初三数学《圆》知识提纲修改版

A初三数学《圆》知识提纲（修改版）(何老师归纳)一、圆的有关性质一：圆的相关概念：1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径）⑴ 动态定义: 一条线段OA 绕着它的一个端点O 在平面内旋转一周时，另一个端点A 所形成的图形叫圆⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

3： 弦心距：圆心到弦的距离4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：BAC 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着：BC⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）5：同圆：同一个圆叫同圆等圆：圆心不相同，半径相等的圆； 同心圆：圆心相同，半径不等的圆。

6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h ）＝半径(r)±弦心距(d)7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数8 ：圆心角：顶点在圆心的角圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形二：点与圆的位置关系:1：点在圆内 ⇒ d<r ⇒ 点C 在圆内2：点在圆上 ⇒ d=r ⇒ 点B 在圆上 3：点在此圆外 ⇒ d>r ⇒ 点A 在圆外三：重要定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

几何表达式举例：∵ AB 过圆心,CD ⊥AB ∴ CE DE =推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ ⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴2、四量关系定理（即“角、弦、弧、距”定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称“知1推3定理”，即其中的1组量相等，则可以推出其它的3组量也对应结论， 即：①AOB DOE ∠=∠⇔ ② AB DE =⇔ ③OC OF =⇔ ④ 弧BA =弧BD3、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半，同时也等于所对弧的度数的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12弧ACB 的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠所对的弧是弧AB ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或 ∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BAC AD=AC AD=BC BD=DBC BD =AC AD =BABA O推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形（或90C ∠=︒） 重要结论：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中 ∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠5；外接圆定理：不在一直线上的三个点确定一个圆 （1）过一点可以画无数个圆；（2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个外接圆是唯一的 四：反证法步骤：1：假定原命题的结论不成立 -----反设2：进行推理，推出与已知，定义，定理（公理）矛盾；-----归谬 3：判定假设不成立，从而肯定原命题正确 -----结论五：圆常见辅助线作法一：1：作半径 2：作弦心距3：作同弧或等弧所对的圆周角 4：作直径所对的圆周角二：直线与圆一： 直线与圆的位置关系:1：直线与圆相离 ⇒ d>r ⇒ 无交点 2：直线与圆相切 ⇒ d=r ⇒ 有一个交点 3：直线与圆相交 ⇒ d<r ⇒ 有两个交点二：相关概念1：切线：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，这条直线与这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．2：割线：如果一条直线与一个圆有两个公共点，这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．3：切线长：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长，叫切线长。

4：内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三条角平分线的交点）叫做这个三角形的内心。

三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，反之这个三角形叫做这个圆的外切三角形。

5：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

三：重要定理：1：切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线；即：∵MN OA ⊥，OA 为半径，A 是外端点 ∴MN 是⊙O 的切线 （或MN 切⊙O 于点A ）（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称“知二推一定理”：即：①过圆心；②过切点；③垂直；④切线； 由其中任意3个条件便推出其他1个结论 2、切线长定理：⑴ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠⑵: 结论1：AB 为PO 中垂线结论2：∠P ＋∠AOB ＝180° 在∧APO 中，形成射影定理式结论3：在右图中，∠DOC ＝12∠AOB ∧PCD 的周长＝2AP(或2PB) 3：圆外切四边形定理：圆的外切四边形两组对边之和相等∵ 四边形ABCD 为⊙O 外切四边形 ∴ A B ＋CD ＝AD ＋BC4：三角形内切圆相关重要结论：E O A BCF BA CE D OF结论1：A E ＝AF ＝2AB AC BC -＋ B E ＝BD ＝2AB BC AC -＋ CF ＝CD ＝2AC BC AB-＋结论2：S ∧ABC ＝12(a ＋b ＋c)r (r 为三角形内切圆半径) 结论3：∠BOC ＝90° ＋12∠BAC结论4：在R t ∧ABC 中，四边形CFOE 为正方形，且r ＝2a b c-＋NMOACDOC DEBAPOECDBAP5：弦切角定理 ：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，也等于它所夹的弧的度数的一半. 即：∵BD 是切线，BC 是弦 ∴∠CBD =∠CAB推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； ，ED ，BC 是切线∴ ∠CBA =∠DEF 6、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅四：圆常见辅助线作法二：5：作半径 ，证垂直 6：作垂直，证半径三：两圆位置关系一： 圆与圆的位置关系:PO DCBAO EDCBADCBPAOAB C DEF ∵ EF AB=（1）两圆外离（无交点）d R r ⇔>+；（2）两圆外切（一交点）d R r ⇔=+； （3）两圆相交（两交点）R r d R r ⇔-<<+； （4）两圆内切（一交点）d R r ⇔=-；（5）两圆内含（无交点）0d R r ⇔≤<- （6）两圆同心（无交点）⇔d ＝0分类：（1）相离：外离，内含（同心）（2）相切：外切，内切。

（3）相交；二：相关概念1：外公切线: 两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线； 2：内公切线: 两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线； 3：公切线的长: 两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长 4: 连心线：连接两圆圆心的直线叫连心线 5：圆心距：两圆心之间的距离三：公切线及公切线长的计算：两圆位置关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离 2 2 4 外切 2 1 3 相交 2 0 2 内切 1 0 1 内含1． 若两圆有两条外（或内）公切线，则外公切线长相等，内公切线长相等； 2． 外公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：l 内2212()d r r =-- 3． 内公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：l 外2212()d r r =-+ABC o1o2CABo1o2AB=2221)r R (O O --. AB=2221)r R ( O O +-. 特例，两圆外切Rr四：重要定理：1、关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；如图：12O O 垂直平分AB 。

即 ∵ ⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平AB（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.如图：∵⊙1 、⊙2相切 ∴O 1 、A 、O 2三点一线A O1O2B AO1O22：射影定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

∵ 如图：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， ∴ ＣD ２＝ＢＤ•ADＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ五：圆常见辅助线作法三： 7：作公切线四：圆中相关计算一：相关概念1：正多边形：各边，各角相等的多边形叫正多边形； 两条件：(1)各边相等；(2)各角相等 2：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 3：正多边形的半径: 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．4：正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 5：正多边形的中心：到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距6：圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。