近世代数第9讲

置换群(pormutation group)

本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：

1、弄清置换与双射的等同关系。

2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。

3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。

4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。

本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。

注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解

决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 一． 置换群的基本概念

定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A

是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。

有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。

含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。通常记为n S .

明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。

现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。

即π: 1a α2a ,2a α3a , 3a α1a ,利用本教材中特定的表示方法有：21a a =π

，32a a =π，13a a =π

.

由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素

的具体内容.故可证{}3 , 2 , 1　

=A .故此. π:1α2,2α3,3α1.稍做修改: π：2

1↓ 32↓ 1

3

↓ ⇒ π=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛132321 .用π=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛132321 来描述A

的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可

记为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛123312 ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321213

…,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换. 二.置换的乘积.

设{}3 , 2 , 1　

=A 的任二个置换 ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=132321

π,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213321 τ,那么由于π和τ都是一一变换,于是

πτ

也是A 的一一变换.且有 πτ:1→1,2→2,3→3.

用本教材的记法为:11=πτ

,22=πτ,33=πτ.

换句话说:⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=321321123321132321

τπ 例1. 计算下列置换的乘积: (1) πτ, (2) 2π, (3) 2πτ. 解: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=321321132321213321 πτ

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=2133213213213213212 π ()ττπτπτ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛==2133213213212133212

注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.

例2. 设{}3 , 2 , 1　

=A ,那么A 的全部一一变换构成的三次对称群为

{}5432103,,,,,ππππππ　

=S .其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213210 π, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2313211 π, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3123212

π ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1323213 π, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133214 π, ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1233215 π 所以b S ==!33.其中0π是恒等变换.即0π是3S 的单位元.

定理1.n 次对称群n S 的阶是!n .

由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.

譬如,不可交换性:

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231321312321213321132321312321231321

三 循环置换及循环置换分解. (1)循环置换(轮换)

前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.

设有8元置换⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=8761253487654321

π,π的变换过程为

153241→→→→→,即其他元素都不改变,若将不发生改变的

文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形

式:()53241

=π 注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的

变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元

置换()53241

=π”