三视图的形成及其投影规律

一、三视图的形成及其投影规律 点、线、面、体等几何元素在三面的投影面（Ｖ、Ｈ、Ｗ）体系中的投影，称为三面投影。将物体向投影面 投射所得的图形，称为视图。物体在三投影面（Ｖ、Ｈ、Ｗ）体系中的投影，称为三视图，即Ｖ面投影（主 视图）、Ｈ面投影（俯视图）、Ｗ面投影（左视图）。 为了便于画图和看图，通常要将物体正放（即与投影面平行或垂直），尽量使物体的表面或对称平面或回转 体轴相对于投影面处于特殊位置（正放），并将ＯＸ、ＯＹ和ＯＺ轴的方向分别设为物体的长度方向、宽度 方向和高度方向。三面投影如图６－１a展开后，三视图也随之展开，其配置位置如图１b所示，由于用多面 正投影图表示物体的形状大小与其离投影面的远近无关，因此，画物体的三视图时，不必画投影轴和投影连 线，。 二、三视图的配置 由投影面的展开规则可知，主视图不动，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，按此规定配置时， 不必标注视图名称。
cm3.
4．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果等腰直角三角形的直角
边长为 1，那么这个几何体的体积为
．
（第 3 题）
（第 4 题）
5.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该 几何体的侧视图的面积为______________.
A. 6+ 3 + 4
C. 18+2 3 +
D. 32+
14．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，
_A
且侧棱 AA1 面A1B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形，
该三棱柱的左视图面积为（ ）.
A. 4 B. 2 3 C. 2 2 D. 3
_A_1
15. 一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为 1 的正方形， 俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）
（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
b
b
a
a 俯视图
a 正视图
a 侧视图
13.如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 （不考虑接触点）
8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图
如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）
A． 9 与13
B． 7 与10
C．10 与16
D．10 与15
主视图
俯视图
9．如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是
主视图 左视图 俯视图
主视图 左视图 俯视图
C
B
3
3
3
（第 8 题）
（第 7 题）
9.一个空间几何体的三视图及有关尺寸如右上图所示，则此几何体的侧面积为
（第 10 题） （第 9 题） 10．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为 2 的正三角形，主视图是矩
形，且 AA1 3 ，设 D 为 AA1 的中点。
(1)作出该几何体的直观图并求其体积；
三视图练习
1.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位 cm），则该三棱柱的表面 积为： 2
正视图
侧视图
俯视图
A．24πcm2
B． (24 8 3) cm2
C．14 3 cm2
D．18 3 cm2
2．如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长 为 1，那么这个几何体的体积为
(2)求证：平面 BB1C1C 平面 BDC1 ； (3) BC 边上是否存在点 P ，使 AP // 平面 BDC1 ？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。
2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么 该几何体的体积为
A
俯视图 B 主视图 C 左视图
1.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是直径为 2 的圆,则该几何体的表面积
为____ ___.
2．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为
．
主视图
左视图
3 4
主视图
2 左视图
（第 2 题）
俯视图
俯视图
第1
题题
3．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
三、三视图的投影规律 三视图的投影规律与三面投影的规律相同。 （一）三视图反映物体大小的投影规律 物体有长、宽、高三个方向的大小，从１c可以看到，每个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反映物 体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体的高度和宽度。三视图所反映物体的长、 宽、高三个大小与其投影的关系，可以概括为：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。 或者说，长对正、高平齐、宽相等。应当指出，在画和看物体的三视图时，无论是物体的整体或局部，都应 遵守这个规律。 （二）三视图反映物体方位的投影规律 物体有上、下、左、右、前、后六个方位，左右为长、上下为高，或者说，长分左右、宽分前后、高分上下。 从图１c、d可以看出，每个视图只能反映物体的空间四个方位；主视图反映物体的上、下和左、右方位；俯 视图反映物体的左、右和前、后方位；左视图反映物体的上、下和前、后方位。且俯、左视图的外侧和内侧 （对主视图而言的外、内）分别为物体的前、后方位。 （三）三视图反映物体形状的投影规律 一般情况下，物体有六面（上、下，左、右，前、后）外形和三个方向（主视――含长和高，俯视――含宽 和长，左视――含高和宽）上的内形，每个视图只能反映物体的两面外形（迎、背）和一个方向上的内形， 主视图反映物体的前、后外形和主视方向的内形；俯视图反映物体的上、下外形和俯视图方向上的内形；左 视图反映物体的左、右外形和左视方向上的内形。 由于上面三视图的投影规律可知：物体的三个大小和六个方位有两个视图就能确定，而物体的形状，一般需 要三个视图才能确定。 物体的内形和背面的外形都是不可见的，在三视图上，它们的轮廓线应以虚线表示。
1
A．1
B． 2
1 C． 6
1 D． 3
正视图 侧视图 俯视图
3. 正方体的直观图如右下图所示，则其展开图是 D
AA
BB
CC
4． 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长 为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )．
42
43
3
8
A． 3
B. 3
C. 6
D. 3
5．一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm），
6．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ______________’学科网 2 4 4
4
4
第 6 题图
7 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
。
8．已知一个正三棱锥 P-ABC 的主视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于___________。
P 3
6 4
A
3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是
___________cm3．
主视图
左视图
2
2
2
俯视图
（第 4 题）
4 （第 3 图）
4（山东卷 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
5 四棱锥 P ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A，其三视图如右图，则四棱锥 P ABCD 的表面
A. 8
C.12
B. 8 2 3
D.12 2 3
1 2 2 主视图
主视图
左视图
俯视图
3
侧视图
2 俯视图
19.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，则这个几何体的侧面积为 （）
A． 3 π 3
B． 2π C． 3π D． 4π
正（主）视图
左（侧）视图
俯视图
为
.
2 主视图
2 左视图
（10 题）
俯视图
17．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4 一个内角为 600 的 菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为__ ______．
2 正视图
侧视图
2
俯视图
18．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），
根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积
是(
) cm3 ．
主视图 左视图 俯视图
2
(甲)
(乙)
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A．④③②
B．②①③
C．①②③
(丙)2
D．③②④ 2
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
(A)
8
+
4 3
(B)
4
+
4 3
(C) 8 + 4
(D)
10 3
主视图 2
2 左视图
2
俯视图
11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图
积为__
.
主视图
左视图
（第 6 题） 俯视图
（第 7 题
7 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为 2，下底为 4，腰为 5 的等腰梯形，俯视
图为一圆环，则该几何体的体积为
．
8.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为