勾股定理教学总结
初中数学教学课例《勾股定理》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《勾股定理》
称
从知识结构上Biblioteka ，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要
的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
教材分析
从学生认知结构上看，数形结合，架起了几何与代
数之间的桥梁；
勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素
以上三个环节层层深入步步引导，学生归纳得到命 题 1，从而培养学生的合情推理能力以及语言表达能 力。
感性认识未必是正确的，推理验证证实我们的猜 想。
教师对“勾、股、弦”的含义以及古今中外对勾股 定理的研究做一个介绍，使学生感受数学文化，培养民 族自豪感和爱国主义精神。利用勾股树动态演示，让学 生欣赏数学的精巧、优美。
材，因此具有相当重要的地位和作用。
学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感
教学目标 态度。其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激
发学生热爱祖国悠久文化的情感。
学生学习能
学生学习习惯不太好，几何知识不够扎实
力分析
教学策略选
教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流
择与设计 的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知 识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。 学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。巧妙 的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转 化的思想。观察发现虽然直观，但面积计算更具说服力。 将图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面 积，体现了数形结合的思想。学生会想到用“数格子” 的方法，这种方法虽然简单易行，但对于下一步探索一 般直角三角形并不适用，具有局限性。因此教师应引导 学生利用“割”和“补”的方法，为下一步探索复杂图 形的面积做铺垫。 突破等腰直角三角形的束缚，探索在一般情况下的 直角三角形是否也存在这一结论呢？体现了“从特殊到 一般”的认知规律。教师给出边长单位长度分别为 3、 4、5 的直角三角形，避免了学生因作图不准确而产生 的错误，也为下面“勾三股四弦五”的提出埋下伏笔。
初中数学教学课例《勾股定理》教学设计及总结反思
理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实
验课堂转变．
活动 1 欣赏图片了解历史
活动 2 探索勾股定理
活动 3 证明勾股定理
活动 4 小结、布置作业
通过对赵爽弦图的了解，激发起学生对勾股定理的
探索兴趣． 教学过程
观察、分析方格图，得出直角三角形的性质——勾
股定理，发展学生分析问题的能力．
通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思
想，激发探索精神．
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提
高．
根据教材的特点，本节课从知识与方法、能力与素
质的层面确定了相应的教学目标．把学生的探索和验证
活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探 课例研究综
索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的 述
数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目
初中数学教学课例《勾股定理》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《勾股定理》
称
在勾股定理探索过程中，发展合情理能力，体现数
形结合思想。
教材分析
重点 探索和证明勾股定理
难点
用拼图方法证明勾股定理
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过 教学目标
程。
1.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形
学生学习能 象思维。
力分析
2.探究活动中，学会与人合作并能与他探索式教学法，采用教师引导启发。学生
独立思考，自主探究，讨论交流合作的方式，为学生提
教学策略选 供探索，思考，观察的时间和空间。
择与设计
整课以问题情景----分析探究----得出猜想----
实践验证----总结升华为主线，使学生亲身体验勾股定
勾股定理公式知识点总结
勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。
一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。
2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。
一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。
勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。
4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。
通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。
以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。
在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。
二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。
下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。
例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。
2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。
例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。
3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。
例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。
4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。
勾股定理知识点总结、经典例题教学内容
知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
初中数学教学课例《勾股定理》教学设计及总结反思
八年级学生好奇心强，学生对几何图形的观察，几 学生学习能
何图形的分析能力已初步形成。能够正确归纳所学知 力分析
识，通过学习小组讨论交流，探究直角三角形的三边关
系。但由于大部分学生几何学习有难学的心里，导致学 习信心不足，学习效果就达不到理想效果。）
教学设计比较符合学生学习的实际，实例引入，增 强了学生的求知欲，能很快让学生进入学习状态，带着 教学策略选 课前的问题，学生能更快的理解学习勾股定理的意义， 择与设计 体会数学来源于生活，为生活服务。懂得学习数学的重 要性和价值所在。
方案 1：如果学生能够说出勾股定理的相关知识， 则直接
进入下一环节的学习。 方案 2：如果学生有困难，则安排学生自学教材， 再发表意见。 学生发言，教师倾听。视学生回答的重点板书：勾 三股四弦五等 【设计意图】教师获得学生的知识储备以便以后的 教学定位。再次让学生感触勾股定理的存在、作用即勾 股定理是研究直角三角形边之间的关系的定理，明确学 习目标。 （二）观察演算，合作探究，初具概念 问题 3：介绍毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。利 用 ppt 课件展示毕达哥拉斯的发现和他的探究的过程。 提问：这三个正方形之间的面积有什么关系？从中可以 转化得到等腰直角三角形三边在数量上有什么关系？ （故事附后） 教师口述故事，ppt 课件同步演示；学生借助直观 的课件，学生个体或学生间观察交流探究得到结论。 【设计意图】首先，故事中代出问题既激发学生的 兴趣又降低了学生探究的难度，让每个学生都可做，可 得；其次得到三个正方形面积间的关系而得到等腰直角
上升到理论层面，以加强数学学习的严谨性。让学生学 懂面积法，再次加深对勾股定理的理解。感受我国数学 知识的悠久历史，唤起爱国精神，启发学习数学的兴趣。
问题 8：学生用 4 个全等的直角三角形重新拼凑图 形并根据排放画出图形并用面积法进行论证。
勾股定理知识总结三篇
勾股定理知识总结三篇篇一：勾股定理知识总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角a c b三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
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教学过程 形的面积，引导他们发现 3 个面积的数量关系，再启发
他们转化为直角三角形三边的关系，从而得出勾股定
理。
课例研究综
勾股定理是初中数学的重要内容，它体现了图形与
述
数字结合，从特殊到一般的归纳思想，其具有一定的抽
象性，因此，也具有相当的难度，为了便于学生理解以
及掌握相关的数学思想，需根据学生的认知规律采取从
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初中数学
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《勾股定理》
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本节课主要研究三角形三条边的数量关系。重点是 教材分析
勾股定理及其证明。难点是勾股定理的证明。
1.经历探索勾股定理的过程，体会数形结合和从特
殊到一般的思想 教学目标
2.会用面积法证明勾股定理，会用勾股定理进行简
单计算。
简单到复杂，循序渐进的教学方法引导学生认识规律，
为了更加直观易懂精选质量上乘的多媒体课件加以辅
助教学，并加强个别辅导，针对差生增加重复性。力求
达到大多数学生学懂弄通。从教学结束观察基本达到预
期目标。
学生学习能
山区学生的抽象思维比较差，归纳能力薄弱，还停
力分析 留在直观思维层面。
以多媒体把抽象的定理直观的展现出来，启发引导 教学策略选
学生得出结论，让他们逐步学会从特殊到一般的数学归 择与设计
纳思想。
面积法归纳勾股定理。把直角三角形放在边长为 1
的正方形表格中，让学生计算出三边为边长的 3 个正方
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B.若、、是 Rt△ABC 的三边，则
C.若、、是 Rt△ABC 的三边，，则
D.若、、是 Rt△ABC 的三边，，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，
下列说法正确的是（）
A．斜边长为 25B．三角形周长为 25C．斜边长为
5D．三角形面积为 20
4、如图,三个正方形中的两个的面积 S1＝25，S2
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本节课是通过毕达哥拉斯发现勾股定理时的地砖
图案，了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程， 教材分析
使学生掌握直角三角行三边的关系，并能用它来解决一
些简单的问题。。
1、知识与技能
（1）能够用文字语言和符号语言表达勾股定理的
到提高。
四、巩固新知
1、在 Rt△ABC 中，，
（1）如果 a=3，b=4，则 c=________；
（2）如果 a=6，b=8，则 c=________；
（3）如果 a=5，b=12，则 c=________；
(4)如果 a=15，b=20，则 c=________.
2、下列说法正确的是（）
A.若、、是△ABC 的三边，则
内容。
（2）会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际
运用。
2、过程与方法
（1）经历用数格子的方法探索勾股定理的过程， 教学目标
进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进
一步体会数学与现实生活的紧密联系。
（2）探索并理解直角三角形的三边之间的数量关
系，进一步发展学生的说理和简单的推理意识及能力。
3、情感态度与价值观
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题种种例子，让学生亲身体验勾股定理确实有用，这样 述
不但学习了数学知识，也拉进了数学与生活，同时提高
学生解决问题能力。
（
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初中数学
教学课例名
《勾股定理》
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勾股定理是直角三角形一条重要性质，也是几何中
最重要的定理之一，在实际生活中有广泛用途。本课主
要学习直角三角形三边关系，解决三角形计算问题。体 教材分析
现的思想是“数学源于生活，又用于生活”。其教学重
点是：直角三角形相关计算。难点是：运用勾股定理解
角三角形有关性质的基础上学习的，所以只要教师能通 力分析
过各种教学手段调动学生积极性，并进行适当引导，他
们就能够展开探索，在探索中理解和掌握勾股定理。
教学策略选
1.以学生自我探索、合作交流为主，发挥教师的主
择与设计 导作用，运用各种手段激发学生的欲望和兴趣，让学生
主动参与学习过程。
2.分析和欣赏几种常见验证勾股定理的方法。
3.通过拼图探索验证勾股定理。
在本课的学习活动中，有一名学生对勾股定理不感
兴趣，觉得勾股定理在实际生活中没有用处，只是应试
教学过程 而已。针对学生这种思想，及时与学生沟通比如：学习
勾股定理后，只要知道门框的长与宽，不需要测量就可
以知道门框ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角线长。
在课堂教学中对学生来说理解勾股定理并不难，运
用勾股定理解决实际问题才是难的。针对学生这种思
决实际问题。
1.理解数学知识的内在联系，体会数形结合的思想
方法，进一步感悟勾股定理的价值。
2.通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生动 教学目标
《勾股定理的应用方法小结》[5篇范例]
《勾股定理的应用方法小结》[5篇范例]第一篇：《勾股定理的应用方法小结》谈谈勾股定理及其逆定理的应用绵竹市紫岩雨润中学岳关芬谈到勾股定理及它的逆定理，它是中学数学中最重要的定理之一，是几何学中的明珠，充满了魅力，我国把它又称为毕达哥拉斯定理。
这是由于，他们认为最早发现直角三角具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯。
勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系。
具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理揭示了从三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形。
具体的内容是：在三角形中，如果较小两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形是直角三角形。
它们不但是解直角三角形的重要依据，是每年中考的必考知识点之一，而且在实际生活中的应用十分的广泛。
我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。
学习勾股定理时，应抓住三大关键，一是勾股定理及其逆定理的证明方法，二是勾股定理及其逆定理的应用，三是怎样寻找勾股数。
对于第二个问题，又应抓住四个方面，一：是勾股定理在几何计算中的应用。
二：是勾股定理在几何证明中的应用。
三：是勾股定理及其逆定理的综合应用。
四：是勾股定理在代数证题中的应用。
在初中数学中常常提到的数学思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想.在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想。
作为一名长期从事中学数学教学工作的教师，在教学的过程当中，我经常发现有许多学生在涉及到计算直角三角形中线段的长以及判断三角形的形状等问题时，还是不明白该如何入手解决问题。
在此，我主要想谈谈在这两类问题上，怎样正确快速的应用勾股定理和它的逆定理解决问题。
所以把自己总结的一些经验与大家一起分享，共同学习。
一：怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长： 1：直接把勾股定理变式计算线段的长已知两条边的具体的值，求第三边。
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拓展时间与空间放手让学生发展
————《勾股定理》教学总结
新课程改革要求我们：将数学教学置于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。
为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。
为此我在教学设计中注重了以下几点：
一、引经据典，激发了学生的学习兴趣
上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。
这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上．同时培养学生的自学能力及归类总结能力。
二、大胆放手，注重了学生的自主探究
首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。
体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当
指导与鼓励。
充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。
三、拓展思维，培养了学生的各种能力
课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……
四、开阔视野，培养了学生的数学应用意识
数学来源于实践，而又应用于实践。
因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。
整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。
学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。
但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。
另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。
以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔。