高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式课件 理
2015届广东高考数学(理)一轮课件【7.1】不等关系与一元二次不等式
思维启迪 解析 思维升华
含有参数的不等式的求解，往
【例2】 解集：
求下列不等式的
往需要对参数进行分类讨论 .
(1)若二次项系数为常数，首先确 定二次项系数是否为正数，再考 虑分解因式，对参数进行分类讨 论，若不易分解因式，则可依据 判别式符号进行分类讨论；
(1)－x2＋8x－3>0； (2)ax －(a＋1)x＋1<0.
(1)－x2＋8x－3>0； (2)ax －(a＋1)x＋1<0.
2
所以原不等式的解集为 {x|4 － 13 <x<4＋ 13}.
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
(2)若 a＝0，原不等式等价于－x＋
【例2】 解集：
求下列不等式的
解析
B A
[1,4]
(－5,0)∪(5，＋∞)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
c c (1)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：① > ； a b
不等式的性质及应用
②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).其中所有正确结论的序号 是 A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( )
②中，因为 b<a<0，所以－b>－a>0.
故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误； 1 1 1 1 ③中，因为 b<a<0，又 < <0，所以 a－ >b－ ，故③正确； a b a b
高三理数一轮讲义：7.1-不等式的性质与一元二次不等式(练习版)
第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c ；a ＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[微点提醒] 1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d3.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >abD.a 2>ab >b 25.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.考点一不等式的性质多维探究角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c 的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.考点二 一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] (2)(2019·清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( ) A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化2.已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1yD.x 2>y 23.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( ) A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4.若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n <m －n C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________.8.(2019·阳春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0B.2a －b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <1212.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.。
高考北师大版数学总复习课件：7.1不等关系与不等式
π π 5．(教材改编题)已知－ <α <β < ，则 α－β 的取值范围是 2 2 ________．
[答案] (－π，0) π π π π [解析] ∵－ <α<β < ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π － <－β< ，∴－π<α－β<0 2 2
6． (2012· 盐城模拟 )已知 a<0，－ 1<b<0，那么 a， ab， ab2 的大小关系是________．
[答案] A
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒ / “a>b 且 c> d”， ∴充分性不成立； 又“a> b 且 c> d”⇒“a＋c>b＋d”， ∴必要性成立，故选 A.
2．(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的 是( ) A．若 a> b，则 ac2> bc2 B．若 a< b<0，则 a2> ab> b2 1 1 C．若 a< b<0，则 < a b b a D．若 a< b<0，则 > a b
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设 a， b∈ R，则 (1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝ b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b， b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔a＋c>b＋c ； (4)a>b， c>0⇒ ac>bc； a>b， c<0⇒ ac<bc；
一轮复习教案：第7章 第1讲 不等关系与不等式
3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N， 选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a<b cd
D.a<b dc
答案 D
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0，
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式及其解法课件 理
D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
高考理科数学一轮复习不等式全套课件
【互动探究】
比较1816与1618的大小.
解：11861168＝1186161162＝9816 1216＝8 9 216.
∵ 8
9
2∈(0,1)，∴8
9
216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.
易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立 例题：设 f(x)＝ ax2＋bx，1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2) 的取值范围. 正解：方法一，设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系 数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 则有mn－＋mn＝ ＝4－，2. 解得nm＝＝13.，
ac＞＞db＞＞00⇒ac_＞___bd
⇒
可乘方性 可开方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) a，b 同为正数
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N，n≥2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.(2014 年四川)若 a>b>0，c<d<0，则一定有( B )
ab A.d>c
ab B.d<c
ab C.c>d
解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意 x>y， a>b.
因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以 a－x ＝b－y.故①不成立；
因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by.故③也不成立； 因为ay＝－33＝－1，bx＝－22＝－1，所以ay＝bx.故⑤不成立.
答案：B
(2)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q≠1.则( ) A.a1＋a8>a4＋a5 B.a1＋a8<a4＋a5 C.a1＋a8＝a4＋a5 D.不确定
【高考精品复习】第七篇 不等式 第1讲 不等关系与不等式
第1讲 不等关系与不等式【高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用． 【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ； ②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a . (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴①不正确；a ＞|b |≥0，a 2＞|b |2＝b 2，∴②正确；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，∴③正确；取a ＝2，b ＝－3，则|a |＞b ，但a 2＝4＜b 2＝9，∴④不正确．答案 B2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h答案 D3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞b /⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案 B4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案 D5.12－1与3＋1的大小关系为________．解析12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.答案12－1＜3＋1考向一比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点] 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析 令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故ab ＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．答案 D考向二 不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解析 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ， ∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C. 答案 C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 命题1：若ab ＞0，c a ＞db ，则bc ＞ad ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞db ； 命题3：若c a ＞db ，bc ＞ad ，则ab ＞0. 答案 D考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围． 解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. [审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证． 证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b . ∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c ＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0， 求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x)|B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a。
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答案
3.若a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是__④______. ①a－b>0 ②a3＋b3>0 ③a2－b2<0 ④a＋b<0 解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|， 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立.
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解析答案
4.下列各组代数式的关系正确的是________. ①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9； ②(x－3)2<(x－2)(x－4)； ③当x>1时，x3>x2－x＋1； ④x2＋y2＋1>2(x＋y－1).
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解析答案
5.若 0<a<b，且 a＋b＝1，则将 a，b，12，2ab，a2＋b2 从小到大排 列为____________________.
思考辨析
答案
2
考点自测
1 若 x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y －a，⑤ay>bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________.
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解析答案
2.下列四个结论，正确的是_①__③_____. ①a>b，c<d⇒a－c>b－d； ②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；
ab<1⇔a < b
(a∈R，b>0)．
答案
2.不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性
性质内容
b<a
a>c
a>b⇔
a＋c>b＋c
a>a>bb， b>acc⇒>bc
c>0
ac<>a0b>b⇔ac<bc
特别 提醒 ⇔
⇒ ⇔
答案
同向可
a>b
c>d
⇒ a＋c>b＋d
⇒
加性
同向同
a>b>0
ac>bd
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，
∵a<b<0，∴|b|<|a|成立.
解析答案
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①ac>bc；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).
其中所有正确结论的序号是________.
解析答案
易错警示系列
易错警示系列 7.不等式变形中扩大变量范围致误
思维升华
解析答案
(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是__③______. ①a－1 b>1b ②a2<ab
跟踪训练3
③||ba||<||ba||＋＋11 ④an>bn 解析 (特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均
不正确； ③中，||ba||<||ba||＋ ＋11⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值 范围是________.
易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的
解析 由c<b<a且ac<0知c<0且a>0. 由b>c得ab>ac一定成立.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d； ④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是________.解析答案题型三 不等式性质的应用
例 3 已知 a>b>0，给出下列四个不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③ a－b> a－ b；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为__________.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0). ②ab>ab＋＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0).
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (2)1a>1b⇔a<b(ab≠0).( × ) (3)a>b，c>d⇒ac>bd.( × ) (4)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × ) (5)若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b.( √ )
解析答案
(2)若 a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则 a，b，c 的大小关系为__________.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知 x∈R，m＝(x＋1)(x2＋2x＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)，则 m，n 的 大小关系为__________.
解析答案
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为____a_<_b________. 解析 ab＝11861168＝(1186)161162 ＝(98)16( 12)16＝(892)16，
∵ 8
9
2∈(0,1)，∴(8
9
2)16<1，
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618.即a<b.
解析答案
题型二 不等式的性质
例2 已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列关系式中一定成 立的是___①_____. ①ab>ac ②c(b－a)<0 ③cb2<ab2 ④ac(a－c)>0
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解析答案
题型分类 深度剖析
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2， 则a，b，c的大小关系是__c_≥__b_>_a___. 解析 ∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0， ∴b>a，∴c≥b>a.
c>d>0
正
an>b⇒n
⇒
可乘性
可乘方
n a>n b
a>b>0⇒ 性
(n∈N，n≥1) a，b
答案
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1a<1b. ②a<0<b⇒1a<1b. ③a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
第七章 不等式
§7.1 不等关系与不等式
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a > b (1)作差法a－b＝0⇔a ＝ b
a－b<0⇔a < b
(a，b∈R)；
ba>1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a ＝ b