哈工大线性代数习题课

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8讲2.8.3分块阵的初等变换求秩,习题课(哈工大线性代数课件王宝玲版)

⇒ Ai B = C i , i = 1,L, m
2
2.8 分块矩阵的初等变换
本节内容提要
分块矩阵的初等变换分块初等阵利用分块矩阵的初等变换求秩利用分块矩阵的初等变换求秩
3
2.8.1 分块矩阵的初等变换
对分块矩阵也可以引进初等变换和初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的一次初等变换,可以看作是关于元素元素的一次初等变换,可以看作是关于元素的一批初等变换的合成我们只以分成4 的合成. 一批初等变换的合成.我们只以分成4块的情况简单解释. 的情况简单解释. 设
−1
−1
=| A || B − DA C |
13
例4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中证 A 为m×n阶矩阵, B为n×m阶阵. 阶矩阵, 为阶 Em A 行 Em − AB 0 → B En B En
Em A ⇒ =| E m − AB | B En Em A A Em 行 → B En 0 E − BA n
Er1 0 0 = P2 BQ2 0 0
0 0 0 0 0 Er2 0 0
0 0 0 0
= r ( A) + r ( B)
21
A C ≥ r ( A) + r (B ) 6. r 0 B . 证设 r ( A) = r1 , r ( B ) = r2
24
8. r(A+B)≤r(A)+r(B) ( ) ( ) ( ) A 0 = r A A+ B ≥ r ( A+ B) 证 r ( A) +r ( B) = r 0 B 0 B 1 0 + r 1 0 = 3 > r 2 0 = r(A+ B) = 2 例2 r 0 1 0 1 0 0 9. r ( A B ) ≤ min {r ( A ) , r ( B )} 证 r(A)=r(A 0)= r(A AB)≥r(AB) ( ) ( ) ( ) ( )

线性代数习题 1解析【哈工大版】

·1·习题一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1）因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。

线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

2021/4/22
3
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
2021/4/22
4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
2021/4/22
16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2021/4/22
5
2、数乘矩阵的运算规律（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
2021/4/22
1 3 1 1 2 3 10
2021/4/22
23
2、方阵的行列式
定义由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;

线性代数习题3解析【哈工大版】

(1) a b 是否与 c 平行； (2) 求 a b, a c, a, c ； (3) 求 a b, [abc] ； (4) 设 x 3a 4b c, y 2b c ，求 x, y . 解：(1) a b (1, 2,3) (2,1,0) (3, 1,3)
·40·
1 4 x 1 或 x , y 1或 y ， 3 3 1 4 1 即c i k 或c i j k . 3 3 3 14．已知 (a b) c 2 ，求 [(a b) (b c)] (c a) .
又x y z 2
2 2
5 3 . 2
(a b) (a b) (a b) (a b) 0 ，
| a |2 2a b | b |2 | a |2 2a b | b |2 0 .
得 4a b 0 , 所以 a b 0. 6．试证： a b b c c a 0 的必要条件是 a, b, c 共面. 证：由等式 a b b c c a 0 两边与 c 作内积得
2 2 2
得
解： [ ( a b ) ( b c ) ] c ( a ) a [ b a c b c ] ( c a )
a b c a c c b c c a b a a c a b c a
. a b c b c a2 2 4 15．用数量积证明三角形的余弦定理. 证：考察三角形（如图所示）记 a BC, b CA, c AB ，则
习
题
三
A
1．设 A 、 B 、 C 是任意三点，求 AB BC CA 解：由三角形法则
A B B C CA

线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题3

解得 .
故垂线方程为： ,或
过此直线的平面束方程为： .
因为所求平面的法向量垂直于，故，所以平面的方程为：
.
38．求直线及与它们的公垂线的交点的坐标，并给出公垂线的方程.
解：的方向向量
的方向向量
因与的交点在上，可记为
因与的交点在上，可记为
由，得
解得，故与公垂线交于与公垂线交于公垂线的方程为：
5．已知，试证
证：由得
，
.
得 ,所以
6．试证：的必要条件是共面.
证：由等式两边与作内积得
，得 .
所以，共面.
7．设是三个向量，是两个数，试证：
(1) 与垂直；
(2) 与垂直.
证：(1)
所以，与垂直.
(2)
所以，与垂直.
8．已知为单位向量，且满足，计算 .
解： ,
,
.
取和得 .
9．已知
(1) 是否与平行；
(2)求；
(3)求；
(4)设，求 .
解：(1)
,
所以与平行.
(2) .
.
.
(3) ,
(4) ,
,
.
10．已知空间三点，
(1)求以为邻边的平行四边形的面积；
(2)求以、、、为顶点的四面体的体积.
解：(1)
(2) .
11．已知，试利用行列式的性质证明：
证：考察三角形（如图所示）
记，则
于是,
.
16．用向量积证明三角形的正弦定理.
证：考察三角形（如图所示）
记，则该三角形的面积为
于是, .

线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题(3)

a (n 1)b 1 b a b
1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
2021/4/22
13
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
2021/4/22
15
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
2021/4/22
8
性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
推论行列式的某一行（列）中各元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
2021/4/22
6
性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain

线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2

逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答：是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明若A可逆，即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之，当|A|≠0时，因
例1 下列矩阵A、B是否可逆？若可逆，求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解因|A|＝１≠０，故A可逆。
又因为A11=3，A12=-5，A21=-1，A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.

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m

k1 km
1

k2 km
2
L

km1 km
m 1

1 km
b
即m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
8
4. 证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性表示.
证明：必要性. 向量组1,2,…,s 线性相关, 则有不全为0的
数 k1, k2, …, ks, 使
k11 k22 L kss 0
(1)
在k1, k2, …, ks中找最后一个不为0的数ki . 即
ki ≠0，而ki+1=…=ks=0，
显然i >1. 否则此时(1)化为 k11=0, 且k1 ≠0，故
所以 3 22 1
6
2. 设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论
解：(1) 因为向量组2,3,4 线性无关，所以2,3线性无关，又
第一，A可以由B线性表示。（已经满足）
第二，B是线性无关的向量组。
由于B是A的部分组，所以B可以由A线性表示,同时A可由B线性表示，故向量组A与B是等价的，因此其秩相同.
向量组B的秩为r，且有r个向量，所以B线性无关. 所以，B是A的一个极大线性无关组.
12
本次作业
第三章习题
• 1. • 2. • 3. • 5. • 6.
2

＝B.
R(A) = R(B)
0 0 t 5
5
(1)当R(A)=3时，向量组线性无关，此时t≠ 5. (2)当R(A)<3时，向量组线性相关, 此时t = 5.
(3)当t=5时，
1 0 1
A

B

0 0
1 0
2 0

A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系
向量1,2,3 线性相关，所以1能用2,3 线性表示.
(2) 4 不能由1,2,3 线性表示. 否则，设
4 k11 k22 k33
由(1)知1能用2,3 线性表示. 设 1 l22 l33
则有 4 k1(l22 l33 ) k22 k33 即： 4 (k1l2 k2 )2 (k1l3 k3 )3
5. 设t1,t2,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i
1,2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
【课本习题11，有所不同需要讨论】
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论 3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
2
4.证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性表示.
t2 L
A
1,2 ,L ,s

t12
t22 L
M M L

t n1
1
t n1 2
L
A的前s行构成的s阶子式为
1
ts

t s2

M
t
n1 s

1 1L
t1 t2 L
L LL
t s1
1
t s1 2
L
1
ts

(t j
1i js
ti )
≠
0.(因t1,t2,…,ts互不相同)
则4 可由2,3线性表出，于是2,3,4 线性相关，
这与题设矛盾. 所以，4 不能由1,2,3 线性表示. 7
3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
13
证明：向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示,设
b k11 k22 L km1 m1 kmm (1)
若km=0, 则(1)式化为
b k11 k22 L km1 m1
这表示向量b可由向量组1,2,…,m-1线性表示
这与给定条件矛盾. 则(1)式必有km≠0, 故
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无关组.
3
答案
4
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关？（2）t 为何值时，1,2,3 线性相关？（3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
线性相关。
10
5. 设t1 , t2 ,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i

1, 2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
解：向量i 的维数是n，故当s > n时，向量组线性相关.
当s≤ n时，令
1 1 L

t1
L 故其列向量组线性无关，从而其
t s1 s
加长向量组1,2,…,s线性无1关1 .
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无关组.
证明：要证明B是A的极大无关组，有两个条件，
第三章习题1
1
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关？（2）t 为何值时，1,2,3 线性相关？（3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
2.设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
解：令矩阵A＝(1,2,3), 对A进行一系列的初等行变
换，将它化成行阶梯型矩阵
1 1
A

1
,
2
,
3

1
2
1 3
r1r2 1 0 -1
1
3 t

r3r2 1
r2r1 0
0
1 1 1
1
t
2
3
r3r2 0 1
只能1＝0. 这与1≠0矛盾.
因此(1)化为
i

k1 ki
1

k2 ki
2
L

ki 1 ki

i
1Байду номын сангаас
即至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性
表示.
9
充分性，如果有一个 i (1 i s) 可以由向量组
1,2 ,L ,i-1 线性表示，则αi可由其余s-1个向量线性表出，由定义，向量组 1,2 ,L ,s