ．{}|2x x x =≤≤或01 5.设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则αβ⊥ C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a α D ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则a β⊥6. 设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ）A ．15SB ．16S C. 29S D ．30S7. 等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=（ ）A ．62 B ．92 C. 122 D ．1528. 已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ．9.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A ．60B ．48 C. 24 D ．2010.已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 C. ()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象11.在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，设(),,OP mAB nCA m n R =-∈uu u r uu u r uu r，则2m n +的最大值为 （ ）A ．-1B ．1 C. 2 D ．312. 已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ． 1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ． {}ln ,ln 0ππππ⎛⎤⎥⎝⎦U C. []0,ln ππ D ．{}1,ln 0e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知()()2,2,1,0a b =-=r r ，若向量()1,2c =r 与a b λ+r r共线，则λ= ．14.若函数()212xxk f x k -=+g 在定义域上为奇函数，则实数k = ． 15.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a = ． 16.已知菱形ABCD 边长为2，060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数()21cos sin 22f x x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值． 18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值．19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=u r r，且m n ⊥u r r ．（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积． 20. 已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．21. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，ADP ∆是边长为2的等边三角形，Q 是AD 的中点，M 是棱PC的中点，1,BC CD PB ==（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥B PQM -的体积．22. 已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()xf x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=． （1）求,a b 的值；；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．试卷答案一、选择题1-5:BCADC 6-10: ADDCD 11、12：BD 二、填空题13. 3 14. 1± 15. 1009 16. 203π三、解答题17.解：（1）()211cos 21cos sin cos 2222xf x x x x x x π+⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭g gcos 22cos 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得222233k x k ππππ-≤≤+， ∴63k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）∵34x ππ-≤≤， ∴52336x πππ-≤+≤， 当()20,cos 21,33x x f x ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取到最大值1，此时6x π=-；当()52,cos 23632x x f x πππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭取得最小值4x π=． 18.（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有12324286a a a a a a ++=⎧⎨=⎩， 即1212a d d a d +=⎧⎨-=⎩， 由0d ≠，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． （2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++， 所以()111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L ． 解1141115n -<+，得14n <， 所以n 的最大值为13．19.（1）由m n ⊥u r r，得0m n =u r r g ，即()2cos cos 0c b A a C -+=，由正弦定理，得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， ()2sin cos sin B A A C =+g ，2sin cos sin B A B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以3A π=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，又3a b c =+=，所以393bc =-，解得2bc =， 所以ABC ∆的面积11sin 2232S bc π==⨯=． 20.（1）由题可得 ，()232f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123123a b ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩， ∴326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--， 当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -， 要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-． 21.（1）证明：∵底面四边形ABCD 是直角梯形，Q 是AD 的中点， ∴1,//BC QD AD BC ==，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴//CD BQ ， ∵090ADC ∠=， ∴QB AD ⊥，又22,PA PD AD Q ===，是AD 的中点，故PQ ，又QB CD PB ==∴222PB PQ QB =+，由勾股定理可知PQ QB ⊥， 又PQ AD Q =I ， ∴BQ ⊥平面PAD ， 又BQ ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：连接CQ ， ∵2PA PD ==，Q 是AD 的中点， ∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，又M 是棱PC 的中点， 故1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，而1122BQC PQ S ==⨯=，∴111332P BQC BQC V S PQ -∆===g ，∴111224B PQM V -=⨯=． 22.（1）0x >时，()()(),1,1x f x ae f ae f ae ''===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即y aex =．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()x f x ae =， 那么()2xf x e =，由()2f x m ex +≤得22x meex +≤，两边取以e 为底的对数得ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， 则()1110x g x x x-'=-+=≤（因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-， 故2ln 1m k k -≤≤-++，若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >， 所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．。
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阶段
工作及服务流程
1） 自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作
班前阶 区域
段 2） 检查使用工具及销售大厅物资情况，异常
情况及时登记并报告上级。
班中工 作程序
服务 侯 客 迎 询问客户 送 客 户 流程 保 持 接 需求为客 上 离 开
行为 标 准 客 户准备楼 饮 后 清
规范 站迎姿 接 户 递 盘阅资上料饮 品品添加理茶水桌
《销售案场物业服务手册》
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案场各岗位服务流程
销售大厅服务岗：
1、销售大厅服务岗岗位职责：
1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;
2)保持销售区域台面整洁;
3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;
4)收集客户意见、建议及现场问题点；
2、销售大厅服务岗工作及服务流程
班前阶 区域
段 2） 检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情
况及时登记并报告上级。
服务 服 务 准 迎客：保 得 知 需 客 户
流程 备：确定 持 站 立 求 将 其 离 开
班中工
工 具 及 姿势，微 送 至 客 清 理
作程序 行为 原料
笑。
人桌上 桌面
规范 问询需求
按需求提
供饮品
客户离开后清理桌面
服务 流程
班中工 作程序
行为 规范
迎 引导 客 客户 送 车为辆 客 停客放
户 开 车 门
敬 为 问 指引销售
礼 客 好 大厅（对
பைடு நூலகம்
引 户 敬 讲）通知销
导 开 礼、 售检大查厅车迎
车 车 目送 宾辆 并 登
辆门
记
河南省洛阳市2017—2018学年高中三年级第三次统一考试——数学(文)
12020尖子生数学试卷（文）1102一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m}．若B ⊆A ，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2 3．下列函数为奇函数的是A ．y ＝3x ＋32x B ．y ＝2x x e e －＋ C ．y ＝2log xx3－3＋ D ．y ＝xsinx4．已知平面向量a r ＝（2，－1），b r ＝（1，1），c r ＝（－5，1），若（a r ＋k b r ）∥c r，则实数k 的值为A ．－114 B ．12C ．2D ．114 5．已知双曲线22214x yb－＝（b ＞0）的右焦点与抛物线2y ＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 AB ．3C ．5D ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．233 B ．152C ．476D ．87．已知x ，y 满足约束条件5040250y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩－≤＋－≥－－≥，则z ＝2x ＋y 的最小值为A ．1B ．3C ．5D ．7 8．定义[x]表示不超过x 的最大整数，例如[0．6]＝0，[2]＝2，[3．6]＝3．右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a ＝A ．9B ．16C ．23D ．309．下列叙述中正确的个数是①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题p ：x ∀∈[0，1]，xe ≥1，命题q ：0x ∃∈R ，20x ＋0x ＋1＜0，则p ∧q 为真命题；③“cos α≠0”是“α≠2k π＋2π（k ∈Z ）”的必要而不充分条件； ④将函数y ＝sin2x 的图象向左平移512π个单位长度得到函数y ＝sin （6π－2x ）的图象．A ．1B ．2C ．3D ．4 10．函数y ＝12log (sin 2coscos 2sin )44x x ππ－的单调递减区间是 A ．（k π＋8π，k π＋58π），k ∈Z B ．（k π＋8π，k π＋38π]，k ∈ZC ．[k π－8π，k π＋38π]，k ∈Z D ．[k π＋38π，k π＋58π），k ∈Z11．已知函数f （x）＝30x ax b x ⎪⎩，≥＋，＜满足条件：对于1x ∀∈R ，且x 1≠0，存在唯一的x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）．当f （2a ）＝f （3b ）成立时，a ＋b ＝ A3 BC3 D12．已知椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A．2B ．2C2 D第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P （3，4），则sin cos sin cos αααα＋2－＝___________．14．关于x 的方程xlnx －kx ＋1＝0在区间[1e，e]上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是_____________． 15．在正三棱锥S －ABC 中，ABM 是SC 的中点，AM ⊥SB ，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积为___________． 16．在△ABC 中，D 是AB 的中点，∠ACD 与∠CBD 互为余角，AD ＝2，AC ＝3，则sinA 的值为__________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设正项数列{n a }的前n 项和n S 满足n a ＋1． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设n b ＝11n n a a ⋅＋，数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．218．（本小题满分12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从河南的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题．河南高中生答题情况是：选择家的占25、选择朋友聚集的地方的占310、选择个人空间的占310．上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占35、选择家的占15、选择个人空间的占15． （1）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整，并判断能否有95％的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关；（2）从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4人中随机抽取2人到河南交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2． （1）求证：平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1； （2）求点M 到平面A 1CB 1的距离．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有｜FA ｜＝｜FD ｜．当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 1∥l ，且l 1和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．2l ．（本小题满分12分）已知函数f（x ）＝（x －1）xe －22t x ，其中t ∈R ． （1）函数f （x ）的图象能否与x 轴相切?若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数f （x ）的单调性．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的极坐标方程为ρsin （θ＋4π）＝O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝－＋＝－2＋（ϕ为参数）。
最新河南省洛阳市高三第三次统一考试数学试题(文)
2
2
解得 t 3 p 或 t 3 （舍去），
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3 人，在“个人空间”感到幸
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p 2t
由
3，解得 p 2 ，
4
所以抛物线 C 的方程为 y2 4 x .
（ 2）由（ 1）知 F (1,0) ，设 A( x0 , y0)( x0 0) ， D ( xD ,0)( xD 0) ，
因为 | FA | | FD | ，则 | xD 1| x0 1 ，
③“ cos 0 ”是“
2k
(k Z ) 的必要而不充分条件；
2
④将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 5 个单位长度得到函数 y sin(
2x) 的图象 .
12
6
A.1
B， 2
C.3
D， 4
10. 函数 y log 1 (sin 2x cos cos 2x sin ) 的单调递减区间是（ ）
正三角形 .
（ 1）求抛物线 C 的方程；
（ 2）若直线 l1 / /l2 ，且 l1 和抛物线 C 有且只有一个公共点 E ，试问直线 AE 是否过定点，若过定点，求出
定点坐标；若不过定点，请说明理由 .
21. 已知函数 f ( x) ( x 1)ex t x2 ，其中 t R . 2
（ 1）函数 f ( x) 的图象能否与 x 轴相切 ?若能，求出实数 t ，若不能，请说明理由；
（ 2）讨论函数 f ( x) 的单调性 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.
22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
已知直线 l 的极坐标方程为 sin(
) 2 2 ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直
洛阳2017高三数学文理一练解析
洛阳2016-2017学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）1. 已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为答案：B解析：a=1且b=-1，故z=1-i2. 已知集合(){}{}|10,|1xA x x xB x e =-<=>，则()RC A B =A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D.[]0,1 答案：A解析：A=(0,1)，B 中x>03. 已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且121"x x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A解析：显然充分，但x 取1和2时反推不成立4. 一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为 A.227 B. 29 C. 13 D. 23答案：D解析：考查列表法当m 取2或4时，基本事件总数2×6＝12 由列表可知m+n>5的事件有8次5. 已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是A. sin cos y x x =+B.22sin y x x =C. c o s||y x= D.3sin cos 22x x y = 答案：B解析：A 中由辅助角公式得周期2π C 中由偶函数性质得cos ||cos y x x == D 中由正弦倍角公式得周期2π由排除法可得正确答案6. 执行下面的程序，若输入的253,161a b ==， 则输出的结果为A. 92B. 46C. 23D. 1 答案：C解析：考查流程图 A=253，b=161，r=92 A=161，b=92，r=69 A=92，b=69，r=23 A=69，b=23，r=46 输出237. 等差数列{}n a 为递增数列，若2211056101,11a a a a +=+=，则数列{}n a 的公差d 等于 A. 1 B. 2 C. 9 D. 10 答案：A解析：考查等差数列性质5611011a a a a +=+=，2110110()2101a a a a +-=解得11010a a =因此1101,10a a ==，显然公差d=18. 已知向量()1,0,a b a == 与b 的夹角为45，若,c a b d a b =+=- ，则c 在d 方向的投影为1- 答案：D解析：考查向量的数量积 首先分析投影||cos ||cdc d θ= 其次转换条件22121cd a b =-=-=-2222()2121d a b a b ab =-=+-=+-︒=因此c 在d 方向的投影为－19. 已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.103π B. 14π C.1683π- D. 1643π- 答案：D解析：圆锥与正四棱柱的组合体2216433r hV a h ππ=-=- 10. 已知实数,x y 满足条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为A. {}2,1-B. {}|2a R a ∈≠C. {}|1a R a ∈≠-D. {}|12a R a a ∈≠-≠且 答案：D解析：考查简单线性规划首先求解三个交点（2,0），（0,2），（－2,－2） 对应目标函数最大值可能是－2a ，2或2a-2 即22222a a -≠-≠且时，有唯一最大值2 11. 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n N *∈时，1n nS S -的最大值和最小值之和为 A. 23-B. 712- C. 14 D.56 答案：C解析：考查等比数列前n 项和公式1(1)11()12n n n a q S q -==---公比为负值，讨论n 的奇偶性当n 为奇数时，11()2n n S =+递减趋近1，最大值取132S =当n 为偶数时，11()2n n S =-递增趋近1，最小值取234S =令1()n nf n S S =-增减性与上述类似，最终趋近0 其最大值为325(1)236f =-=，最小值为347(2)4312f =-=- 因此最值之和为1/412. 四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====,则此四面体外接球的表面积为 A.192πB. C. 17π答案：A解析：由已知得等边△BCD 边长2，高BE= 3 由余弦定理得AC=AD=7，底面△ACD 中CD 边上的高AE= 6 由勾股定理得BE ⊥AE取等边△BCD 的中心F ，则EF=3/3由正弦、余弦定理得△ACD 的外接圆半径22149sin A 24r == 因此外接球半径249819248R +==，表面积21942S R ππ== 13. 已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线C 的离心率为 .答案：5/3解析：考查焦点在y 轴的双曲线由渐近线方程得34a b =，因此2221619b e a =-=14. 若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 .答案：180解析：考查定积分的图像解法，n=10则x 平方项为228210(2)(1)180C x x -=15. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .答案：9/4解析：设A(-2m,m^2)，B(2n,n^2) 则(-4m,2m^2)+(2n,n^2)=(0,3) 即n=2m ，6m^2=3AB 中点纵坐标为5/4，准线方程x=-116. 已知函数()ln xf x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围为 . 答案：m ≥0解析：考查导数与单调性首先求解定义域x>0，其次确定函数单调递增求导得'()0x xm xe mf x e x x+=+=≥，即x m xe ≥-令()x g x xe =-且'()0x g x x e =--<，g(x)<g(0)=017. 如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=（1）若75,10ABC AB ∠== ，且//AC BD ，求CD 的长； （2）若10BC =，求AC AB +的取值范围. 解析：考查平行线与角平分线的综合应用 等腰△ABD 中，AB=BD=10 在△ABC 中，根据正弦定理sin 60sin 45BC AB=︒︒得BC=5 6在△BDC 中，根据余弦定理得2150100250CD =+-︒=-18. 如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=,二面角F AB D--是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； （2）求二面角F CD A --二余弦值.解析：由于BE//AF 且BC//AD ，因此平面BCE//平面ADF 设平面CDF 与平面BCE 相交于直线l ，则直线l 必过点C 由平面相互平行的性质可得DF//直线l 且过点C以点A 为原点建系，则F(0,0,2)，D(1,0,0)，C(2,2,0) 故DF=(-1,0,2)，DC=(1,2,0)平面ACD 的法向量n=(0,0,1)且平面CDF 的法向量m 满足02020m DF x zm DC x y ⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎩ 则m=(2,-1,1) 因此二面角的余弦cos m,n||||m n m n ⋅<>==19. 雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望. 解析：随机选取共有3^4＝81种方法恰有一城未选，11223424()42C C A C +=概率42148127P == 有一个城市需要复检记作事件A ，则4115()1()216P A =-= 随机变量X 的可能取值有0,1,2,3，分布列如下03311(X 0)C ()164096P === 12315145(X 1)C ()16164096P ===223115675(X 2)C ()16164096P === 333153375(X 3)C ()164096P ===由于15~(3,)16X B 服从泊松分布，因此数学期望31516EX ⨯=20. 设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.解析：（1）方法一：三角形中位线法 方法二：平面向量三点共线法A(a,0),F(c,0),B(m,n),C(-m,-n)中点D((a-m)/2,-n/2)向量BF=(c-m,-n)//BD=((a-3m)/2,-3n/2) 因此－3n(c-m)/2＝－n(a-3m)/2 解得a=3c ，e=1/3（2）已知F(1,0)，c=1，A(3,0)椭圆方程22198x y +=，过F 的直线斜率不为0，故设直线方程为x=ny+1 联立方程解得关于y 的一元二次方程22(89)16640n y ny ++-= 设1122(1,),(1,)M ny y N ny y ++ AM 方程为1132y yx ny =-- 则116(9,)2y P ny -，同理可得226(9,)2y Q ny - 利用根与系数关系求证向量PF 与QF 数量积为0因此PF ⊥QF ，即以PQ 为直径的圆过点F21. 设函数()()211ln .2f x x a x a x =---（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 解析：（1）2(1)(1)()'()(1)a x a x a x x a f x x a x x x+--+-=---==（考查因式分解）函数定义域要求x>0，因此a ≤0时，恒有导函数为正，故f(x)在x>0时单调递增当a>0时，令导函数为正得x>a ，令导函数为负得x<a ，故f(x)在(0,a)上单减，在x>a 时单增 （2）由（1）知a>0时f(x)才有可能存在两个零点， 并且要求函数最小值f(a)<0，即2/2(1)ln 0a a a a a ---< 即/2ln 1a a +>，显然a=1不满足条件，故a=2 （3）设f(x)=b 的两个根120x x <<()()22222111111ln 1ln 22x a x a x x a x a x ---=--- 整理得()212121ln ln 12x x x x a ax x +---=- 由（1）知2121212'()(1)22x x x x af a x x ++=---+ 故2121221212121121ln ln 2'()(ln 2)2x x x x x x x a a f a x x x x x x x x x +--=-=--+-+ 令21/1x x t =>则1()ln 21t g t t t -=-+，求导得'()0g t > 因此，g(t)>g(1)=0请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.洛阳2016-2017学年高三年级第一次统一考试数学试卷（文）1. 若复数z 满足(12)1i z i +=-，则|z|＝ A.2/5 B.3/5 C.10/5 D.10 答案：C设z=a+bi ，代入复数方程得到2121a b a b -=⎧⎨+=-⎩解得13,55a b =-=-，|z |==2. 已知实数集合R ，集合2{x |x 3x 40}A =--> [2,2]B =- 则如图所示阴影部分所表示的集合为A.{|24}x x -≤<B.{|24}x x x ≤≥或C.{|21}x x -≤≤-D. {|12}x x -≤≤ 答案：D阴影部分代表集合[1,4][2,2][1,2]R C A B =--=- 3. 若[0,]θπ∈ 则sin(/3)1/2θπ+> 成立的概率为 A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.1答案：B解析：根据正弦函数图像得5336πππθ≤+≤即02πθ≤≤ 概率即为区间长度之比1/24. 已知平面向量a,b 满足||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为120度，且()(2)a b a b λ+⊥- 则实数λ的值为A.－7B.－3C.2D.3答案：D向量垂直等价于数量积为零，()(2)0a b a b λ+-= 其中||||cos1201ab a b =︒=-，解得λ＝35. 直线:1l y kx =+ 与圆22:1O x y += 相交于A,B 两点，则“k=1”是||AB = A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案：A考查圆心到直线距离，如图所示，只充分不必要6. 已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设 1.20.852,2,2log 2a b c =-==，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为A.f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)>f(b)>f(a)D. f(c)>f(a)>f(b) 答案：C显然a<0<c<1<b ，但是c<b<|a|根据偶函数单调区间上的递减特性得到选项C7. 某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S 值是 A.1007 B.1008 C.2016 D.3024 答案：B解析：找到规律，S=[2+1-2+1]+[6+1-6+1]+…四个一组和为2，停止时计算2016次，分为504组8. 某几何体的三视图所图所示，则该几何体的体积是 A.15π/2 B.8π C.17π/2 D.9π 答案：B首先分割为对称的两部分然后再分成高为3的圆柱和高为2的斜半个圆柱 故总体积2(3)8πππ+=9. 已知函数2(1)42,1()1log ,1a x a x f x x x -+-<⎧=⎨+≥⎩ 若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是A.(1,2]B. (,2]-∞C. (0,2]D. [2,)+∞ 答案：A如图所示，由于右侧对数图像单调递增， 因此右侧直线也必须单调递增，即斜率a>1 由分界点（1,1）处(1)1f -≥，可得a ≤2故得选项A10. 已知双曲线22:142x y E -=，直线l 交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为（1/2,－1），则直线l 的方程为A.410x y +-=B. 20x y +=C. 2870x y ++=D. 430x y ++= 答案：C中点斜率公式221,22AB OMOM b k k k a ===- 得AB 直线斜率为－1/4 且直线AB 会过中点M ，故选择C11. 已知函数2()ln f x x ax x =-+ 有两个零点，则实数a 的取值范围是A. (,1)-∞B. (0,1)C. 21(,)e e +-∞ D. 21(0,)e e+ 答案：B定义域优先，x>0转化为对数函数与二次函数2()ln ,h()g x x x ax x ==-的交点问题如图所示，分类讨论a 的取值范围显然|a|越大，抛物线开口越小，因此两零点要求0<a<112. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为16/3，则此三棱锥的外接球表面积为A.16π/3B.40π/3C.64π/3D.80π/3答案：D如图所示，PC=2R底面ACBD 是圆内接四边形由正弦定理得4sin 60DC ==︒PD 垂直于底面，是三棱锥的高211633V Sh h === 由此解得高h=PD=4/ 3在RT △PDC 中应用勾股定理得222(2)80/3R DC PD =+=因此，外接球表面积2480/3S R ππ==13. 已知实数x,y 满足1021050y x y x y -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=x-y 的最小值为___答案：－1先求交点（1,1），（4,1），（2,3）分别代入目标函数得0,3,-1，故最小值为－114. 若sin(/3)1/4πα-= 则cos(/32)πα+=___答案：－7/82211cos(2)cos 22(cos sin )cos 322πααααααα+==-11sin()sin 324πααα-=-=两边平方得22131cos cos sin 822αααα=-- 代入得17cos(2)1388πα+=-=- 15. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，B,C 是椭圆E 上关于原点对称的两点（B,C 不在x 轴上），若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为___答案：1/3设B(m,n)，则C(-m,-n)，连接ABA(a,0)，F(c,0)，AC 与BF 的交点即为中点D因此OD 是△ABC 的中位线，故相似比1:2 即132OF c a c AF a c ==⇒=-，解得13c e a ==16. 在△ABC 中，30,AC B ∠=︒=D 是AB 边上的一点，CD=2，若角ACD 为锐角，△ACD的面积为4，则BC ＝___答案：4典型的解三角形题目如图所示，在△ACD 中，由面积公式得242S α=⨯= 解得sin αα==由余弦定理得2420416AD α=+-⨯= 由正弦定理得,sinsin sin AD CD A A α== 在△ABC 中，由正弦定理得,4sin sin 30BC AC BC A ==︒17. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,0,1n n S a a ≠=，且()1243.n n n aa S n N *+=-∈（1）求2a 的值，并证明：22n n a a +-=；（2）求数列{}n a 的通项公式.解析：令n=1，得121243a a a =- 解得21/2a = 1243n n n a a S +=- 以及 121243n n n a a S +++=-两式作差得1212()4n n n n a a a a +++-=，因此22n n a a +-=当奇数项构成等差数列时，2112(1)21k a k k -=+-=-当偶数项构成等差数列时，21/22(1)23/2k a k k =+-=-综上所述，, n n 3/2,n n n a ⎧=⎨-⎩奇偶 18. 如图，正方形ADEF 与梯形A B C 所在的平面相互垂直，1//,,1,2AB CD AB BC DC BC AB ⊥===点M 在线段EC 上. （1）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若//AE 平面MDB ，求三棱锥E MDB -的体积. 解析：由于M 是动点，因此平面BDM 内找准固定直线BD首先，由面面垂直得BD ⊥AF其次，由勾股定理得BD ＝ 2解直角梯形ABCD 得AD ＝ 2由勾股逆定理得BD ⊥AD综上所述，BD ⊥平面ADEF ，即平面BDM ⊥平面ADEF连接底面对角线AC 交BD 于O ，由线面平行得到AE//OM由底面对角线三等分定理及相似得EM ＝2MC ，因此△EDM面积＝2323⨯= 三棱锥B-EDM的体积为139V Sh == 19. （本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须有专家组选取，求A 城市恰有两个专家组选取的概率；解析：ABC 三个城市都必须有专家选取，因此先分组再排列，即234336C A ⨯=A 城市恰有两个专家组选取，共有224212C A ⨯=种可能因此概率P=1/3（2）在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？22400(96003600)16100100300300K ⨯-==⨯⨯⨯>10.828，故有99.9%把握认定相关 20. 已知抛物线()2:20C x py p =>，过焦点F 的直线交C 于A,B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点.（1）若//AB l ，且ABD ∆的面积为1，求抛物线的方程；（2）设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N,证明：直线AN 与抛物线相切. 解析：通径AB 平行于准线，因此FD=p ，AB=2p三角形面积21S p ==，因此22x y = 焦点(0,)2p F ，设焦点弦AB 直线方程2p y kx =+ 联立抛物线方程22x py =得2220x kpx p --=因此212122,x x kp x x p +==-，1122(,),(,)22p p A x kx B x kx ++ 因此2(,),(,)22p p M kp k p N kp +- 111AN kx p x K x kp p +==-，并且对抛物线求导得'x y p= 因此抛物线在A 点的切线即为AN21. 已知函数()()21ln ,0.2f x x x a x a =-+> （1）若1a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>. 解析：当a=1时，2()ln 2x f x x x =-+，1'()1f x x x =-+ 因此（1,－1/2）处的切线方程为32y x =- 一般地，x>0且2'()1(0)a x x a f x x a x x-+=+-=>对勾函数()a g x x x=+最小值为g =即1/4a ≥时，导函数非负，即f(x)在定义域内单调递增；当104a <<时，导函数有两个零点，12x ±=即f(x)在单调递减，在单调递增，在)+∞单调递增 两极值点12,x x 是方程20x x a -+=的两根，因此12121,x x x x a +==221212121211()()()()(ln ln )ln 22f x f x x x x x a x x a a a +=+-+++=-- 令11()ln (0)24g x x x x x =--<<，'()ln 0g x x =< 因此132ln 2()()44g x g -->=，得证请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.解析：直角方程22(2)4x y +-=，对应极坐标方程为4sin ρθ= 联立射线与圆解得(2,)6P π；联立直线与射线解得Q(5,)6π因此PQ=5－2=323. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围. 解析：找出两个分界点，据此分段2,1()3,11/22,1/2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩144()()5()59b aa b a b a b ++=++≥+=即f(x)最大值为3令x －2＝3得x ＝5由图像解得－1≤x ≤5。
2017年河南省洛阳市高考数学模拟试卷(文科) 有答案
2017年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．75．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A． B．C．D．37．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣20178．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A． B． C．D．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．312．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为．14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为．15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p 且q”为真命题，则实数m的取值范围是．16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值．（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：=，=﹣．19．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥PM；（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．2017年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B⊆A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B⊆A，当a=3时，B={1，3}，满足B⊆A．综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2 •，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2 =0，（）•=﹣2=0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得 co sθ====，∴θ=60°， 故选B ．【点评】本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．4．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【考点】等比数列的性质．【分析】利用等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，可得d=a 1，即可求出．【解答】解：∵等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 42=a 2a 8，∴（a 1+3d ）2=（a 1+d ）（a 1+7d ）， ∴d 2=a 1d ， ∵d ≠0， ∴d=a 1，∴==3．故选：B ．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A． B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△==，S△ACD==，ADE故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017【考点】数列的应用．【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点A到抛物线的准线的距离．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴|AM|=6，∴点A到抛物线的准线的距离为6故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14．设a ＞0，b ＞0．若是3a 与32b 的等比中项，则+的最小值为 8 ．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得3a ×32b =（）2，变形化简可得a +2b=1，进而有+=（a +2b ）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若是3a 与32b 的等比中项，则有3a ×32b =（）2，即3a +2b =3，则有a +2b=1；则+=（a +2b ）（+）=4+（+）≥4+2=8；即+的最小值为8； 故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a +2b=1．15．已知p ：∀x ∈[，]，2x ＜m （x 2+1），q ：函数f （x ）=4x +2x +1+m ﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m 的取值范围是 （，1） ． 【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，取交集即可．【解答】解：已知p ：∀x ∈[，]，2x ＜m （x 2+1），故m ＞，令g （x ）=，则g （x ）在[，]递减，故g （x ）≤g （）=， 故p 为真时：m ＞；q ：函数f （x ）=4x +2x +1+m ﹣1=（2x +1）2+m ﹣2， 令f （x ）=0，得2x =﹣1，若f （x ）存在零点，则﹣1＞0，解得：m ＜1，故q 为真时，m ＜1；若“p 且q”为真命题，则实数m 的取值范围是：（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题．16．已知O （0，0），A （2，1），B （1，﹣2），C （，﹣），动点P （x ，y ）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P 到点C 的距离大于的概率为 1﹣．【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵A （2，1），B （1，﹣2），C （，﹣），∴动点P （a ，b ）满足0≤≤2且0≤•≤2，∴，z=（a ﹣）2+（b）2，∴作出不等式组对应的平面区域如图：∵点P 到点C 的距离大于，∴|CP |，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E （，），|OE |==，∴正方形OEFG 的面积为，则阴影部分的面积为π，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•洛阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值．（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx==sin（2ωx﹣）﹣．由最小正周期得ω（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，cosB、B，再求f（A）的取值范围【解答】解：（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=sinωx•cosωx﹣cos2ωx==sin（2ωx﹣）﹣．∵最小正周期为T=π，∴，⇒ω=1．∴f（x）=sin（2x﹣）﹣∴f（）=sin（2×）﹣=．（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA．∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴．∴A，2A﹣，∴sin（2A﹣）．f（A）的取值范围：（﹣1，]．【点评】本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题．18．（12分）（2017•洛阳模拟）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：=，=﹣．【考点】线性回归方程；茎叶图．【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；（2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8，∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为=；（2）=35，=3.5，===，=﹣=．∴=x+．x=50时，=4.55小时．【点评】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．19．（12分）（2017•洛阳模拟）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥PM；（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，证明：BD⊥平面PEM，即可证明BD⊥PM；（2）利用等体积方法，求点A到平面PBM的距离．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵E，M分别是AD，DC的中点，∴EM∥AC，∴EM⊥BD．∵PA=AD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BD，∵EM∩PE=E，∴BD⊥平面PEM，∵PM⊂平面PEM，∴BD⊥PM．（2）解：∵PA=PD=，∠APD=90°，∠DAB=60°，∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM==，∴PM=PB==2．=，S△ABM==．等边三角形DBC中，BM=，∴S△PBM设三棱锥A﹣PBM的高为h，则由等体积可得，∴h=，∴点A到平面PBM的距离为．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题．20．（12分）（2017•洛阳模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），2a=|AF1|+|AF2|=+=8，即可求方程、离心率．（2）写出直线TN\TM的方程，得P（，得Q（0，），即|PN|=|4+|=||，|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|==．【解答】解：（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8∴a=4，∴b2=a2﹣c2=4，e=椭圆C的标准方程：．e=．（2）T（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），则．M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：，令y=0，得P（，直线TN的方程：，令x=0，得Q（0，）则|PN|=|4+|=||则|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|==∴|PN|•|QM|为定值16【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2017•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出F（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设切点（m，lnm﹣），求出f（x）的导数，由题意可得a=+，lnm﹣=ma+b，即可得到a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．【解答】解：（1）a=2时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣﹣2x﹣b，F′（x）=+﹣2，（x＞0），F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F′（x）＜0，解得：x＞1，故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）：设切点（m，lnm﹣），函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=+，即有切线的斜率为+，若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，则a=+，lnm﹣=ma+b，即有b=lnm﹣﹣1，a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0，则a+b=﹣lnt﹣t+t2﹣1，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．则a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•洛阳模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a 为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，利用三角函数知识即可求解．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为=1，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，直角坐标方程为x+y﹣6=0；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，即=|sin（α+）﹣3|，当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•洛阳模拟）已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m 的范围，即可得出结论；（2）利用柯西不等式，可得2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|=|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c=1．由柯西不等式，≥（a+b+c）2=1，∴，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．【点评】本题给出等式a+b+c=1，求式子2a2+3b2+4c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．。
(全优试卷)河南省洛阳市高三第三次统一考试数学(文)试题Word版含答案
洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或23.下列函数为奇函数的是（）A B．4.，（）A B C. 2 D5.点到其渐近线的距离等于（）A B．3 C.5 D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．87.）A.1B.3 C，5 D.78.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.）A.9B.16C.23D.309.下列叙述中正确的个数是（）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；.A.1 B，2 C.3 D，410.）A B11.）A12.）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.是．15.外接球的表面积为．16.的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.（1）“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.19.（1（2.20.过的横坐标为3.（1（2若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.（1?（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.试卷答案一、选择题1-5： DCCBA 6-10：ADCBB 11、12：AD 二、填空题三、解答题17.解：（11为首项，2为公差的等差数列. （2(22n+18.解：（1）由已知得，.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有119.（1（211A CBS=11A MB=由（13h=1111A MBA CBSS20.解：（1，（2）由（121.解：（1显然此方程无解.. （2..22.解：（1（2..23.解：（1.（2.所以{|y y=-31|x+|(3≥由（1。
【全国市级联考】河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试文科数学
绝密★启用前【全国市级联考】河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试文科数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：67分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列四个命题中错误的为：( ) A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则2、设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．43、已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）A ．B ．C ．D ．4、设，是 “”是“为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知函数，若，则取值的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．6、设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为（ ） A ．B ．C ．D ．7、等比数列中，，函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9、某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A ．60B ．48C ．24D ．2010、已知函数，则下列说法不正确的为（ ）A ．函数的最小正周期为B ．在单调递减C ．的图象关于直线对称D ．将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象11、在平面直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，设，则的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．312、已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知，若向量与共线，则__________．14、若函数在定义域上为奇函数，则实数__________．15、已知，数列满足，则__________．16、已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．三、解答题（题型注释）17、设函数．（1）求的单调递减区间；（2）当时，求的最值．18、已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．19、在中，内角的对边分别为，已知，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．20、已知函数．（1）若函数在和处取得极值，求的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．21、如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，是边长为2的等边三角形，是的中点，是棱的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．22、已知函数为偶函数，当时，，且曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；；（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值．参考答案1、C2、B3、C4、A5、D6、A7、D8、D9、C10、D11、B12、D13、314、15、100916、17、（1）．（2）见解析18、（1）．（2）13．19、（1）．（2）．20、（1）；（2）．21、（1）见解析（2）．22、（1）．（2）2．【解析】1、试题分析：若，，则，正确；若，，则，正确；若，，则或，即C错误；若，，则正确，综上知，选C. 考点：平行关系、垂直关系2、因为，，所以，集合的子集的个数是，故选B.3、由复数在复平面内对应的点分别为，得，则，故选C.4、时，为等比数列，而为等比数列时，或，即，可以得到“”为等比数列，而为等比数列不使得到一定成立，所以“”是“”为等比数列的充分不必要条件，故选A.5、当时，，，合题意，当时，，取值的集合为或，故选D.6、设等差数列的公差为，，，化为，等差数列单调递减，，当时，数列取得最大值，故选A.7、在等比数列中，由，得，函数是个因式的乘积，展开后含的项仅有，其余的项的指数均大于等于，中的常数项仅有，，故选D.8、由函数图象，可由向上平移各单位，由图知，，根据图象可知的周期，排除A、B；而，由向上平移各单位，选项中只有符合题意，故选D.9、由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥和三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，几何体的体积，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥与棱柱的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10、函数，的最小正周期为正确；时，，是单调递减，正确；当时，为最小值，是的对称轴，正确；将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得的图象，它是偶函数，错误，说法不正确的为，故选.11、,,,,,设，画出连线的表示的区域，如图，平移直线，当直线经过时，有最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查转化与划归思想以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12、,时，，时，，，零点，就是与的交点，画出两函数图象，如图，由图知，过原点与相切的直线斜率为，所有直线与曲线有一个交点的的范围是，故选D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13、,,由向量与共线，得，解得，故答案为.14、在定义域上为奇函数，，即，根据等式恒成立可得，或，故答案为.15、因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位，的图象关于对称，，，，两式相加可得，，，，故答案为.16、当平面平面时，四面体体积是最大，当体积最大时，设外心为，外心为，过，分别作平面面与平面的垂线交于，则即是外接球的球心，，外接球表面积，故答案为.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和求出半径.17、试题分析：（1）先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式可将化为，再利用余弦函数的单调性解不等式即可得结果；（2）由，可得，结合余弦函数的图象可得的最值.试题解析：（1）．由，得，∴，所以的单调递减区间为．（2）∵，∴，当取到最大值1，此时；当取得最小值，此时．18、试题分析：（1）根据等差数列的前三项和为6，且成等比数列列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，即，由，解得，所以．（2）由（1）可得，所以．解，得，所以的最大值为13．【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19、试题分析：（1）由，得，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得，从而可得结果；（2）由，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由，得，即，由正弦定理，得，所以，，，因为，所以，所以．因为，所以．（2）在中，由余弦定理，得，又，所以，解得，所以的面积．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20、试题分析：（1）求出导函数，利用，且=0，解方程组可求得；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在时，的最小值为，只需即可求的取值范围.试题解析：（1）由题可得，，∵函数在和处取得极值，∴是方程的两根，∴，∴；（2）由（1）知，，当变化时，随的变化如下表：∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，∴，∴的取值范围为．21、试题分析：（1）由，可得，由勾股定理可知，从而可得平面，进而根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接，先证明平面，再根据等积变换可得，从而可得结果.试题解析：（1）∵底面四边形是直角梯形，是的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，又是的中点，故，又，∴，由勾股定理可知，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）解：连接，∵，是的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，∴平面，又是棱的中点，故，而，∴，∴．22、试题分析：（1）根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，根据此方程与重合可得的值；（2））因为为偶函数，所以存在实数，对任意的，都有，等价于以在上恒成立，设，，利用导数研究函数的单调性求出与，只需令即可得结果.试题解析：（1）时，，所以曲线在点处的切线方程为，即．又曲线在点处的切线方程为，所以．（2）因为为偶函数，且当时，，那么，由得，两边取以为底的对数得，所以在上恒成立，设，则（因为）所以，设，易知在上单调递减，所以，故，若实数存在，必有，又，所以满足要求，故所求的最小正整数为2．。
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洛阳市2017—-2018学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文）
1.设全集U=R ，集合}{(6)(2)0A x x x =-+< ,，则A ∩C U B 等于( )
A. (1,6)
B. (-2,1)
C.
[1,6) D. (-2,1] 2.已知a ∈ R ，i 为虚数单位，若i
i a +-1为纯虚数，则a 的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知a 是不共线的向量，),(,R n m nb a AC b ma AB ∈+=+=，若A ，B ，C 三点共线，则m ，n 的关系一定成立的是( )
A. m=n
B. m=-n
C. mn=-1
D. mn= 1
4.已知)＞b )()(()(a b x a x x f --=的图像如图所示，则函数b a x g x
+=)(的图像是( )
5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯这首歌谣中描述的这个宝塔总共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6.在区间（0,2)内随机取一个实数a ，则满足2000x y y x a -≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩
的点(y x ,)所围成区域的面积大于1的概率是( )
A. 81
B.
41 C. 21 D. 43 7.已知圆C: 222)1(r y x =+- (r > 0)，设p :0 < r≤3，q:圆上至多有两个
点到直线x -3y + 3 = 0的距离为1，则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 ( )
A.求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和
D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列，且a 2 = c 2 +ac-bc ，则B b c sin ( ) A. 332 B. 23 C. 21 D. 3 10.已知函数)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=,先将)(x f y =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )
A. 9π
B. 185π
C. 3π
D. 3
2π 11.过椭圆14
92
2=+y x 上一点H 作圆：222=+y x 的两条切线，点A ，B 为切点。
过A 、B 的直线l 与x 轴,y 轴分别交于点P ，Q 两点，则△P0Q(0为坐标原点）的面积的最小值为( )
A.
21 B. 32 C. 1 D. 3
4 12.已知函数k x
x x f -=|cos |)(在(0, +∞)上有两个不同的零点βα, (α<β），则下列结论正确的是( ) A. 11)4tan(-+=+ααπα B. 11)4tan(+-=+ααπα C. 11)4tan(-+=+ββπ
β D. 1
1)4tan(+-=+ββπβ 13.已知 25cos sin =
+αα，则 α2sin = . 14.若曲线C: 122=+y x λ的离心率为2,则λ = .
15.若函数ax e x f x ++-)1ln()(为偶函数，则实数a = .
16.正方形和等腰直角三角形DC£组成如图所示的梯形，M ，N 分别是AC ，DE 的中点，将三角形DCE 沿CD 折起（点E 始终不在平而ABCD 内），则下列说法一定正确的是 . (写出所有正确说法的序号）
①MN//平面BCE ；
②在折起过程中，一定存在某个位置，使MN 丄/AC ；
③MN 丄AE ；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使DE 丄AD.
17.已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=4，a n+1= 3S n + 4(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }满足a n b n = log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜
9
8.
18.某校高三（1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的髙；
(3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的 试卷中，至少有一份分数在
[90,100)之间的概率。
19. 如图，在四棱锥E —ABCD 中,△EAD 为等边三角形，底面 ABCD 为等腰梯形，满足AB // CD,AD = DC = 21AB ，且AE 丄 BD.
（1）证明：平面EBD 丄平面EAD
（2）若AEAD 的面积为3，求点C 到平面EBD 的距离.
20.已知抛物线E: px y 22= (p>0)的焦点坐标为（1，0)，过点P(2,0)的直线1l 与抛物线E 交于A （x 1，y 1）,B(x 2，y 2)两点，直线2l 过点P 且与抛物线E ：交于C ，D 两点(A 、C 在x 轴的同一侧），过点P 作x 轴的垂线与线段AC 和BD 分别交于M ，N.
(1)已知 a = (1，y 1)= (8，y 2），求b a ⋅的值；
(2)求证：当1l , 2l 斜率存在时，点P 始终为线段MN 的中点.
21.已知函数x
e m x x x
f )44()(2++-=（其中m∈R 为自然对数的底数）.
(1)讨论函数)(x f 的单调性；
(2)设曲线)(x f y =在(m ，)(m f )处的切线为l ，当[]0,1m ∈时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围。
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧+==t m y t x , (t 为参数，m∈R)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值.。