4.4 频域稳定性判据

4.4.3 稳定性裕量(5)
影响系统稳定性的主要因素

系统开环增益（放大系数）
由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角储备，
从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。

积分环节
由系统的相对稳定性要求可知，Ⅰ型系统(1个积分环节)的稳定性好，Ⅱ型系统稳定性较
数ZR可由下式求出，即 ZR=PR-N 为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率ω 从0变化到∞时的开环幅相频率 特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为 ZR=PR-2N
4.4.1 奈氏判据(2)
应用奈氏稳定判据注意事项

要仔细确定开环右极点的数目 PR ，特别注意，虚轴上的开环极点要按左极点处理。 要仔细确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N。 当开环传递函数含有积分环节1/sλ (即含有落在原点的极点)时，其开环奈氏曲线
差，Ⅲ型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2。

系统固有频率和阻尼比
在开wk.baidu.com增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能
越大，系统的相对稳定性会越好。

延时环节和非最小相位环节
延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，

建立数学模型时，忽略了次要因素。 列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。 系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。 若用实验方法建立数学模型，因仪器精度、数据处理、实验方法等方面的原因造成的误差。 在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。
k K 5 G s H s s s ss 1 1 ss 1 1 5 5
式中开环放大系数K=k/5 当k=10时，K=2；当k=100时，K=20。 作系统开环伯德图，当ω=1时， 若K=2时，则20lgK=20lg2≈6dB；若K=20时，则20lgK=20lg20≈26dB，即系统开环放大 系数K变化10倍，L(ω)上移20dB。分别作K=2、20的系统开环伯德图，如下图所示。

对开环不稳定的系统(PR≠0)，在ω 从0变化到+∞时，在L(ω )≥0的区间，若相频
特性曲线 φ (ω ) 在 -180°线上正负穿越次数之差为 PR/2(N+-N-= PR/2) ，则系统稳
定，否则系统不稳定。
例题4.5
图 a 所描述的系 统 ，开 环 不 稳 定 (PR=2) ， 在L(ω )≥0时，φ (ω )曲线 N+-N-=1-2=-l≠PR/2 ，故知 闭环 不 稳 定。 图 b 所示系 统 ，开 环 不 稳 定 (PR=2) ，在
4.4 频域稳定性判据
奈氏判据
对数判据
稳定性裕量
4.4.1 奈氏判据(1)
奈氏稳定判据

奈氏曲线逆时针包围 (-1 ， jO) 点的圈数 N 等于开环传递函数在右半 [s]平面的极点 数PR，则系统稳定。

如果开环系统稳定，即PR=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围 (-1，
j0)点，即N=0。如果N不等于0，则闭环系统不稳定。右半[s]平面不稳定闭环极点
4.4.2 对数判据(1)
概念

幅值穿越频率：对数幅频特性曲线L(ω )和横轴相交的交点处的频率称为幅值穿越 频率。

相位穿越频率：对数相频特性曲线φ (ω )和-180°线交点处的频率称为相位穿越
频率。
4.4.2 对数判据(2)
对数稳定判据

对开环稳定的系统，在 ω 从 0 变化到+∞时，在 L(ω )≥0 的区间，若相角 φ (ω ) 不 穿越-180°线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。
以分贝表示时，
K g 20 lg K g 20 lg G j H j

若 |G(jω)H(jω)|<1 ，则 Kg(dB)>0dB ，则系统
稳定；否则Kg(dB)<0dB ，则系统不稳定。

为了得到满意的性能，通常取 Kg(dB)>6dB ， 即Kg>2。
4.4.3 稳定性裕量(4)
采用稳定储备作为设计准则的注意事项

稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线 G(jω)H(jω)对临界点 (-l， j0)靠近程度的度量，因此仅
用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对稳定性，必须两者同时给出。

对开环稳定的系统而言，当G(jω)H(jω)曲线不包围临界点(-1，j0)，亦即其相角储备γ和幅值储 备Kg(dB)为正值，系统稳定。
因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。
例题4.6
设控制系统的开环传递函数为 Gs H s
k ss 1s 5
，试求当k=10和k=100时的相角储备γ
和幅值储备Kg(dB)，并判断系统的稳定性。
解：根据开环传递函数的特征方程可知，该系统开环稳定（PR=0），将开环传递函数化为 标准环节组成形式，即

正穿越一次，对应着奈氏曲线 G(jω )H(jω ) 绕点(-1 ，jO) 转动+2π 角度；负穿越
一次，对应着奈氏曲线G(jω )H(jω )绕点(-1，jO)转动-2π 角度。 据 此 ， 奈 氏 判 据 可 改 写 成 ： 当 ω 从 0 变 化 到 ∞ 时 ， 若 开 环 幅 相 频 率 特 性 曲线 G(jω )H(jω ) ， 在 点 (-1 ， j0) 以 左 实 轴 上 的 正 穿 越 次 数 减 去 负 穿 越 次 数 等 于
示为相角储备和幅值储备。
4.4.3 稳定性裕量(2)
相角储备γ

如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏 曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与 负实轴的夹角γ称为相角储备。

相角储备表明在幅值穿越频率 ωc上，使 系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞 后量。

γ =180°+φ(ωc) 若 γ>0(图 a、 b)，则系统稳定；若 γ<0(图 c、d)，则系统不稳定。
例题4.4
若 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 Gs H s
4.5 ，试用奈氏判据 s2s 1s 1
判别其闭环系统的稳定性。
解：画出开环系统幅相频率特性图，如图
所示。
由图可知，N=-1。 而由 G(s)H(s) 表达式可知， PR=0。根据 奈氏判据有 ZR=PR-2N=0-2×(-1)=2 所以系统不稳定。
4.4.1 奈氏判据(3)
“穿越”概念

确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰 地看出，为此引出“穿越”的概念。

“穿越”，即奈氏曲线G(jω )H(jω )穿过点(-1，jO)左边的实轴(-1，-∞)。若奈 氏曲线由上而下穿过点 (-1 ， j0) 左边的实轴时，称“正穿越” ( 相角增大 ) ，用 N+ 表示；若奈氏曲线由下而上穿越时，称“负穿越” ( 相角减小 ) ，用 N- 表示。穿过 点(-l，j0)左边实轴一次，则穿越数为1 ，若奈氏曲线始于(图5 ，5a)或止于( 图 5 5b)点(-1，jO)以左的实轴(-1，-∞)上，则穿越数为l/2。
由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保 证系统实际上的稳定性是可靠的。 从奈氏判据可知，当 PR=0 ，开 环 奈氏曲 线 离 临 界点 (-1 ， j0) 越 远，则闭环稳 定性越好 ，
稳定储备越大，反之越差。它通过开环奈氏曲线对临 界点的靠近程度来表征，定量表
例题4.6
例题4.6
求系统的相角储备γ和幅值储备Kg(dB)（在图上量取数值，因为是几何法求取稳定性裕量，故有误
差）。
如图所示，当k=10时，系统的相角储备γ=21°，幅值储备Kg(dB)=8dB ，因此该系统虽然稳定，但γ 偏小，故系统的相对稳定性较差。 从图b可见，当k增至l00时，系统的γ=-30°，Kg(dB)=-12dB，即稳定储备皆为负值。对开环稳定的 系统而言，此时闭环系统不稳定。

γ 越小，稳定性越差，一般取 γ=30°～ 60°为宜。若γ过大，则系统灵敏度降低。
4.4.3 稳定性裕量(3)
幅值储备Kg

如图 a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲 线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。

幅值储备表明在相角穿越频率ωg上，使系统 达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即
Kg
1 G j H j
不和实轴封闭 ， 难于说 明ω 在零附近 变 化时 的奈氏曲 线 的变 化，以及它 们是否包
围 了临 界点(-1 ，j0) ，如图 中 实线 所示 。为 此 ， 可以作 辅 助圆 ( 如图 中虚线 所示) ， 这 就很容易看出 图 中曲 线 是否包 围临 界点(-1 ， j0) 。辅 助圆 的作法是以无 穷 大为 半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径λ 90°圆弧至G(0+)H(0+)。

PR/2(N+-N-= PR/2)，则闭环稳定，否则不稳定。
开环奈氏图不和实轴封闭
例题4.4
四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图
a～d所示。并已知各系统开环不稳定特征根的
个数PR，试判别各闭环系统的稳定性。 解：图 a 、 b 两个系统的开环幅相特性曲线不包围 (-1，j0)点，且又知两个系统的PR=0。故由奈
氏判据判定 (ZR =O) ，图 a 、 b 系统的闭环稳定。
图c系统N=-1，PR=0，ZR=PR-2N=2，故由奈氏判 据可判定(ZR≠0)，其闭环系统不稳定。 图 d 系统 N=1 ， PR=2 ， ZR=PR-2N=2-2=0 ，故由 奈氏判据可知，闭环稳定。 由此例可见，系统开环稳定，但各部件以及受 控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环 的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控 制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。

对开环不稳定的系统而言，只有当G(jω)H(jω)曲线包围临界点 (-1，j0)时系统才有可能稳定，
故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离(1，j0)点最近的储备值。

对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备γ=30°～60°，即 意 味 着在 幅 值穿越 频 率 ωc 处 ， 对数 幅 值曲 线 L(ω) 的 斜 率应 大于 -40dB/dec ， 通 常要 求为 20dB/dec，如果此处斜率为 -40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在 ωc处 的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般I型系统稳定性好，Ⅱ 型系统稳定性较差，Ⅲ型及其以上系统就难于稳定了。
L(ω )≥0时，φ (ω )曲线
N+-N-=2-1=l=PR/2，故知闭环稳定。 图 c 所 示 系 统 ， 开 环 稳 定 (PR=0) ， 在 L(m)≥0的区间，φ (ω )曲线 N+-N-=l-1=0=PR/2 ，故知闭环稳定。
4.4.3 稳定性裕量(1)
在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳 定性储备，即具备适当的相对稳定性。 事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点 附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于：