人教版高中数学选修2-3离散型随机变量及其分布列教师版

第二章随机变量及其分布列2.1离散型随机变量及其分布列【理清基础】1．随机试验:一般地，一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能a 结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量:在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.4．离散型随机变量X 的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为1x ，2x ，…，i x ，…，n x ，X 取每一个值i x (i＝1，2，…，n)的概率。

i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下：X 1x 2x ···i x ···n x P1p 2p ···ip ···np 此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．5．离散型随机变量的分布列的性质：(1)0≥i p ，i＝1，2，3，…，n；(2)1=∑niip．【典例分析】要点一随机变量的概念例、指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的变化；(4)在标准状况下，水在0℃时结冰．解(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(3)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．(4)标准状况下，在0℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．【归纳总结】解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．强化训练、下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)上海国际机场候机室中2019年10月1日的旅客数量；(2)2019年某天屯溪至合肥的D36次高铁到合肥站的时间；(3)2019年某天收看中央电视台《新闻联播》节目的人数；cm的球的半径长．(4)体积为10003解(1)候机室中的旅客数量可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)D36次屯溪至合肥的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．(3)在《新闻联播》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量．cm的球半径长为定值，故不是随机变量．(4)体积为10003要点二离散型随机变量的判定例、指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．解(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．【归纳总结】离散型随机变量的判定方法判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．强化训练①某座大桥一天经过的轿车的辆数为X；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；③射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的X是离散型随机变量的是()A．①②③B．①②C．①③D．②③解析①②③中的变量取值均可一一列出．要点三随机变量的应用例3写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.(3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.解(1)Y的可能取值为2，3，4，…12，若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i 点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．(2)ξ可取1，2，3.{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1，2，3.η可取0，1，2.{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝0，1，2.(3)ξ可取3，4，5.{ξ＝3}表示取出的3个球的编号为1，2，3；{ξ＝4}表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；{ξ＝5}表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5.【归纳总结】随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用．这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．强化训练、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是一个随机变量．(3)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解(1)X的可能取值为1，2，3，…，10，{X＝k}(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．(2)随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4.{X＝0}，表示“抽出0件次品”；{X＝1}，表示“抽出1件次品”；{X＝2}，表示“抽出2件次品”；{X＝3}，表示“抽出3件次品”；{X＝4}，表示“抽出4件次品”．(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.{ξ＝0}，表示“取出0个白球，3个黑球”；{ξ＝1}，表示“取出1个白球，2个黑球”；{ξ＝2}，表示“取出2个白球，1个黑球”；{ξ＝3}，表示“取出3个白球，0个黑球”.要点4求离散型随机变量的分布列例1袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．解根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6.ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以，201)3(3622===C C P ξ；ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，所以，203)4(3623===C C P ξ；ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，013)5(3624===C C P ξ；ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，21)6(3625===C C P ξ.所以，随机变量ξ的分布列为ξ3456P12032031012【归纳总结】求离散型随机变量的分布列关键有三点：(1)随机变量的取值；(2)每一个取值所对应的概率；(3)所有概率和是否为1来检验．强化训练、从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列．解依据题意，ξ的所有可能值为1，2，3，4，5.又31531)1(15===C P ξ，311031)2(25===C P ξ，311031)3(35===C P ξ，31531)4(45===C P ξ，31131)5(55===C P ξ.故ξ的分布列为ξ12345P53110311031531131要点5分布列的性质及应用例2设随机变量X 的分布列P(X＝k5)＝a k(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P(110＜X＜710)．解由题意，所给分布列为X 1525354555Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝55)＝315＋415＋515＝45，或P(X≥35)＝1－P(X≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)∵110＜X＜710，∴X＝15，25，35.∴P(110＜X＜710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.【归纳总结】应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X 的取值为1x ，2x ，…，i x ，…，n x ，，取这些值的概率为i i p x X P ==)(，i＝1，2，…，n，则①)0≥i p ，i＝1，2，3，…，n，②1=∑niip.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．强化训练2设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ－101P121－2q2q (1)求q 的值；(2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．解(1)由分布列的性质得，1－2q≥0，2q ≥0，12＋(1－2q)＋2q ＝1，∴q＝1－22.(2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝12，P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝12＋1－2(1－22)＝2－12.要点6离散型随机变量的分布列的综合应用例、第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解(1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则5514C )0(31238===C P ξ，5528C )1(3122814===C C P ξ，5512C )2(3121824===C C P ξ，551C )3(31234===C P ξ.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155【归纳总结】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．强化训练、某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，ξ023P a b c求这名运动员投中3分的概率．解由题中条件，知2b＝a＋c，c＝a b，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝12，b＝13，c＝16，所以投中3分的概率是1 6 .。