2019年华南理工大学微积分下21.doc
华南理工大学广州学院 微积分 第二章 1-3节
由函数的极限定义直接求极限是不行的。 对于这一类型的极限怎样求？
为求此极限，我们引入 下面定义、定理：
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微 积 分 教 案
定义 设函数 y f (x) 在点 x0 右侧的某个空心邻域内 有定义，如果当 x > x0 且 x x0时，函数 f (x) 趋 于一个常数 A，则称当 x x0 时，f (x)的右极限是 A，记作
华 南 理 工 大 学 广 州 学 院
lim f ( x ) A 或 f ( x ) A( x x0 )
x x0
称当 x x0 时，f (x) 的极限存在， 否则称当x x0时， f (x) 的极限不存在。
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例 求(1)
微 积 分 教 案
华 南 理 工 大 学 广 州 学 院
(2)
(3)
lim x 2
x3
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微 积 分 教 案
例 设
x2 1 , f ( x) x 1 3,
x1 x 1
求
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lim f ( x )
x 1
1, 例设 f ( x ) 2,
A、0 B、1
x 1 f ( x ) =（ B） 则 lim x 1 x 1
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微 积 分 教 案
二、数列的定义
按一定规则排列的无穷多个数
x1 , x2 , x3 ,, xn ,
称作数列，简记作 {xn} ，其中 x1 叫做数列的第一 项， x2叫做数列的第二项，∙∙∙， xn叫做数列的第n 项，又称通项或一般项。 例如 数列 2,4,8, ,2 ,;
高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (25).
如果当各小段长度的最大值 0时 ,
n
P(i ,i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数
i 1
P( x, y)在有向曲线弧 L上 对坐标x的曲线积分,
或称 第二型曲线积分.记作 P( x, y)dx,即 L
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i
,i
)xi
n
类似地定义 Q( x, y)dy L
1 23
化成参数式方程为 x 1 t, y 1 2t,z 1 3t A点对应 t 0, B点对应 t 1,于是
xdx ydy ( x y 1)dz
01(1 t)dt (1 2t)2dt (1 3t )3dt
1
0 (6 14t)dt 13
17
例3 计算 x2dx ( y x)dy, 其中 L
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i
,i ,
i
)xi
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)yi
n
R( x,
y, z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i , i )zi
8
6. 性质
y L L2
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L1 O
x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
(1) L是上半圆周 y a2 x2 , 反时针方向;
(2) L是x轴上由点 A(a,0) 到点B(a,0) 的线段.
解 (1)中L的参数方程为
华南理工大学版微积分下课件19
第六节 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβαcos cos cos这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上 点()z y x ,,出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dv x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Qdzdx dv y Q ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R（如图1） 例1：计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2222，其中∑为椭球面12222=++z y x 的内侧。
解：利用高斯公式⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy2222=()⎰⎰⎰∑++-dxdydz x z y 2222()()⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-=++-=123222222121212222222222221342122y x y x y x y x dxdy y x y x y x dzz y xdxdy()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=123223201232212dr r r r r d πθ ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2423sin cos sin 32cos sin 22ππdt t t t t tr ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2053sin 322sin 32sin 322ππdt t t t πππ5225332232543223232322-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 例2:计算曲面积分⎰⎰∑++xdzdx ydydz dxdy e z ，其中积分曲面∑为)20(22≤≤+=z y x z ，并取下侧。
2019年--2《微积分(下)》.doc
系 别 经贸与管理工程系 专 业 年 级 2011级任课教师姓名 教研组负责人签名华南理工大学广州学院基础部数学组关于11级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知通知要点★考试的重点内容与要求 ★考试的形式与试卷结构 ★题型示例与答案统考考试时间定于2012年6月29日上午。
一、考试的重点内容与要求考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、 定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0baf x d x =⎰；当a b >时，()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰）。
理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。
掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。
掌握牛顿—莱布尼茨公式。
掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。
会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。
会求无限区间上的广义积分。
2、 无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。
熟悉几何级数（即等比级数）0nn aq ∞=∑（0,a q ≠叫公比）、调和级数11n n ∞=∑与p -级数11(0)p n p n∞=>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。
了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。
了解幂级数nn n a x∞=∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用函数11x-、xe 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。
注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。
还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)
1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。
(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。
2） 由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。
2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。
解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。
解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。
解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。
解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(3)
1、解微分方程：lny xy y x '= 解：ln y y y x x '=，令y u y xu x=⇒=，原方程可化为 ()ln ln 1du du u x u u x u u dx dx+=⇒=- 变量分离两边积分得()()11ln ln 1ln ln 1du dx u x C u u x =⇒-=+-⎰⎰1ln 1ln 1Cx y u Cx Cx y xe x+-=⇒=+⇒= 2、求解初值问题(()()00,10y dx xdy x y -=>=。
解：dy y dx x ==，令y u y xu x =⇒=，原方程可化为du du u xu x dx dx +==变量分离两边积分得(1ln ln dx u x C x =⇒=+⎰⎰ln ln y x C x ⎛ +=+ ⎝ 由()10y =可得0C =，所求函数为y x x =。
3、做适当的变量代换，求下列方程的通解。
1）()2dy x y dx=+ 解：令u x y =+，则有1u y ''=+，原方程可化为21u u '-=关于u 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得()21arctan arctan 1du dx u x C x y x C u =⇒=+⇒+=++⎰⎰()tan y x C x =+-2）求微分方程15dy y x dx x y -+=++ 解：解方程组： 1050y x x y -+=⎧⎨++=⎩得23x y =-⎧⎨=-⎩作变换： 23X x Y y =+⎧⎨=+⎩，则有 1,,5y x Y X dx dX dy dY x y X Y-+-===+++ 原方程化为：dY Y X dX X Y-=+ 令XY u =，则有 11du u X u dX u -+=+ 变量分离： 2111u du dX u X+=-- 两边积分： 2111u du dX u X +=--⎰⎰ 解得： ()21arctan ln 1ln 2u u X C --+=+ 原方程的通解为： ()()()()2222331arctan ln ln 2222x y y x C x x ++++--=++++ 3）()221x y y '+=解：令2u x y =+，则有12u y ''=+，原方程可化为： 222111222u u u u u+''-=⇒= 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得2222122u du dx du x C u u ⎛⎫=⇒-=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰u x C =+2x y x C +=+4、求曲线()y y x =，使它正交于圆心在x 轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指交点处两曲线切线相互垂直）。
2019年华南理工大学高数下答案.doc
对弧长的曲线积分22，其中曲线C 是y2ax x 2在 0x2a 的一段弧a0、计算x y ds。
1C解： C 的参数方程为x2a cos2y2a cos sin202 2a cos222 4a2 cos4a2原式2a sin 22a cos2d442、计算x 3y3ds ，其中 L 星形线x a cos3 t, y a sin3 t 在第一象限的弧L0t。
24cos4 t sin4 t 7sin6 t cos6 t27解：原式 2 a33a cost sin tdt3a 3a3 063、计算xyzds，其中为折线 ABC ，这里 A , B , C 依次为点0,0,0 , 1,2,3 , 1,4,3 。
x t x1解： AB 段参数方程y2t0t 1， BC 段参数方程y22t0t 1z3t z3xyzds xyzds 1614t 3dt112t dt原式012AB BC311314t 412t6t214182024、计算x2y2 ds ，其中为螺旋线x t cost , y t sin t , z t 上相应于t从 0 到1的弧。
解：方法一1221原式t2sin t t cost t 2 2 t 2 dtcost t sin t1dt001122121 t 2 t 2 t dt t 2 t 2 t2 2020121t222 t 2 dt2 t2t 233 1 2 2 t 2dt1 2 t 2dt2t3 3113 31 11原式2 t2 dt2ln t2 t2 4242 t 2 t231ln 1 2 32 2方法二、原式1 2 cost 2sin t t cost21 2 2 t 2dttt sin t 1dtt11t2 2 t 211 122t dtu 2 u du2 021u 211 120 2duu1112u1 1du11u 12u 112121 21u 11du21 01du2u 111 121213 u 1du ln u 1u 1 112 02 03 1 1u 21du1ln 2312 02原式 31232ln4方法三、1221原式t2sin t1dtt 2 2 t 2dtcost t sin tt cost因为t 32 t 23 t 2 2 t 2 t4 4 2t 2 2t 2t 2 2 t 2 1 t 244 2 t 22 2 t 2 t 2 t 2t 2 t 22 t 22t 2 t 22 t 2222ln t2 t 2t1 t2 1 2 t1 t 22t 22所以t 3 2 t 21 21ln t2 t 2t2 2 t24t 2 t24t 31t 2 t 21ln t13 1ln 11ln 2原式2 t 22 t 2344 22 225、计算x2y 2 ds ，其中 L : x 2 y 2 ax aL解： x 2y 2 axra cos ，曲线 L 的参数方程为x a cos 2 cos 22y a sin原式2a cosa 2 sin 2 2a 2 cos 2 2 d2a 2 2 cos d2a 226ey 2ds ,xy a，直线y x , y 0在第一象限内所围成的、计算x 2其中 L 为圆周2 2 2L扇形的边界。
高等数学微积分下华南理工大学
应用问题建立微分方程的方法: 方法大体有两种
第一种方法
直接利用物理定律或几何条件列出方程, 常见的物理定律有力学、热学、光学、电学 的定律;
第二种方法
取小元素分析, 然后利用物理定律列出 方程(类似于定积分应用中的元素法).
6
例 衰变问题. 衰变速度与未衰变原子含量M成
正比,已知M t0 M0,求衰变过程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件得 dt
dM M ( 0衰变系数)
dt
dM dt
M
负号是由于当 t 增加时M单调减少
dM M 代入M
dt, ln M t lnC, 即 t0 M0 , 得 M0 Ce0 C
M
Cet 通解
,
特解 M M0et 衰变规律
7
例 求游船上的传染病人数.
得 dy ky(800 y), 其中k > 0为比例常数.
dt
分离变量
dy kdt,
y(800 y)
11
dy kdt, y(800 y)
初始条件 y(0) 1, y(12) 3
即
1 1 1 dy kdt,
800 y 800 y
两边积分,得 1 [ln 800
y
ln(800
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量，dy 2xdx, y
两端积分，
dy y
2
xdx,
ln y x2 lnC
y Ce x2为所求通解.
4
例2
求解初值问题
dx
yx
xydy 0 2
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一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）
基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分） 基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算
基本计算方法： 1）在直角坐标下的计算方法：
x 型区域、 y 型区域；
2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个 r 。
其他知识点：改变积分的次序
二重积分的应用：曲面 : z
f x , y 的面积为
1 f x 2
f y 2 dxdy ，其中 D
D
为 在 xoy 面上的投影区域。
例 1：
2
y
2
R 2
, y 0 R 0
y x d , D : y R x , x
2
D
解：原式
0 R x
2
2 d
R
3
sin
cos 2
dx 0 y
x dy
r
dr
R
0 0
R 3
x 3
R
dx
2 1
sin2 d
r 3dr
R 3
3
R 4
R 4
1
R 4
4
4
2
8
例 2：交换下列二次积分的次序
1
x 2
3 1 3 x f x , y dy
1 3
2 y f x , y dx 。
dx
f x , y dy
dx
2
dy y
1
二、三重积分（引例：求空间立体的质量）
基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算
基本计算方法： 1）投影法； 2）切片法； 3）柱面坐标下计算法； 4）球面坐标下计算法
2
2
例 3：计算三重积分 zdv ，式中 为由
z
x
y
所确定的圆台体。
1 z 2
解：方法一、用截面法：
2
z 4
2
zdv z3dz
14
1方法二、用球面坐标：15 4
02, 0,12
4cos cos
2
24sin sin
d 4 d cos3sin cos d24d
zdv1
33
000
cos cos4cos
22142412115
cos28cos20484
三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）
基本计算思路：把曲线积分化为定积分
基本计算的两个步骤： 1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算
注意选取适当的参数以简化定积分的计算。
例 4：计算x2 ds，其中为球面x2y2z2a2与平面x y z0 的交线。
x a
cos
a
sin 26
解： : y
2a
sin02 3
z
a a
cos sin
26
2
原式
0a
cos
a
sin
2
ad 26
3
23
2
3
2
3
a cos2 d a sin2 d a sin2 d 2 a
3
2060203
四、关于坐标的曲线积分（引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）
基本计算思路：把曲线积分化为定积分
基本计算的两个步骤： 1）化积分曲线为参数方程并确定参数取
值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是
定积分上限； 2）定积分的计算
注意选取适当的参数以简化定积分的计算。
例 5：计算曲线积分
12xy
e y dx
cos y xe y dy ，其中 L 为由点
L
A
1 ,1 沿抛物线 y x
2 到点 O
0 , 0 ，再沿 x 轴到点 B 2 , 0 的弧
段。
解：原式
3 e
x 2
2
2 x 2
2
12x
2xcos x
2x e dx 1dx
1
3x 4
sin x 2
x 2
0 2 3 sin1
e 2 e sin1 1
xe 1
其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件） 、势函数、
两类曲线积分的联系
例 6：求 a , b ，使得曲线积分
axy 2 y 3 dx
6x 2 y bxy 2 dy 在整个 xoy 面
L
上与积分路径无关，并计算
3 , 4
y 3 dx 6x 2 y bxy
2
dy 。
1 , axy 2
2
解： P
axy 2 y 3 , Q 6x 2 y bxy 2
P 2axy 3y 2 ,
Q 12xy by 2
y
x
所以 a
6 , b 3
3 , 4
y
3
dx
6x 2 y bxy
2
dy 3 24 x
4 54 y 9 y 2
dy
axy
2
1
8 dx
1 , 2
2
12x
2
3
27 y
2
3y 3
4
236
8x
2
1
五、关于面积的曲面积分（引例：曲面状物体的质量）
基本计算思路：把曲面积分化为二重积分
基本计算的两个步骤： 1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了 xoy
面，确定曲面在 xoy 面上的投影区域为D xy，曲面的方程化为
z f x,y ，
F x , y , z dS F x , y , f x , y dxdy
D
xy
2）二重积分的计算
例 7：x 2y 2dS，其中为立体 x2y 2z 1 的边界曲面。
解：原式x2y 2dS x 2y2dS
12
其中1 : z 1 ,2 : z x2y2，在 xoy面上的投影都为
1
2圆盘 x2y 21
213
dr213 dr12
上式d r 2 d r
00002
六、关于坐标的曲面积分（引例：不可压缩流体流过某曲面单位时
间的流量）
基本计算思路：把曲面积分化为二重积分
基本计算的两个步骤：1）把曲面向指定坐标面投影，无妨设指定
了 xoy 面，确定曲面在xoy面上的投影区域为D xy，曲面的方程化为z f x , y ，注意曲面指定的侧
P x , y , z dxdy P x , y , f x , y dxdy
D
x y
2）二重积分的计算
例 8：计算曲面积分I z2x dydz zdxdy，其中为旋抛物面z1x2y2下
2侧介于平面z 0 及 z 2 之间部分。
解：原式z22z y2dydz
D
y z
z 2
2z y 2 dydz
1 x 2
y 2 dxdy
D
yz
D
xy
2
2 2
z
2
2z y 2
dz 2 2 2
2z y 2
dz
2 2
1
3 dr
dy y 2
dy y 2
z
d
2r
2
2 2
2
2
2
2 1
3 2
2
2
dy
2z y dz 4
2z y dy
4
2
y 2
2
3
2
2
2
2
y 2
2
2
1
2 3
1 4 64 3 1
y
dy
4
4
2 16cos tdt 4
4
2
4
2 3 3
4 2
2
2
3
8
这里用换元法计算定积分，（令 y 2sin t ）及 2 cos n dtt 的计算公式。
其他知识点：两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式；了解
散度、通量、环流量、旋度的概念。
例 9：
xdydz ydzdx zdxdy ，其中
是曲线
z y 2
1 绕 z 轴旋转所得旋转
x
0 z
面的上侧。
解：此曲面方程为
z
x 2 y 2 z 1 ，化为第一型曲面积分计算
z x 2x , z y
2 y
取定侧对应法向量 n 2x , 2 y , 1
n
2x
,
2y
,
1
n
4x 2
4x 2 4 y 2 1 4x 2 4 y 2 1
4 y 2 1
原式
2x 2
2y 2
z
dS
x 2 y 2 dxdy
4x 2 4 y 2 1 x 2
y 2
1
2 1 r
3
dr
d
2。