数学建模生物种群模型
高中生物有关数学模型问题分析
高中生物有关数学模型问题分析高中生物有关数学模型问题分析1 高中生物教学中的数学建模数学是一门工具学科，在高中的物理与化学学科中广泛的应用。
由于高中生物学科以描述性的语言为主，学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。
这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。
所谓数学建模(Mathematical Modelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
在生物学科教学中，构建数学模型，对理科思维培养也起到一定的作用。
2 数学建模思想在生物学中的应用2.1 数形结合思想的应用生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。
它能考查学生的分析、推理与综合能力。
这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识，体现理科思维的逻辑性。
例1：下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系;图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。
以下说法正确的是( )A、图2中甲细胞处于图1中的BC段，图2中丙细胞处于图1中的DE段B、图1中CD段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期C、就图2中的甲分析可知，该细胞含有2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂D、图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现解析：这是一道比较典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期;而图1中的AB段表示的是间期中的(S期)正在进行DNA复制的过程，BC段表示的是存在姐妹染色单体(含2个DNA分子)的染色体，DE 段表示的是着丝点断裂后的只含1个DNA的染色体。
此题的答案是B。
2.2 排列与组合的应用排列与组合作为高中数学的重要知识。
在减数分裂过程中，减Ⅰ分裂(中期)的同源染色体在细胞中央的不同排列方式，在细胞两极出现不同的染色体组合，最终形成不同基因组成的配子，这是遗传的分离定律与自由组合定律细胞学证据。
高中二年级下学期生物《种群“S”形增长的数学建模》模教学设计
种群“S”形增长的数学建模课题种群“S”形增长的数学建模教学目标 1.能阐述“S”形曲线形成的条件。
2. 能准确阐述环境容纳量的定义。
3. 能将K值和K/2值运用到生产生活当中。
教学重点 1. “S”形曲线形成的条件。
2. K值和K/2值的应用。
教学难点 1. “S”形曲线形成的条件。
教学方法利用课件通过举例分析实例构建“S”形曲线形成的原因及条件。
学法指导讲练结合、注重现象与本质的联系和推导教具（资料）多媒体课件板书设计一、“S”形曲线1.定义2.条件二、环境容纳量1.定义2.应用作业教学后记教学过程组织教学：引言：通过前面的学习，我们已经知道了在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等理想条件下，种群的数量每年将以一定的倍数增长，可是自然状态下，并不会呈现这样的理想条件。
那么在实际情况下，种群的数量又将怎么变化呢？这就是今天将要学习的内容。
新课：生态学家高斯曾经做过单独培养大草履虫的实验，在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，每隔24h统计一次大草履虫的数量，将数据绘制成表格，同时为了更好的反映出在这段时间内种群数量增长的差异，可以将数据绘制成柱形图，而为了更好的反映出未来的一段时间内种群数量变化的趋势，将数据绘制成曲线图。
在第4天之前，种群的数量是一直增加的，在第5天左右，种群数量基本维持稳定。
像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线呈“S”形。
这种类型的种群增长称为“S”形增长。
结合前面学过的知识，种群的数量在增加，意味着出生率大于死亡率。
而随着种群数量越来越多，食物和空间的竞争趋于剧烈，导致出生率降低死亡率升高。
当死亡率升高至与出生率相等时。
种群的增长就会停止，有时会稳定在一定的水平。
其实刚刚的过程也是符合数学模型构建的过程的。
复习一下之前学过的步骤。
第一步观察研究对象，提出问题，第二步提出合理的假设，第三步根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达，即建立数学模型，第四步通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
生物学中的数学建模及其应用
生物学中的数学建模及其应用生物学是一门研究生命科学的学科，最早来自于生命科学的古代哲学，逐渐发展成为现代化的学科。
在现代科学中，生物学的研究涉及到了众多的领域，其中有一项重要的技术就是数学建模。
数学建模是指数学家运用其专业知识和技能，将现实生活中广泛存在的问题转化为数学方程，进行数学计算、分析和研究的过程。
而在生物学中，数学建模主要应用于生态、医学、环境保护等方面，为生命科学研究提供了重要的手段和途径。
一、数学建模在生态学中的应用生态学是研究生物学和环境之间相互作用的学科，它不仅仅是生物学和地理学的交叉学科，而且包含了多方面的知识，如统计学、环境科学和计算机科学等。
数学建模在生态学中的应用十分广泛，例如，研究物种丰度、种群密度的统计模型、气候与珊瑚礁生长模型、生物化学反应动力学模型等等。
例如，人类可能会对某种物种进行大量捕捞，导致其种群数量迅速减少，当捕捞量过大时，该物种可能会面临灭绝的风险。
为了预测这种情况的发生，可以利用数学建模，根据样本数据构建数学模型，用以预测未来种群数量、种群密度变化等。
二、数学建模在医学中的应用医学研究是通过许多实验和调查获得数据，这些数据的数值往往不具有直观意义，如何利用这些数据进行生物医学研究是一大难题。
数学建模可以将这些数据转化为可供计算机模拟的数学方程，对疾病、药物的治疗、诊断等进行量化分析。
举一个例子，我们常常听说医疗数据中出现了“假阳性”和“假阴性”等概念，这是医学诊断不能避免的一种误差。
但是通过建立一种统计模型，在对疾病进行诊断时，可以有效减少这种误诊率的情况，提高医疗质量、降低失败率。
三、数学建模在环境科学中的应用在环境保护领域，数学建模被广泛用于污染物传输、水域与实验环境监测、物质流动和能量转换等方面的研究。
通过建立模型，环境科学家可以有效评估环境质量和环境健康状况。
例如，我们可以通过建立水体模型，对污染物在水体中的传输与扩散进行模拟。
此外，我们还可以使用数学建模方法，建立气候变化模型，了解气候变化的原因、趋势、影响范围和持续程度，为未来应对气候变化提供科学依据。
高中生物(选择性必修第二册 人教版)讲义教案：建构种群增长模型的方法及种群数量的变化(含答案)
种群数量的变化（答案在最后）第1课时建构种群增长模型的方法及种群数量的变化[学习目标] 1.尝试建立描述、解释和预测细菌种群数量变化的数学模型，总结建立数学模型的一般步骤。
2.运用种群的“J”形和“S”形增长的数学模型表征种群数量变化的规律，分析和解释影响不同变化规律的因素，并应用于相关实践活动中。
一、建构种群增长模型的方法任务一：建构某种细菌种群的增长模型根据教材P7“问题探讨”，回答下列问题：1.填写下表：计算一个细菌在不同时间(单位为min)产生后代的数量。
时间(min) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 代数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9数量(个) 20 2 4 8 16 32 64 128 256 5122.第n代细菌数量的计算公式是什么？提示设细菌初始数量为N0，第一次分裂产生的细菌数为第一代，数量为N0×2，第n代的细菌数量为N n＝N0×2n。
3．72 h后，由一个细菌分裂产生的细菌数量是多少？提示2216个。
4．以时间为横坐标、细菌数量为纵坐标，请在下面坐标图中画出细菌的数量增长曲线。
提示如图所示5．在一个培养瓶中，细菌的数量会一直按照这个公式描述的趋势增长吗？分析其原因。
提示不会；因为培养瓶中的营养物质和空间都是有限的。
6．曲线图能更直观地反映出种群的增长趋势，但是同数学公式相比，曲线图表示的模型有什么局限性？提示同数学公式相比，曲线图表示的模型不够精确。
建立数学模型的一般步骤1．数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
某同学在分析某种细菌(每20 min 分裂一次)在营养和空间没有限制的情况下数量变化模型时，采取如下的模型建构程序和实验步骤，你认为建构的模型和对应的操作，不合理的一组是()A．观察研究对象，提出问题：细菌每20 min分裂一次，怎样计算细菌繁殖n代后的数量？B．提出合理假设：资源和生存空间无限时，细菌种群的增长不会受种群密度增加的制约C．根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达：N n＝2nD．进一步实验或观察，对模型进行检验或修正：根据N n＝2n画出数学曲线图答案 D解析对模型进行检验或修正，需要观察、统计细菌数量，对所建立的模型进行检验或修正，D 错误。
数学模型在生态学中的应用
数学模型在生态学中的应用生态系统是由生物与环境因素所构成的系统，是一个相互依存、相互制约的系统。
而对于这个系统，我们的认识主要从两个方面入手：实验和建模。
其中建模是由数学模型来实现的。
数学模型是将复杂的现象用数学符号和方程式来表示和描述的方法，也是研究和揭示生态学规律的重要工具之一。
在此，我们将重点探讨数学模型在生态学中的应用。
一、数学模型的概念与分类数学模型是用数学语言和符号描述实际事物、过程和现象的虚拟图像。
按照数学表达形式可分为方程模型、微分方程模型、差分方程模型、随机模型等。
按照应用领域可分为物理模型、经济模型、生态模型等。
二、生态学中的数学模型生态学的数学模型主要用于对生态系统的结构与功能进行理解、模拟、优化、调节，以及对生态环境问题进行研究、预测与解决。
1. 种群动态模型种群动态模型是通过分析种群数量随时间变化的变化规律，探究影响生物种群数量的内外环境因素。
比如SIR模型，SIR模型是传染病传播的最基本模型，即将个体划分成健康者(S)、感染者(I)、免疫者(R)三类，在某些前提条件下可定量解释传染病的流行程度与发展动态，提出了疫情管理的一系列方法和策略。
2. 群落动态模型群落动态模型是对生态系统中不同物种的关系以及它们对环境资源的利用与消耗进行分析、建立数学模型，并通过模型的参数研究、预测群落的变化与演替过程。
比如Lotka-Volterra模型，Lotka-Volterra模型基于食物链理论，描述捕食者和被捕食者的数量随时间变化的规律，从而揭示了生物之间的捕食关系。
3. 系统生态学模型系统生态学模型是把生态系统看作一个综合体系，以系统理论和控制工程为基础，运用数学建立模型来研究系统稳态、震荡、分岔等大规模复杂生态学问题。
比如SHAN模型，SHAN模型是一个营养循环的模型，能够分析生态系统中元素的跨越地域界限的可再利用，解决了生态系统中元素失衡的问题。
三、生态学模型在实践中的应用1. 生物多样性保护物种分布模型可以对物种分布与栖息地面积的关系进行研究，从而实现为保护生物多样性的制定保护策略。
数学建模分类方法大全
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
384
最优化
模拟退火法
神经网络
遗传算法
分治算法
差分进化
蚁行算法
粒子群
不确定
模型
灰色系统
数理统计
模糊数学
聚类分析
无分类
模型名称
所在目录
1，国有企业业绩分化的数学模型
2，打假问题的机理数学分析
3，足球比赛排名问题
4，大象群落的稳定性分析
5，火车便餐最有价格方案
6，影院最优设计方案
7，国有企业业绩分化的数学模型
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
生态系统稳定性的数学建模
生态系统稳定性的数学建模随着人类文明的发展，大规模的人类活动不断地对生态环境造成着破坏和影响。
生态系统的灵敏度和复杂性使得其对外界扰动的响应很难预测和控制，而深入地理解生态系统的稳定性则是促进生态环境保护和可持续发展的关键所在。
因此，如何进行生态系统的数学建模，分析生态环境的稳定性与复杂性之间的关联，成为了当代生态学中的热门议题之一。
一、生态系统稳定性的概念及其评估方法生态系统的稳定性指的是生态系统在一定时间范围内，总的而言具有相对稳定的组成结构与功能，使其能够维持一定的物质循环和能量流动，以适应外界环境的变化和压力。
总的而言，生态系统稳定性包括以下两个层面的含义：1. 内部稳定性：这里指生态系统中各种生物种群之间的竞争和相互作用关系，及其与环境的适应性。
当生态系统内部生物种群的多样性和物质循环的平衡能够在一定的时间范围内保持相对稳定时，我们说这个生态系统具有较高的内部稳定性。
2. 外部稳定性：指的是生态系统在承受自然和人类等外部环境压力时的抵御能力。
这里的外部因素包括气候变化、人类活动、物种扩散等。
一个稳定和健康的生态系统应该能够在外部环境变化的压力下保持自我控制和自我修复的能力，从而具有持续性和可持续性。
评估生态系统的稳定性的常用方法包括：1. 稳定性指数：数学模型用于计算各种生物种群之间的相互作用关系、物质循环的平衡和生态系统的复杂程度等，从而评估生态系统的稳定性。
其中稳定性指数通常用点度中心性、图中介数、团数量和节点与边缘距离等参数进行计算。
稳定性指数越高，生态系统的稳定性越好。
2. 生态网络：通过对生态系统内部各生物物种及其之间相互关系的建模，将整个生态系统看作一个网络，通过对生态网络拓扑结构和动态过程的研究，了解生态系统内部各个生物物种之间的相互作用和对外界环境的响应，评估生态系统的稳定性。
二、应用动力系统理论进行动力系统理论是用于描述和分析动态现象的一种数学理论，是近年来生态学研究中普遍采用的工具之一。
动物的繁殖与收获数学建模
动物的繁殖与收获数学建模繁殖和收获是动物世界中最基本的生存活动，而在人类社会中，它们也是经济发展和物质生产的重要组成部分。
因此，动物的繁殖和收获问题一直受到人们的广泛关注和研究。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用数学建模方法解决动物的繁殖和收获问题。
首先，让我们来看看动物的繁殖问题。
生物学家发现，动物的繁殖过程是一个复杂的生物学系统，它受到许多因素的影响，如环境、饲养条件、互相作用等。
如何预测一种动物的繁殖趋势和数量呢？这就需要用到数学建模的方法了。
首先，建立一个简单的数学模型，考虑到动物种群数量增长的主要因素包括出生率和死亡率，可以使用如下的微分方程来描述：$dN/dt = rN - dN$其中N表示动物种群的数量，r表示每个体单位时间内出生的平均数，d表示每个体单位时间内死亡的平均数。
这个微分方程使用了一阶线性微分方程的形式，它可以用基本的数学工具进行求解，例如欧拉方法、Runge-Kutta方法等。
通过模拟运行，我们可以预测各自平衡时种群数量的增减规律，以及系统的稳定性和灵敏性。
然而，在实际应用中，由于动物群体内部自身组成成份及其生态环境的复杂性，微分方程中可能需要设定多个参数，因此，需要精细处理动物种群中的生态因素，从而使模型更加真实准确。
接着，让我们考虑到养殖业中的动物收获问题。
在养殖业中，动物的收获是指对动物进行捕捞、捕猎、屠宰等活动，以取得相应的经济利益。
如何确定一个适当的收获量？这也需要用到数学建模的方法。
以渔业为例，渔业的经济效益主要取决于捕获的鱼类数量和价格，以及运输成本等，因此，可以建立一个简单的收获经济模型，它可以用来预测在不同条件下的最优捕捞量（例如，最大化不同的经济指标，如利润、产量等）。
在收获经济模型中，主要需要确定的参数包括捕捞成本、售价、捕捞时间、渔场规模等，以及考虑到其他因素的影响，比如，环境保护、渔业法规、还鱼和放流措施的操作等因素，这些因素需要在模型中进行适当的处理，以保证模型本身的可靠性。
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F(x是,y第) 一象限的正定函数，且 F(x,y是)包k围点 的R(闭x*轨,y*线) 。
时k0
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（ Predator）， 二 者 共 处 组 成 食 饵 - 捕 食 者 系 统
（简称P-P系统）。20世纪初以来一些生态学家、
数学家对这个系统的数学模型和它的解的性质的研
究，一直保持着浓厚的兴趣。
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12
历史背景
一次世界大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例
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13
伏特拉模型
食饵x和捕食者y遵从Malthus规律
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10
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11
三、捕食者与被捕食者模型
处于同一自然环境中的种群有一种有趣的生存方
式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙则靠
掠食甲为生。如地中海里的食用鱼与鲨鱼，加拿大
森林中的美洲兔与山猫，阿尔卑斯山中的落叶松与
芽虫等都是这种生存方式的典型，生态学上称种群
甲 为 食 饵 （ Prey）， 称 种 群 乙 为 捕 食 者
闭轨线对应着方程的周期解 x(t),y，(t)
记周期为T，周期解增减性由闭轨线的方向决定。
可以看出，食饵 x(t) 的变化比捕食者 y(t)
提前了 T 。
4
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18
一周期T内的平均值作为食饵和捕食者数量 的近似度量，即
得
x
r2
2
,
y
r1
1
这表明食饵和捕食者在平衡点R的值正好代表
了它们的（平均）数量。
需要考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用
的影响两个方面，故常用的形式为
1 dx x dt
f1( x, y )
或
1 dy y dt
f2(x, y)
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3
伏特拉（V.Volterra）模型
dx dt
x(a1
b1x
c1 y)
dy dt
y(a2
b2 x
c2
y)
其中，a1, a分2 别为种群x、y的固有增长率，其正负由
1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同
一种食物资源，各自的存在对对方不利，故
c10,b2；0
2.互惠共存型：即两种群的存在，都对对方有利，
对对方的数量起增长促进作用，则
。
3c.捕1食0,与b2被捕0食型：即种群y以种群x为食物来源，
这时种群x的存在对种群y的增长有利，而y对x不利，
故
。
c10,b20
2 1
按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判 断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法 来解决这个问题。
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相轨线 积分得
dyy(r2 2x) dx x(r11y)
r 2 lx n 2 x r 1 ly n 1 y c 1
改写成 2(x x * ) r 2ln x x *1 (y y * ) r 1ln y y * c
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模型解释
x
r2
2
,
y
r1
1
从x、y的值可以看到，食饵的数量取决于模型 的两个参数r2和λ2，而捕食者的数量取决于模型 的另两个参数r1和λ1。当食饵的自然增长率r1下 降时，捕食者的数量将减少，这就是说，在弱肉
强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少，
而当捕食者掠取食饵的能力λ1提高时也会使捕食 者减少。另一方面，捕食者死亡率r2的下降，或 者食饵对捕食者供养能力λ2的提高，都将导致食 饵的减少。
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5
二、种群的相互竞争模型
根据上面的分析，相互竞争模型的一般形式为
dx dt
x(a1
b1x
c1 y)
dy dt
y(a2
b2 x
c2 y)
其中参数 a1,b1,c1,a2全,b2 是,c2 正数，
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6
具体分析：
x、y遵从Logistic规律，r1, r2 是它们的固有增 长率，k1, k是2 它们的最大容量，于是
生物种群模型
朱建青
（苏州科技学院信息与计算科学系）
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1
生物种群模型
一、两种群模型 二、种群的相互竞争模型 三、捕食者与被捕食者模型 四、三种群模型
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2
一、两种群模型
设x（t）、y（t）分别表示两种群在t时刻的数 量或密度，建立模型时考虑各自的相对增长率
1 dx, x dt
1 dy y dt
dx dt
r1 x
d dxtx(r11y)
其中
反映捕食者掠取食饵的能力。
1
dy dt
r2
y
d dy t y(r22x)
其中
反映食饵对捕食者的供养能力。
2
伏特拉模型
ddxtx(r1 1y) ddyty(r整2理ppt 2x)
1,2,r1,r20
14
模型分析
平衡点
O(0,0),
R(r2 ,r1)
它们各自的食物来源而确定，例如当x种群的食物
是y种群以外的自然资源时，a1 0；而x种群仅以y种
群的生物为食时， a1。0 反b1x映,c的2y是各种群内部的
密度制约因素，即种内竞争，故
b 。10,c20
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4
b2 ,的c1 正负要根据这两种群之间相互作用的形 式而定，一般分为以下三种情况。
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20
现回答开头提出问题，在上述结果的基础上考虑
人工捕获的影响。设表示捕获能力的系数为 ，h1
r1 r1 h
r2 r2 h
x1r2h1,y1r1h1
2
1
战争时期捕获能力的下降 h2,h2 h1
x2
r2 h2
2
,y2
r1
h2
1
得
x1
x2
,
y1
y2
整理ppt
21
整理ppt
22
x、y遵从Logistic规律
整理ppt
8
稳定性分析：
由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点
r1x(1kx1
1
y)0 k2
r2y(12
x k1
y)0 k2
求解可得 P 1 ( k 1 , 0 ),P 2 ( 0 , k 2 ),P 4 ( 0 , 0 )
P3(k11 (11 12),k12 (11 2 2))
整理ppt
9
平衡点稳定性的判断，结果如图所示
ddxtr1x(1kx1 1ky2) ddytr2y(12kx1ky2)
dx dt
r1x(1
x k1
)
d d x tr1x(1kx11ky2)
的1 意义：单位数量y（相对 k而2 言）消耗的供养
x的食物量为单位数量x（相对 而k 1言）消耗的供
养x的食物量的 倍 1。（竞争能力）
整理ppt7Fra bibliotek类似地，可得
ddytr2y(12kx1ky2)
从而得相互竞争模型
ddxtr1x(1kx1 1ky2) ddytr2y(12kx1ky2)