次函数中的焦点与准线问题
抛物线准线和焦点的探究一
抛物线准线和焦点的探究一导言：抛物线是圆锥曲线，有多种形式的解析式，本文探讨直角坐标系中二次函数曲线解析式与抛物线准线和焦点的关系。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U 形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。
焦点并不在准线上。
抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。
垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。
与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。
沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。
抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。
任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线-也就是说，所有抛物线都是几何相似的。
探讨问题：面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线。
现抛物线（二次函数曲线）的解析式为：c bx ax y ++=2，那么准线和焦点是如何确定的。
（注，以下探究是不翻教科书、不查网上其他人的方法，根据自己对数学的理解来探究，方法是否正确和简洁等完成后再查对）本图的二次函数解析式为：()213212+-=x y 转换成通用形式为：2113212+-=x x y首先，焦点F 一定在对称轴上，否则出现上图中的情况，明显A M=BM ，FM≠FN ，不符合焦点的定义。
其次，准线垂直与对称轴，具体证明将另作探讨。
所以，焦点F 与准线L 的关系位置与上图所示.图中二次函数曲线的解析式为()23212+-=x y ,即2133212++=x x y 。
C F D ABLE M上图为局部放大图设焦点坐标为()f f y x ,，点M 坐标为()m m y x ,，准线的方程为l y y =。
二次函数复习课第一课时PPT
本节课为二次函数复习课的第一课时，将重点回顾二次函数的定义及基本形 式，并介绍二次函数的图像特征和性质。
二次函数的图像特征
对称性
二次函数的图像以顶点为对称轴对称。
顶点坐标
顶点坐标为(x,y)，其中y为二次函数的最 小值（当开口向上时）或最大值（当开口 向下时）。
开口方向
焦点
焦点是图像上的特殊点，与 抛物线的形状有关。
对称轴
对称轴是二次函数图像的对 称线，通过顶点且垂直于准 线。
二次函数的变形与图像
1
垂直方向缩放
通过改变二次系数a的绝对值，可以
水平方向平移
2
改变二次函数图像的形状与开口大 小。
通过改变二次函数中x的常数项或线
性项，可以使图像左右移动。
3
对称轴变化
通过改变二次函数中x的线性项，可 以改变图像关于y轴的对称轴位置。
3
注意事项
注意事项包括仔细阅读题目、画出 准确的图像以及验证计算结果等。
二次函数的应用举例
抛物线轨迹
抛物线轨迹的运动可以用二次函数来描述， 如投射运动、弹道等。
面积与最大值
通过优化二次函数来求解相关问题，如求最 大面积。
二次函数拟合及其应用
拟合
通过将实际数据点与二次函数图像相拟合， 可以预测用于经济学、物理 学、工程学等领域中的数据模型和问题求 解。
二次函数的常见错误及纠错方法
1
常见错误
常见错误包括图像方向、顶点坐标
纠错方法
2
计算错误等。
纠错方法包括通过复习基本概念、
练习题目以及请教老师等。
当二次系数a为正数时，图像开口向上； 当a为负数时，图像开口向下。
高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点
高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点1、抛物线：平面内到一个定点F (焦点)和到一条定直线l(准线)的距离相等的点的轨迹。
2、抛物线的标准方程/焦点和准线方程/焦点/准线图形方程/焦点/准线图形方程：y2=2px,(p>0）焦点：(p/2,0)，准线：x=-p/2。
方程：y2=-2px,(p>0）焦点：(-p/2,0)，准线：x=p/2。
方程：x2=2py,(p>0）焦点：(0,p/2)，准线：y=-p/2。
方程：x2=-2py,(p>0）焦点：(0,-p/2)，准线：y=p/2。
3、抛物线的性质[以y2=2px(p>0）为例进行说明].①范围：x≥0,抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。
②对称性：关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
③顶点：坐标原点。
④顶点是（0，0），⑤离心率e=1 。
4、抛物线的方程，多用定义法，通过数形结合来确定，或建立方程求出参数 p。
5、抛物线与二次函数的关系：①当焦点在x轴上时，抛物线不是函数，②当焦点在y轴上时，抛物线是二次函数。
6、求弦长：①若AB过抛物线焦点，则AB=x1+x2+p （p>0时）；②若不过焦点，则必须用弦长公式。
7、与抛物线有关的最值问题的两个转化策略：①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”。
②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，构造出“与直线上所有点的连线段中垂线段最短”。
8、直线与抛物线的位置关系(以直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0）为例).①k=0时,相交;②k≠0时,联立方程组,若△>0,则相交;△=0，则相切;△<0,则相离。
9、“设而不求”思想：在研究直线与曲线相交的相关问题时，我们通常把两个交点的坐标设出来（却又不求出），利用韦达定理及相关已知（弦长/中点/距离等）得到与参数相关的方程，从而解决问题。
焦点准线公式
焦点准线公式
二次函数焦点，准线的一般公式：
抛物线y=a(x-h)^2+k,
变为(x-h)^2=(1/a)(y-k),
其顶点(h.k),
焦点(h,k+1/(4a)),
准线y-k=-1/(4a).
一次函数的函数表达式：y=kx+b(k≠0）
一次函数中k,b对函数图象的影响：
k＞0时，y随x增大而增大，k＜0，t随x的增大而减小。
|k|越大，角度越大（图象越陡峭），反之角度越小（图象越平缓）。
常数项b对图象的影响
b＞0时，图像交y轴于正半轴；b＜0时，图像交y轴于负半轴；b=0时，图像交于原点。
二次函数的函数表达式：
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0）
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0），顶点为:（h,k）
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0）,x1,x2为函数与x轴的两个交点
二次函数中a,b,c对函数图象的影响：
二次项系数a决定函数图象的开口方向与开口大小。
a＞0开口向上；a越大开口越小。
二次项系数a对函数图象的影响
a＜0，开口向下，a越大开口越大。
中考综合模拟检测 数学卷 附答案解析
∵AB和AC与⊙O相切,
∴∠OAB=∠OAC=∠ CAB=60°,
∴∠AOB=30°,
∵AB=3cm,
∴OA=6cm,
∴
所以直径为2OB=6 cm
故答案为：6 ．
【点睛】本题考查了切线长定理,勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式．因此,
先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可： ．
10.若关于 的方程 有实数根,则 的取值范围是________．
【答案】 .
(3)在(2)的条件下,设AM= x,两块三角形板重叠面积为 ,求 与 的函数关系式．(图2,图3供解题用)
答案与解析
一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)
1.一个数的倒数是-2,则这个数是()
A.-2B.2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义可知-2和 互为倒数．
【详解】解：一个数的倒数是-2,则这个数是 ．
5.如图,在5×5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置,那么下列平移正确的是( )
A.先向下移动1格,再向左移动1格B.先向下移动1格,再向左移动2格
C.先向下移动2格,再向左移动1格D.先向下移动2格,再向左移动2格
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,结合图形,由平移的概念求解.
【详解】由方格可知,在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示,那么下面平移中正确的是：先向下移动2格,再向左移动1格,故选C．
抛物线焦点准线公式
抛物线焦点准线公式抛物线焦点和准线1. 抛物线的定义和性质•抛物线是一个二次函数的图像，其数学定义为：y=ax2+bx+ c•抛物线具有关于对称轴的对称性，即，对称轴的方程为：x=−b2a•抛物线开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a<0时，抛物线开口向下，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线焦点的计算公式•焦点是指抛物线上的点，其到抛物线准线的距离与到抛物线的任意一点的距离相等。
焦点的坐标为F(ℎ,k)。
•焦点的纵坐标可以通过以下公式计算得到：k=c−b 2−1 4a•焦点的横坐标可以通过对称轴的横坐标得到。
例子：考虑抛物线y=2x2−4x+1。
首先，我们可以通过求对称轴的横坐标来确定焦点的横坐标。
由于对称轴方程为x=−b2a，代入抛物线的系数，可得对称轴的横坐标为x=−−42(2)=1。
接下来，我们可以使用上述公式计算焦点的纵坐标。
代入抛物线的系数和对称轴的横坐标，可得焦点的纵坐标为k=1−(−4)2−14(2)=12。
因此，抛物线y=2x2−4x+1的焦点坐标为(1,12)。
3. 抛物线准线的计算公式•抛物线准线是与抛物线相切且与对称轴垂直的直线。
准线的方程为：y=c−b 2−1 4a例子：考虑抛物线y=x2−2x+3。
根据公式，我们可以计算准线的方程：y=3−(−2)2−14(1)=3−4−1 4=3−34=94。
因此，抛物线y=x2−2x+3的准线方程为y=94。
总结•抛物线是一个二次函数的图像，具有关于对称轴的对称性。
•焦点是抛物线上的一个点，其到准线的距离与到抛物线上任意一点的距离相等。
•焦点的计算可以通过公式来得到，其横坐标由对称轴决定，纵坐标由抛物线的系数计算得到。
•准线是与抛物线相切且与对称轴垂直的直线，其方程可以由抛物线的系数计算得到。
二次函数典型题解题技巧
二次函数典型题解题技巧一有关角1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,与y 轴交于点(0C ,3),过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ,直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；2连接AM 、AC 、BC ,试比较MAB ∠和ACB ∠的大小,并说明你的理由.思路点拨：对于第1问,需要注意的是CD 和x 轴平行过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D对于第2问,比较角的大小a 、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解：1∵CD ∥x 轴且点C0,3,∴设点D 的坐标为x,3 ．∵直线y= x+5经过D 点,∴3= x+5．∴x=－2．即点D －2,3 ．根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M －1,y,又∵直线y= x+5经过M 点,∴y =－1+5,y =4．即M －1,4．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C0,3在抛物线上,∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 2作BP ⊥AC 于点P,MN ⊥AB 于点N ．由1中抛物线223y x x =--+可得 点A －3,0,B1,0,∴AB=4,AO=CO=3,AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22．∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中,tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中,∵M-1,4,∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MN AN =2．∴∠BCP ＝∠NAM ．即∠ACB ＝∠MAB ．后记：对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角圆分开再说,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时,那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图,抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=,与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．I 求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形若存在,求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；III 直线131+-=x y 交y 轴于D 点,E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值．思路点拨：II 问题的关键是直角,已知的是AC 边,那么AC 边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知P 点是已AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合,明显只有O 点；当AC 为直角边时,又有两种情况,即A 、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA 或Rt △PAC 和Rt △OAC 相似,利用这点就可以求出OP 的长度了III 从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角30°,45°,60°,90°,在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能在没有学反三角函数的前提下,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似解：I ()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x yII ①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，．)31,0(1P ∴②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形,分别是)31,0(1P )0,9(2P ,)0,0(3P ． III ()1,0,131D x y 得由+-=．()4,1322---=E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222．31tan ==∴CB CE β． 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO ． ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．二线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短,无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点,如果我们公共端点,我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x = -1,B1,0,C0,-3.⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P 到A 、C 两点距离之差最大 若存在,求出点P 坐标；若不存在,请说明理由.思路点拨：点P 到A 、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值,因P 点在对称轴上,有PA=PB,也就是求|PB －PC|,到了这儿,易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点,易知最大值就是线段BC 的长;具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =0≠a 图象上任何一点到定点0,a 41和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点0,a 41叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.1写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； 2等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上,O 为坐标原点, 求等边三角形的边长；3M 为抛物线241x y =上的一个动点,F 为抛物线241x y =的焦点,P1,3 为定点,求MP+MF 的最小值.思路点拨：2因△OAB 是等边三角形,易知AB 平行于X 轴,且∠AOB=60°,知OA 、OB 于y 轴的夹角等于30°,利用这点容易求出三角形的边长3由题目可知MF 的长度等于M 点到直线y=－1的距离,那么MP+MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y=－1的垂线段的长 解：1焦点坐标为0,1, 准线方程是1-=y ；2设等边ΔOAB 的边长为x,则AD=x 21,OD=x 23. 故A 点的坐标为x 21,x 23. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x 舍去,或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.3如图,过M 作准线1-=y 的垂线,垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ,垂足为Q,当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时,MP+MF 最小,最小值为PQ=4. 5、思路点拨：2要求AE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知OA 和OE 的长以及E 点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴,垂足为G,那么容易求出OG 的长,从而求出AE 的长；要求AM 的长,先做OK ⊥AE,垂足为K,要求AM 的长,首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出AK 和OK 的长,利用OK 的长和三角形OMN 是等边三角形求出MK 和NK 的长,AM 的长也就知道了3这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时,PA+PB+PO 才能取最小值,P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P,把PA 、PB 、PO 连起来,要取最小值,那么这三条线段应该首尾相接,我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线,这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合,PA 的长就是AM 的长,m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2009年中考第25题如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A －6,0,B 6,0,C 0,43,延长AC 到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 1求D 点的坐标；2作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． 要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明思路点拨：3首先要把速度转化成路程,也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M,则OM=63,设P 点在y 轴上的速度为2v,那么在GA 上的速度为v,P 点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/2的最小值,那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和,因为∠BMO=30°,GM/2也就是G 点到BM 的距离,我们作GK ⊥BM,垂足为K,问题转化成求GA+GM 的最小值,易知,A 、G 、M 必须共线且垂直BM,所以G 点就是过A 点作BM 的垂线与y 轴的交点解：1∵A －6,0,C 0,43,∴OA ＝6,OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=,21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23,MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63．∴D 点的坐标为3,63．2由1可得点M 的坐标为0,63．由DE∥AB,EM＝MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD,∴TE＝SD．∵EC＝DF,∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B6,0,点M0,63在直线y＝kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图3确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6,OM＝63,可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中,OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为0,23．或G点的位置为线段OC的中点三平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题我们知道a,b关于x轴对称的点的坐标为a,－b,关于y轴对称的点的坐标为－a,b,关于原点对称的点的坐标为－a,－b,关于直线x=m的对称点为2m－a,b,关于直线y=n的对称点为a,2n－b,关于点m,n的对称点为2m－a,2n－b任意两点x1,y1和x2,y2的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点m,n的对称抛物线解析式其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决,为了方便,选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ax－h2+ka≠0来说,坐标为x,y的所有点都在他的图像上,关于m,n的对称点为2m－x,2n－y,那么坐标为2m－x,2n－y都在抛物线关于m,n对称的抛物线上,我们把2m－x,2n－y代入y=ax－h2+ka≠0就可以得到它关于m,n对称的抛物线的解析式为2n－y=a2m－x－h2+k,变形为y=－ax－2m+h2+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=ax－h2+ka≠0和它关于点m,n的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于m,n对称的,原抛物线的顶点为h,k,它关于m,n的对称点的坐标为2m－h,2n－k,那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ax－2m+h2+2n－k,和利用上述方法所得结果一致7、已知抛物线C1：y=ax2－2amx+am2+2m+1a>0,m>1的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P1,3成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨：1很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=ax －m2+2m+1,故顶点坐标为m,2m+1（2）C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2详解过程略。
抛物线的知识点
抛物线的知识点抛物线知识点概述1. 定义抛物线是一个二次函数的图像，具有U形的曲线。
在数学中，它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。
2. 标准方程一个垂直开口的抛物线的方程是：\[ y = ax^2 + bx + c \]其中，\( a \)，\( b \)，和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。
一个水平开口的抛物线的方程是：\[ x = ay^2 + by + c \]同样，\( a \)，\( b \)，和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。
3. 焦点和准线对于垂直开口的抛物线，焦点的坐标是 \( (h, k + \frac{1}{4a}) \)，准线的方程是 \( y = k - \frac{1}{4a} \)。
对于水平开口的抛物线，焦点的坐标是 \( (h + \frac{1}{4a}, k) \)，准线的方程是 \( x = h - \frac{1}{4a} \)。
4. 顶点抛物线的顶点是曲线的最高点（对于开口向下的抛物线）或最低点（对于开口向上的抛物线）。
顶点的坐标是 \( (h, k) \)。
5. 对称性抛物线是关于其对称轴对称的。
对称轴是垂直于抛物线开口方向的直线，并且通过顶点。
6. 导数和凹凸性抛物线的导数是 \( y' = 2ax + b \)（对于 \( y = ax^2 + bx + c \)）。
抛物线在其顶点处从凹变凸，或者从凸变凹，这取决于 \( a \) 的符号。
7. 应用抛物线在物理学、工程学、建筑学和许多其他领域都有广泛的应用。
例如，在抛体运动中，物体在只受重力作用下的运动轨迹通常是抛物线形状。
8. 旋转和变换抛物线可以通过平移、缩放、旋转等几何变换得到新的抛物线。
这些变换遵循特定的数学规则。
9. 抛物线的性质- 任何从焦点出发的光线，经过抛物线反射后，都会平行于抛物线的对称轴。
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二次函数中的焦点与准线问题
【例题讲解】
（2011年·黄冈市）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．
⑴求b 的值．
⑵求x 1?x 2的值
⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
解：⑴b =1
⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组
2114
y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104
x kx --=，依据“根与系数关系”得x 1·x 2=－4. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，
而FF 1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠
M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．
⑷存在，该直线为y =－1．理由如下：
直线y =－1即为直线M 1N 1．
如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=2114
m +， NF
=2114
m +，得NN 1=NF 同理MM 1=MF ．
那么MN =MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ =12（MM 1＋NN 1）=12
MN ，即圆心到直线y =－1的距离等于圆的半径，所以y =－1总与该圆相切．
通过此题，可以得到如下一些性质：
性质1：①x 1x 2=-4; ②x 1+x 2=4k; ③y 1y 2=1; ④y 1+y 2=4k 2+2
性质2：M 1F ⊥FN 1
性质3：NF=NN 1，MF=MM 1，MN=MM 1+NN 1.
性质4：MQ ，NQ 分别为∠M 1MN ，∠N 1NM 的平分线.
性质5：FQ ⊥MN.
性质6：在直角梯形MM 1N 1N 中，以M1N1为直径的圆与MN 相切，切点为F.
性质7：111=+NF
MF 性质8：MQ ⊥M 1F,NQ ⊥N 1F,且MQ 与M 1F 和NQ 与N 1F 的交点在x 轴上.
性质9：点M ，O ，N 1共线；N ，O ，M 1共线.
【练习巩固】
1.(2014年湖北咸宁) 如图1，P （m ，n ）是抛物线2
14
x y =-上任意一点， l 是过点（0，2-）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．
【探究】
（1）填空：当m ＝0时，OP ＝ ，PH ＝ ；当m ＝4时，OP ＝ ，PH ＝ ；
【证明】
（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB =6，端点A ，B 在抛物线2
14
x y =-上滑动，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．
2. （2013?南宁）如图，抛物线y=ax 2+c （a≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与
直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM ；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k 取何值，的值都等于同一个常数．
(第23题图1) (第23题图2)
3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=1
4
x2相交
于B、C两点.
（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图13-2，设,
B m n
（）(m<0)，过点01
E
（，）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l 于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．
4.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B 两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．
（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．
5.抛物线y=1
4
x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2,2）的直线交该抛物线于点M，N
两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B.。