中山大学2011年期末《信号与系统》试卷(A)

中山大学考试卷（A 卷）课程：信号与系统（闭卷）（2011/05 ）专业 班级 姓名 学号一、 填空题（每空2分，共20分）１．已知某系统的输出)(t r 与输入()e t 之间的关系为∑∞-∞=-=n nT t t e t r )()()(δ，其中T 为常数，则该系统是（线性/非线性） 线性 系统。

２．⎰-=+πππδdx x x )2()sin( -1 。

３．连续时间系统的传输算子为)2)(1(3)(+++=p p p p H ，则描述该系统的方程为()3()2()()3()r t r t r t e t e t ''''++=+，该系统的自然频率为 -1、-2 。

４． 信号)f(t)=5cos(3t)+10cos(5t ππ的周期是_2_，其平均功率等于 62.5 瓦。

５．信号)(t f 的最高频率为10m f kHz =，其奈奎斯特抽样频率s ω=4410π⨯ 弧度/秒，信号(0.1)f t 的m f = 1kHz ，(0.1)f t 的奈奎斯特抽样间隔=s T 500s μ。

６．已知离散时间LTI 系统的单位函数响应为()cos(/3)()h k k k u k π=，则该系统为（稳定/不稳定）不稳定 系统。

二、（12分）已知)(tf 的波形如图一所示。

)(t f （1）写出)(t f 的表达式；（2）画出()2(1)2tg t f =-+的波形； t（3）求()()dg t h t dt=的傅里叶变换。

图一解：（1）()[()(1)]f t t t t εε=-- （2分）（2分） （3 ()2()[()(2)]h t t t t δεε=--- （2分）2211()2[()](1)2(1)j j H j e e j j ωωωπδωωω--=-+-=-- （4分）三、（18分）已知)(t f 的频谱函数为)(ωj F ，其频谱图如图二所示。

（1） 求t j e t f t f 21)2()(-=的频谱函数)(1ωj F 的表达式；（2） 画出)(1ωj F 的波形； （3）求)(t f 的表达式。

图二（4）若让)(t f 经过图三所示系统，试绘出A ，B ，C ，D 各点的信号频谱图。

系统中理想高通滤波器)(ωj H H 和理想低通滤波器)(ωj H L 在通带内的传输值均为1，相移均为0，其系统函数如图四所示。

)(t f )(t r图三图四解：（1）111(2)()()22f t F j F j ωω-↔-=， 1111()()[(2)]f t F j F j ωω↔=- 1411()[(2)]()(4)(2)22F j F jG ωωεωεωω=--=--=- （4分）（2）（2分）（3）2()2()F j G ωω= 由于()(),()2()22G t Sa Sa t G ττωττττπω↔↔ （对称性质） 所以222()()()222tf t Sa t Sa τττππ==⨯= （4分） （4）41()()cos ()[(1)(1)]()2A A f t f t t F j F j j F j j G ωωωω=↔=++-=11()()()( 1.5)( 1.5)B A H F j F j H j G G ωωωωω==++-1()()cos 2()[(2)(2)]2C B C B B f t f t t F j F j j F j j ωωω=↔=++-1211()[(3.5)()(3.5)]2C F j G G G ωωωω=+++-21()()()()2D C L F j F j H j G ωωωω== （2分） （2分） （2分） （2分）四、（15分）某LTI 系统保持初始状态不变。

已知当激励为1()()e t t δ=时，其全响应为1()()()t r t t e t δε-=+；当激励为2()()t e t e t ε-=时，其全响应为2()3()t r t e t ε-=。

（1）求系统的单位冲激响应()h t ，说明其因果性； （2）写出描述系统输入输出关系的微分方程； （3）求当激励为3()()(1)e t t t εε=--时的全响应。

解：（1）设该系统的零输入响应为()zi r t ，则由题意，有 ()()*()()()t zi r t t h t t e t δδε-+=+1()()*()3()t t zi r t e t h t e t εε--+= 对两式分别取拉氏变换，得1()()1113()()11zi ziR s H s s R s H s s s ⎧+=+⎪⎪+⎨⎪+=⎪++⎩解之得，1()111()1zi H s sR s s s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩即()()()()(1)()tzi h t t t r t e t δεε-=-⎧⎨=+⎩ （4分） 由于系统单位冲激响应满足：()0,0h t t =<，故该系统是因果系统。

（2分） （2）由零输入响应知系统有两个特征根：0、-1，故系统函数22(1)(1)1()(1)s s s H s s s s s-+-==++ 则系统方程为：()()()()r t r t e t e t '''''+=- （3分）（3）31()(1)s E s e s-=-3332111()()()(1)(1)()(1)s s zs R s H s E s e E s e s s s--==--=--3()()(1)()(1)(1)(1)()(2)(1)zs r t t t t t t t t t t t εεεεεε=---+--=-+-- 故全响应3()(2)()(2)(1)t r t t e t t t εε-=-++-- （6分）五、（10分）某因果系统如图五所示。

（1）写出该系统的系统函数； （2）试问K 为何值时，系统稳定； （3）在临界稳定条件下，求冲激响应。

图五 解：（1）()()/(1)1()(4222G s Ks Ks KsH s G s s 4s 4s 4s 4s K )s 4==-=-+++++-+ （3分）（2）当40,K 4K -><即时，系统稳定。

（3分）)（3）当K=4时，系统临界稳定，此时系统函数()24sH s s 4=+则系统冲激响应 ()4c o s 2(h t t t ε= （4分）六、（10分）设计一个离散系统，使其输出()y k 是:,1,,1k k k M --+各点输入之平均。

（1）确定描述该系统输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程； （2）求该系统的系统函数)(z H ；（3）当3=M 时，采用加法器，标量乘法器和单位延时器画出系统的结构框图，要求尽可能地少用单位延时器。

解：（1）依题意，输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程为1(){()(1)(1)}y k e k e k e k M M =+-++-+ （3分） （2）由于)]()()([1)(11z E z z E z z E Mz Y M +--+++= 所以 ∑-=-+--=+++==10111]1[1)()()(M n nM zMz z M z E z Y z H （3分）（3）3=M 时 ， 121()[1]3H z z z --=++ （1分）3=M 时系统的结构框图：3分）七、（15分）已知某离散系统的差分方程为(2)5(1)6()(1)y k y k y k e k +-++=+，试求解下列问题：（1）若系统是因果的，求系统的单位函数响应()h k ； （2）若系统是稳定的，求系统的单位函数响应()h k ；（3）求系统在初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==下的零输入响应()zi y k ； （4）若系统函数的收敛域为23z <<，求此时系统在单位阶跃序列()k ε激励下的零状态响应()zs y k 。

解：（1）对系统差分方程取Z 变换，得2(56)()()z z Y z zE z -+= 则系统函数表达式为 2()5632z z zH z z z z z ==--+-- 系统是因果的，则系统函数的收敛域为3z >系统的单位函数响应()(32)()k k h k k ε=- （3分）（2） 若系统稳定，则系统函数的收敛域一定包含单位圆，即为2z < 此时系统为反因果系统，系统的单位函数响应()(23)(1)k k h k k ε=--- （3分）（3）系统有两个不相等的特征根：2、3，则零输入响应 12()(23)()k k zi y k c c k ε=+代入初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==，得1212(0)2(1)231zi ziy c c y c c =+=⎧⎨=+=⎩ 解之得1253c c =⎧⎨=-⎩于是()[5(2)3(3)]()k k zi y k k ε=- （4分） （4）2(),1;(),23156z zE z z H z z z z z =>=<<--+2()()()15613222,23123zs Y z E z H z z zz z z z zz z z z z ==⨯--+=-+<<--- 13()()2(2)()(3)(1)22k k zs y k k k k εεε=---- (5分)。