考研数学配套辅导知识点(矩阵)【圣才出品】
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对矩阵的基本知识点进行总结。
1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。
一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。
2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。
(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。
(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。
3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。
(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。
(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。
(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。
(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。
5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。
(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。
(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。
(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。
总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。
考研数学(三)考试大纲解析(线性代数 第2章 矩 阵)【圣才出品】
c．对称矩阵的特征值为实数；
d．必存在正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵的对角线元素即为特征值．
（7）反对称矩阵
①表达式
0
a a 12
12
0
a a 1n
2n
a1n a 2n
λa1n λa 2n
λamn
5 / 15
（2）运算规律 设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ 为数， ①（λμ)A＝λ(μA)； ②(λ＋μ)A＝λA＋μA； ③λ(A＋B)＝λA＋λB．
三、矩阵的乘法
1．定义
设 A= aij 是一个 m×s 矩阵， B bij 是一个 s×n 矩阵，则规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
③设矩阵 A= aij ，记： A= aij ，－A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A＋(－A)＝0，
由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋(－B)．
2．数与矩阵相乘
（1）定义
数 λ 与矩阵 A 的乘积记作 λA 或 Aλ，规定为
λA
Aλ
λa11 λa 21
λam1
λa12 λa 22
λa m 2
λ1
0
0
λ2
0
0
0 0
λn
②性质
a．对角矩阵为方阵；
b．对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数．
（5）三角矩阵
①表达式
a a
a A
11
0
12 22
0 0
a1n a 2n
ann
0
a 11
a a B
21
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份知识点一：矩阵1.矩阵的定义：矩阵是一个由数域中的元素排列成的矩形阵列。
2.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等。
3.矩阵的类型：包括列矩阵、行矩阵、方阵、行满秩矩阵、列满秩矩阵等。
4.矩阵的转置：行变为列，列变为行。
5.矩阵的逆：满足矩阵乘法交换律的方阵，存在逆矩阵。
6.矩阵的秩：线性无关行（列）向量的最大个数。
知识点二：行列式1.行列式的概念：一个由n*n个元素构成的方阵，与其他方阵不同的一个特殊数。
2.行列式的性质：包括行互换、列互换、其中一行（列）乘以一个非零常数、其中一行（列）加上另外一行（列）的k倍等运算。
3.行列式的计算：包括按定义计算、按行（列）展开、按行列式的性质计算等方法。
4.行列式的性质与结论：含有零行（列）的行列式为零、对调两行（列）行列式变号、行列式与其转置行列式相等等。
知识点三：向量空间1.向量空间的定义：满足一定条件的集合，其中的元素可以进行向量运算。
2.向量空间的性质：包括封闭性、线性组合、线性无关、向量子空间等性质。
3.线性相关与线性无关：一组向量之间的线性组合关系。
4.基、维数与坐标：向量空间的基、维数与坐标之间的关系。
5.线性映射：保持向量空间的线性性质的映射。
6.矩阵的秩与线性方程组的解：矩阵的秩与方程组解的个数及解的性质之间的关系。
知识点四：特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：对于一个n*n矩阵A，如果存在常数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。
2.特征值与特征向量的计算：包括求解特征方程、求解特征向量的过程。
3.特征值与特征向量的性质：特征值的和等于矩阵的迹，特征向量对应不同特征值的特征向量线性无关等。
知识点五：二次型1.二次型的定义：一个含有二次项和线性项的多项式。
2.二次型的矩阵表示：用矩阵表示二次型。
3.二次型的规范化：将二次型化为标准形，即去除二次项的干涉项。
矩阵考研知识点总结
矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。
这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。
当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。
性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。
性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。
性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。
（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。
性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。
矩阵知识点归纳及例题
矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。
（一）矩阵的定义。
1. 矩阵的概念。
- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。
2. 特殊矩阵。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。
- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。
- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。
- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。
（二）矩阵的运算。
1. 矩阵的加法。
- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。
- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。
2. 矩阵的数乘。
- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。
- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。
3. 矩阵的乘法。
- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。
- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。
考研数学矩阵知识点总结
考研数学矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵是一个二维的数组，由m行n列的元素组成。
通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以写成：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]矩阵具有一些基本的性质，包括矩阵的相等、相加、相乘等。
两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即a_ij=b_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。
两个矩阵A和B的和是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_ij+b_ij。
两个矩阵A和B的乘积是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_i1*b1_j+a_i2*b2_j+…+a_in*bn_j。
二、矩阵的运算矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的基本操作，它们有一些基本的性质。
矩阵A、B和C满足结合律、分配律、交换律等。
具体的运算规则和性质如下：1. 矩阵的加法设A、B是相同阶数的矩阵，则矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的加法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC。
同时，零矩阵是矩阵加法的单位元素。
2. 矩阵的乘法设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则矩阵的乘法满足结合律和分配律，即A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC。
但矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
同时，单位矩阵是矩阵乘法的单位元素。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在研究矩阵的性质和应用中具有重要的作用。
1. 特征值设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵A的特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λE)=0来得到。
特征值和特征向量在矩阵的对角化、矩阵的相似性等方面有重要的应用。
2. 特征向量设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
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第2章矩阵
一、矩阵
1．概念
由m×n个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为
2．特殊矩阵及其性质
（1）方阵
①表达式
②性质
若A为方阵，则
a．
b．
c．
（2）单位矩阵
①表达式
②性质
a．对角线上元素都为1，其余元素都为0；b．EA＝AE＝A．
（3）数量矩阵
①表达式
②性质
a．数量矩阵必能相似对角化；
b．数量矩阵有且只有一个n重特征值．（4）对角矩阵
①表达式
②性质
a．对角矩阵为方阵；
b．对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数．
（5）三角矩阵
①表达式
其中，A为上三角矩阵，B为下三角矩阵．
②性质
a．上（下）三角矩阵中沿对角线以下（上）的元素全为0；
b．上（下）三角矩阵的行列式的值＝对角线上所有元素的乘积；
c．上（下）三角矩阵的特征值就是矩阵对角线上的元素．
（6）对称矩阵
①表达式
②性质
a．元素以对角线为对称轴对应相等，即；
b．若A为对称矩阵，则A的转置；
c．对称矩阵的特征值为实数；
d．必存在正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵的对角线元素即为特征值．（7）反对称矩阵
①表达式
②性质
a．元素以对角线为对称轴对应的数的绝对值相等，符号相反，即；b．反对称矩阵的对角线元素必为0．
（8）正交矩阵
①定义
如果n阶矩阵A满足
则A称为正交矩阵，又称正交阵．
②性质
a．若A为正交矩阵，则也是正交矩阵，且或（－1）；
b．若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；
c．A的各行（列）是单位向量且两两正交．
二、矩阵的线性运算
1．矩阵的加法
（1）定义
设有两个m×n矩阵和，则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为
注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．
（2）运算规律
设A，B，C都是m×n矩阵，则
①A＋B＝B＋A；
②(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)；
③设矩阵，记：，－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋(－A)＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋(－B)．
2．数与矩阵相乘
（1）定义
数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为
（2）运算规律
设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，
①（λμ)A＝λ(μA)；
②(λ＋μ)A＝λA＋μA；
③λ(A＋B)＝λA＋λB．
三、矩阵的乘法
1．定义
设是一个m×s矩阵，是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中
并把此乘积记为C＝AB．
2．运算规律
（1）(AB)C＝A(BC)；
（2）(AB)＝(A)B＝A(B)（其中λ为数）；
（3）A(B＋C)＝AB＋AC，(B＋C)A＝BA＋CA；
（4）EA＝AE＝A；
（5）．。