哈工大线性代数习题课
最新9讲习题二(哈工大线性代数课件王宝玲版)课件PPT

j1
ji
11
例8 设A是n阶方阵,则r(A)1
两个n1的矩阵U,V 使 AUVT.
证
AUVT
r(A)r(UVT)m in(r(U ),r(V ))1.
(1)r(A)0A 0
令 U = V = (0 ,0 , ,0 )T ,
AUVT.
(2)r(A)1,
则
初 1 A
0 ,
0 0
12
可逆阵P,Q 使 1 PAQ 0
15
预习第三章3.1-3.2
若A为mn矩阵r(A)= m<n, B是 n阶矩阵,以下哪些结论成立? (A) A的任意一个m阶子式 0; (B) A的任意m列线性无关; (C) ATA0; (D) A的m行线性无关; (E) 若AB=0,则B=0; (F) 若r(B)=n,则r(AB)= m.
BA1Bb.
5
例5 设A为mn 矩阵,若对任意n1矩阵B
都有AB = 0, 试证A= 0.
a11 a12
证1
设
A
a21
a22
a1n
a2n
,
Bn1,AB0
am1
am 2
amn
1
取
B
1
0
,
a 11
AB1
a 21
0 m 1
0 0
0
a
m
1
0
有 a 1 1 a 2 1 a m 1 0
• 2、囚 徒困境
疑犯 2
不 坦白
坦白
•
画线法求 解
疑不坦白 1年 犯
1年
15年
0年
1 坦白 0年 15年 5年 5年
1、静态博弈与动 态博弈
8讲2.8.3分块阵的初等变换求秩,习题课(哈工大线性代数课件王宝玲版)

⇒ Ai B = C i , i = 1,L, m
2
2.8 分块矩阵的初等变换
本节内容提要
分块矩阵的初等变换 分块初等阵 利用分块矩阵的初等变换求秩 利用分块矩阵的初等变换求秩
3
2.8.1 分块矩阵的初等变换
对分块矩阵也可以引进初等变换和 初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的 初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的 一次初等变换,可以看作是关于元素 元素的 一次初等变换,可以看作是关于元素的 一批初等变换的合成 我们只以分成4 的合成. 一批初等变换的合成.我们只以分成4块 的情况简单解释. 的情况简单解释. 设
−1
−1
=| A || B − DA C |
13
例4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中 证 A 为m×n阶矩阵, B为n×m阶阵. 阶矩阵, 为 阶 Em A 行 Em − AB 0 → B En B En
Em A ⇒ =| E m − AB | B En Em A A Em 行 → B En 0 E − BA n
Er1 0 0 = P2 BQ2 0 0
0 0 0 0 0 Er2 0 0
0 0 0 0
= r ( A) + r ( B)
21
A C ≥ r ( A) + r (B ) 6. r 0 B . 证 设 r ( A) = r1 , r ( B ) = r2
24
8. r(A+B)≤r(A)+r(B) ( ) ( ) ( ) A 0 = r A A+ B ≥ r ( A+ B) 证 r ( A) +r ( B) = r 0 B 0 B 1 0 + r 1 0 = 3 > r 2 0 = r(A+ B) = 2 例2 r 0 1 0 1 0 0 9. r ( A B ) ≤ min {r ( A ) , r ( B )} 证 r(A)=r(A 0)= r(A AB)≥r(AB) ( ) ( ) ( ) ( )
线性代数习题 1解析【哈工大版】

·1·习 题 一1.按自然数从小到大的自然次序,求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解:(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解:(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ,使由1至9的排列,9127456i j 成偶排列. 解:由9127456i j 是从1至9的排列,所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时,(912748563)01112133618t =++++++++=,是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=,是奇排列,不合题意舍去.(4) 选择i 与j ,使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解:由7125489i j 是从1至9的排列,所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时,(713256489)0112113009t =++++++++=,是奇排列. 当6,3i j ==时,(716253489)01122330012t =++++++++=,是偶排列,不合题意舍去.2.计算下列行列式 (1)9182613a b b a ; (2) 32153320537528475184;(3) 108215123203212; (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解:(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3.已知3021111xy z=,利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++; (2) 111302413x y z +++. 解:(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4.用行列式定义计算:(1)12345; (2) 010000200001000n n - .解:(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5.用行列式的定义证明:(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =; (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证:(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠,由已知345,,p p p 必等于4或5,从而345,,p p p 中至少有两个相等,这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾,故所有项12345123450P P P P P a a a a a =,因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑,由已知,只有当12,p p 取1或2时,123412340p p p p a a a a ≠,而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列,故34,p p 取3或4,于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6.计算(1)305002123000a b c d; (2) 121102*********110----; (3) n x a a a x aD a a x=; (4) 123110010101001n n D -=--; (5) 001000000100n a a D a a = ; (6) 1111111111111111n D -=--.解:(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7.证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证:222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证:等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证:等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8.解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解:121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解:00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠,所以12,x a x b ==.9.设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =,求下列行列式:(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ; (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a;(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑,其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和,2n ≥.解:(1)经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似,经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换,得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10.计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ; (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------;(3) 6111116111116111116111116; (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解:(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行,再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11.计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--; (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解:(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12.计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++;(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---; (4)2311111231491827xx x 解:(1)依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13.证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证:等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证:11n =时,1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立,当1n k =+时,若12k +=,22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥,将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法,对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证:(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ,其中x y ≠.证:当1n =时,221x y D x y x y-=+=-,等式成立.假设n k ≤时等式成立,当1n k =+时,若12k +=,则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-,等式成立. 若13k +≥,将1k D +按一列展开,得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理,等式对一切自然数n 都成立.14.设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式,证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证:设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ,依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩(1) 因12,,,n a a a 互不相同,故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏,所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解,所以0110,()0n k k k f x -===== . 15.用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解:5425241065D ==-=≠,方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-,25111006634620D ==-=,由克莱姆法则,1125D x D ==-,2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解:56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠,方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=,251016106505005D ==-=-, 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得,111965D x D ==,22113D x D ==-,3165x =.。
线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

2021/4/22
3
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
2021/4/22
4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
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16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律,即:
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
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5
2、数乘矩阵的运算规律 (设 A、B为 m n 矩阵, ,为数)
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
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1 3 1 1 2 3 10
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23
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 A 的行列式,记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
线性代数习题3解析【哈工大版】

·40·
1 4 x 1 或 x , y 1或 y , 3 3 1 4 1 即c i k 或c i j k . 3 3 3 14.已知 (a b) c 2 ,求 [(a b) (b c)] (c a) .
又x y z 2
2 2
5 3 . 2
(a b) (a b) (a b) (a b) 0 ,
| a |2 2a b | b |2 | a |2 2a b | b |2 0 .
得 4a b 0 , 所以 a b 0. 6.试证: a b b c c a 0 的必要条件是 a, b, c 共面. 证:由等式 a b b c c a 0 两边与 c 作内积得
2 2 2
得
解: [ ( a b ) ( b c ) ] c ( a ) a [ b a c b c ] ( c a )
a b c a c c b c c a b a a c a b c a
. a b c b c a2 2 4 15.用数量积证明三角形的余弦定理. 证:考察三角形(如图所示) 记 a BC, b CA, c AB ,则
习
题
三
A
1.设 A 、 B 、 C 是任意三点,求 AB BC CA 解:由三角形法则
A B B C CA
线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题3

故垂线方程为: ,或
过此直线的平面束方程为: .
因为所求平面的法向量垂直于 ,故 ,所以平面 的方程为:
.
38.求直线 及 与它们的公垂线的交点的坐标,并给出公垂线的方程.
解: 的方向向量
的方向向量
因 与 的交点在 上,可记为
因 与 的交点在 上,可记为
由 ,得
解得 ,故 与公垂线交于 与公垂线交于 公垂线 的方程为:
5.已知 ,试证
证:由 得
,
.
得 ,所以
6.试证: 的必要条件是 共面.
证:由等式 两边与 作内积得
,得 .
所以, 共面.
7.设 是三个向量, 是两个数,试证:
(1) 与 垂直;
(2) 与 垂直.
证:(1)
所以, 与 垂直.
(2)
所以, 与 垂直.
8.已知 为单位向量,且满足 ,计算 .
解: ,
,
.
取和得 .
9.已知
(1) 是否与 平行;
(2)求 ;
(3)求 ;
(4)设 ,求 .
解:(1)
,
所以 与 平行.
(2) .
.
.
(3) ,
(4) ,
,
.
10.已知空间三点 ,
(1)求以 为邻边的平行四边形的面积;
(2)求以 、 、 、 为顶点的四面体的体积.
解:(1)
(2) .
11.已知 ,试利用行列式的性质证明:
证:考察三角形(如图所示)
记 ,则
于是,
.
16.用向量积证明三角形的正弦定理.
证:考察三角形(如图所示)
记 ,则该三角形的面积为
于是, .
线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题(3)

1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
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13
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
2021/4/22
15
对 D 的前 k 行作运算 ri krj,再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
则D等于下列两个行列式之和:
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
2021/4/22
8
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行 列式不变.
推论 行列式的某一行(列)中各元素的公因子 可以提到行列式符号的外面.
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6
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比 例,则此行列式为零.
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2

逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答:是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ,且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若A可逆, 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之,当|A|≠0时,因
例1 下列矩阵A、B是否可逆?若可逆,求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解 因|A|=1≠0, 故A可逆。
又因为A11=3,A12=-5,A21=-1,A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
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m
k1 km
1
k2 km
2
L
km1 km
m 1
1 km
b
即m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
8
4. 证明向量组1,2,…,s (其中1≠0, s >1)线性 相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量 组1,2,…,i-1线性表示.
证明:必要性. 向量组1,2,…,s 线性相关, 则有不全为0的
数 k1, k2, …, ks, 使
k11 k22 L kss 0
(1)
在k1, k2, …, ks中找最后一个不为0的数ki . 即
ki ≠0,而ki+1=…=ks=0,
显然i >1. 否则此时(1)化为 k11=0, 且k1 ≠0,故
所以 3 22 1
6
2. 设向量1,2,3 线性相关,向量组2,3,4线性无
关,问:
(1) 1能否用2,3 线性表示 ?证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示?证明你的结论
解:(1) 因为向量组2,3,4 线性无关,所以2,3线性无关,又
第一,A可以由B线性表示。(已经满足)
第二,B是线性无关的向量组。
由于B是A的部分组,所以B可以由A线性表示,同 时A可由B线性表示,故向量组A与B是等价的,因此 其秩相同.
向量组B的秩为r,且有r个向量,所以B线性无关. 所以,B是A的一个极大线性无关组.
12
本次作业
第三章习题
• 1. • 2. • 3. • 5. • 6.
2
=B.
R(A) = R(B)
0 0 t 5
5
(1)当R(A)=3时,向量组线性无关,此时t≠ 5. (2)当R(A)<3时,向量组线性相关, 此时t = 5.
(3)当t=5时,
1 0 1
A
B
0 0
1 0
2 0
A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系
向量1,2,3 线性相关 ,所以1能用2,3 线性表示.
(2) 4 不能由1,2,3 线性表示. 否则,设
4 k11 k22 k33
由(1)知1能用2,3 线性表示. 设 1 l22 l33
则有 4 k1(l22 l33 ) k22 k33 即: 4 (k1l2 k2 )2 (k1l3 k3 )3
5. 设t1,t2,L
, t s是互不相同的实数,向量i
(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i
1,2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
【课本习题11,有所不同需要讨论】
6. 已知向量组A:{1,2,L ,s } 的秩为r,向量组B:
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组,且A可
关,问:
(1) 1能否用2,3 线性表示 ?证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示?证明你的结论 3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但 是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可 以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
2
4.证明向量组1,2,…,s (其中1≠0, s >1)线 性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向 量组1,2,…,i-1线性表示.
t2 L
A
1,2 ,L ,s
t12
t22 L
M M L
t n1
1
t n1 2
L
A的前s行构成的s阶子式为
1
ts
t s2
M
t
n1 s
1 1L
t1 t2 L
L LL
t s1
1
t s1 2
L
1
ts
(t j
1i js
ti )
≠
0.(因t1,t2,…,ts互不相同)
则4 可由2,3线性表出,于是2,3,4 线性相关,
这与题设矛盾. 所以,4 不能由1,2,3 线性表示. 7
3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但 是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可 以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
13
证明:向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示,设
b k11 k22 L km1 m1 kmm (1)
若km=0, 则(1)式化为
b k11 k22 L km1 m1
这表示向量b可由向量组1,2,…,m-1线性表示
这与给定条件矛盾. 则(1)式必有km≠0, 故
以由B线性表示,证明: B是A的一个极大线性无 关组.
3
答案
4
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
(1)t 为何值时,1,2,3 线性无关 ? (2)t 为何值时,1,2,3 线性相关 ? (3)当1,2,3 线性相关时,用1,2 线性表示3.
线性相关。
10
5. 设t1 , t2 ,L
, t s是互不相同的实数,向量i
(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i
1, 2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
解:向量i 的维数是n,故当s > n时,向量组线性相关.
当s≤ n时,令
1 1 L
t1
L 故其列向量组线性无关,从而其
t s1 s
加长向量组1,2,…,s线性无1关1 .
6. 已知向量组A:{1,2,L ,s } 的秩为r,向量组B:
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组,且A可
以由B线性表示,证明: B是A的一个极大线性无 关组.
证明:要证明B是A的极大无关组,有两个条件,
第三章 习题1
1
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
(1)t 为何值时,1,2,3 线性无关 ? (2)t 为何值时,1,2,3 线性相关 ? (3)当1,2,3 线性相关时,用1,2 线性表示3.
2.设向量1,2,3 线性相关,向量组2,3,4线性无
解:令矩阵A=(1,2,3), 对A进行一系列的初等行变
换,将它化成行阶梯型矩阵
1 1
A
1
,
2
,
3
1
2
1 3
r1r2 1 0 -1
1
3 t
r3r2 1
r2r1 0
0
1 1 1
1
t
2
3
r3r2 0 1
只能1=0. 这与1≠0矛盾.
因此(1)化为
i
k1 ki
1
k2 ki
2
L
ki 1 ki
i
1Байду номын сангаас
即至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性
表示.
9
充分性,如果有一个 i (1 i s) 可以由向量组
1,2 ,L ,i-1 线性表示 ,则αi可由其余s-1个 向量线性表出,由定义, 向量组 1,2 ,L ,s