双因素试验的方差分析
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
双因素方差分析
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素方差分析
y ij ij ij 2 , ij ~ N ( 0, )
假定 ij 相互独立
i 1,2,, r , j 1,2,, s
沿用有重复试验的有关记号，模型可以改写为
yij i j ij ij ~ N (0, 2 ) i 0, j 0, j i
FA B
S A B ( r 1)( s 1) S E rs( t 1)
~ F (( r 1)( s 1), rs( t 1))
表1 双因素方差分析表
来源
因子A 因子B 交互作用 误差 总和
平方和
自由度
均方
SA SA r 1 SB SB s 1
S A B S A B ( r 1)(s 1)
1 t yij yijk t k 1 1 r t y j yijk rt i 1 k 1
引入总的偏差平方和（总变差）:
ST yijk y
i 1 j 1 k 1 r s t
2
可以证明
其中
ST S E S A S B S AB
S E yijk yij
§4.2
双因素方差分析
有重复试验的方差分析
无重复试验的方差分析
一、有重复试验的双因素方差分析
设有两个因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平 A1 , A2 , Ar ， 因素B有s个水平B1 , B2 ,, Bs , 现对因素A，B的每对组合 ( Ai , B j ) 都作 t (t 2)次试 验（称为等重复试验）。
表2 方差分析表
来源
因子A 因子B 误差 总和
平方和
双因素试验的方差分析
双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。
主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。
双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。
（二）关键词：双因素 方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。
根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。
本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。
（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。
因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。
因 素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
交互作用双因子方差分析
H 03 的 拒 绝 域 为
W 03
S A SE
B 2
2
k3
（6.35）
为 了 确 定 界 限 值 k1 、k 2 、k3 ， 按 照 显 著 性 检 验 的 一 般
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统
计量的分布，
可以证明，
在 H 01 成 立 时
S A 2 r 1 ~ F r 1, rs t 1 S E 2 rs t 1
后的剩余部分，称为水平组合
Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异 u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ：
i 1 j 1 k 1
S
2 A
r
s
t
x i•• x 2
A
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S
2 B
r
s
t
x • j• x 2
B
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S 2 A B
rst
A B
x ij • x i • • x • j • x 2 称 为
的交互效应
i1 j1 k 1
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST 2
SE2
SA2
SB2
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
6-2双因素方差分析
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著 个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售 地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源 平方和 自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 列因素 交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产 生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素 地区1
地区因素 地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X ij ．此外，在假定每个水平组合 Ai , Bj 下进行一
次实验。
6
双因素无重复试验数据表
7 A水平 B水平
B1 X11 X21 … Xr1
B2
…
Bs X1s X2s … Xrs
xij ， i j
1 1
A1 A2 … Ar
（1）计算平均值
所有试验值的算术平均根
i
X12 … X22 … … Xr2 …
2, , r ，
1 r t X j X ijk ， j 1, 2, , s ． rt i 1 k 1
Байду номын сангаас
16
总离差平方和
ST X ijk X
r s t i 1 j 1 k 1 s t r
2
X ijk X ij X i X X j X X ij X i X j X
24
表
方差来源 因素 平方和 自由度
试验数据方差分析表
均方
F
值
临界值
显著性 显著 显著
A
64 .5767 60.74 5.4333
3
2
21 .5256 30.37 0.90555
23 .7707 33.5378
F0.01 3, 6 9.78 F0.01 2, 6 10.92
因素 B 误差 总和
因素 A B
r 1s 1
rst 1
rst 1
S A B
SE r 1s 1
SE rst 1
误差
SE
ST
SE
总和
20
例 1 试验某种钢不同的含铜量在各种温度下的冲击值 kgm cm2 ， 其实测数据如下表， 试在 0.01 下 检验差异性是否显著？ 表 某种钢的铜含量与不同温度下的冲击值表
22
1 r 2 T2 1 1 S A Ti 3207 .74 109.82 64.5767， s i 1 rs 3 12
1 s 2 T2 1 1 SB Tj 4261 .64 109.82 60.74 ， r j 1 rs 4 12
r s i 1 j 1
2
SE S A SB S A B
17
在许多情况下，水平组合 Ai ,
Bj 的这种效应并不等
于水平 Ai 的效应和 B j 的效应之和．我们把 Ai 的效应与
B j 的效应差称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效
应，简称交互效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与 因素 B 对试验指标的交互效应设想为某一新因素的效 应．这个新因素记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交 互作用．
B 铜含量
A 试验温度
0 .2 %
0 .4 %
0 .8 %
Ti
36 .7
31.4
Ti 2
1346 .89
985 .96
20 ℃
0℃
10.6
7 .0
11.6
11.1
14.5
13.3
20 ℃
40 ℃
4 .2
4 .2 26
6 .8
6 .3 35.8
11.5
8 .7 48
22 .5
19.2
i 1 j 1 k 1
2
X ijk X ij st X i X rt X j X
r s t 2 r 2 s i 1 j 1 k 1 i 1 j 1
2
t X ij X i X j X
s 1
( r 1) ( s 1)
SS E (r 1)(s 1)
总 和 SS T
rs 1
二、双因素重复试验 的方差分析
1
在无交互作用时，对因素 A ， B 各水 平的每种组合只进行一次试验，即 t 1 ． 当 要 考 虑 因 素 间 的 交 互 作 用 A B 时， 在各水平组合下需要做重复试 验．设每种水平组合下试验次数均为 t
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,
Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
5
我们假定
X ij
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s
相互独立，且服从正态分布 N
,
ij
2 ，
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体
（1）计算离差平方和
X12 … X22 … … Xr2 …
2
SS T
X ij i j
r s
1 1
X
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和， 也称为总变差平方和．
其中
SS e
X ij i j
r s
1 1
Xi X j X
2
2
SS A s X i X
28
为计算
X
B
2 ijk
，将上表中的 Ai ,
Bj 的平方数据列成下表
表
A
B1 A1
A2
144 1 81
2 ijk
B2
A1, A2 , ,
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , ,
在水平组合 Ai ,
Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
如果A、B两因素相互独立，则称之为双因素无重复实验； 如果A、B两因素有交互作用，则称之为双因素重复试验。 3
一、双因素无重复试 验的方差分析
1
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
表示， 我们把试验结果 X ijk k 1, 看作是取自正态总体 X ij ~ N
,
ij
2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
14
因素
B 各水平
B1
B2
因素
A 各水平
Bs
A1
X111 , X112 , , X11t
X121 , X122 , , X12t
X1s1 , X1s 2 , , X1st
t 1 ．
12
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,
Bj 下进行 t 次试验。
13
试验结果用
X ijk
k 1,
2, , t 2, , t
A2
X 211 , X 212 , , X 21t
X 221 , X 222 , , X 22t
X 2s1, X 2s 2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12 , , X r1t
X r 21 , X r 22 , , X r 2t
X rs1 , X rs 2 , , X rst
r i 1
s
SS B r X j X
j 1
2
9
双因素无重复试验方差分析表
10
差异源 ＳＳ 因素A SS A 因素B SS B 误 差
SS e
自由度
r 1
均
MS A
MS B
MS e
方
SS A r 1
SS B s 1
F检验
FA
FB
MS A MS e
MS B MS e
6
11
130 .75
所以，认为试验温度的各个水平有显著性差异， 认为铜含量的各个水平有显著性差异．
25
例 2 四种施肥方案与三种深翻方案配合成 12 种育苗方案， 作杨树苗试验， 获得苗高数据如下 表．在显著性水平 0.05 下，检验施肥方案之间的差异是否显著？深翻方案之间的差异是否显 著？交互作用是否显著？ 表 施肥 第一方案 深翻 第一方案 第二方案 第三方案 52 41 49 43 47 38 39 53 42 48 50 36 37 41 48 29 30 47 34 36 37 42 39 40 38 44 32 45 44 43 58 46 56 42 60 41 第二方案 第三方案 第四方案
19
有交互作用的双因素试验方差分析表
方差来源 因素 平方和 自由度 均方
F
值
临界值
显著性
A
SA SB
A B
r 1
因素 B
s 1
SA r 1 S SB B s 1 SA
FA FB FA B
F r 1, rs t 1 F s 1, rs t 1
F r 1 s 1 , rs t 1
15
1 r s t X X ijk ， rst i 1 j 1 k 1
1 t X ij X ijk ， t k 1
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
1 s t X i X ijk ， st j 1 k 1
i 1,
SE ST S A SB 130.75 64.5767 60.74 5.4333，
23
S A 自由度： r 1 3 ， S B 自由度： s 1 2 ， S E 自由度： r 1s 1 6 ，
于是，
64.5767 3 FA 3 23.7707， SE 5.4333 6 6 64.5767 SB 2 FB 2 33.5376． SE 5.4333 6 6 SA