运筹学习题答案(第一章)
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学1至6章知识题参备考资料答案解析
运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学（第五版）习题答案
运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max 12z x x =+51x +102x £50 1x +2x ³1 2x £4 1x ，2x ³0 （2）min z=1x +1.52x 1x +32x ³3 1x +2x ³2 1x ，2x ³0 （3）max z=21x +22x 1x -2x ³-1 -0.51x +2x £2 1x ，2x ³0 （4）max z=1x +2x 1x -2x ³0 31x -2x £-3 1x ，2x ³0 解：（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-2 1x +2x +33x -4x £14 -21x +32x -3x +24x ³2 1x ，2x ，3x ³0，4x 无约束无约束（2）max kk z s p =11nmk ik ik i k z a x ===åå11(1,...,)mikk xi n =-=-=åik x ³0 (i=1(i=1……n; k=1,…,m) （1）解：设z=-z ¢,4x =5x -6x , 5x ,6x ³0 标准型：标准型：Max z ¢=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t . -41x +2x -23x +5x -6x +10x =2 1x +2x +33x -5x +6x +7x =14 -21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =2 1x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ³0 初始单纯形表: j c ® 3 -4 2 -5 5 0 0 -M -M i qB C B Xb 1x 2x 3x 5x6x7x 8x9x10x-M 10x 2 -4 1 -2 1 -1 0 0 0 1 2 0 7x14 1 1 3 -1 1 1 0 0 0 14 -M 9x2 -2 [3] -1 2 -2 0 -1 1 0 2/3 -z ¢4M 3-6M 4M-4 2-3M 3M-5 5-3M 0 -M 0 0 (2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得：，得： Max s=(1/kp )1n i=å1m k =åik a ik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t. 11mi ik k x x =+=å(i=1,2,3(i=1,2,3……,n) ik x ³0, i x ³0, (i=1,2,3(i=1,2,3……n; k=1,2….,m) M 是任意正整数是任意正整数 初始单纯形表：初始单纯形表： jc-M -M … -M 11k a p 12k a p… 1mk ap (1)n k a p 2n k a p …mnkapi qB C BXb 1x2x … n x11x12x … 1mx … 1n x2n x… nmx -M 1x1 1 0 … 0 1 1 … … 0 0 … 0 -M 2x 1 0 1 … 0 0 … … 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … … … … … … -M n x 1 0 0 … 1 0 0 … 0 … 1 1 … 1 -s n M 0 0 … 0 11k a M p +12ka Mp + … 1mk a M p + (1)n k aM p +2n k a M p +…mnk a M p +1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
运筹学答案(1,2章)
1.1解（1）用图1-1中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数123z x x =+，即21133z x x =-+是斜率为13-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线1233x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至A 点，A 点坐标为(2,4)。
所以 max 23414z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（2）用图1-2中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数121.5z x x =+，即212233x x z =-+是斜率为23-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。
将直线121.53x x +=沿其法线方向逐渐向下平移，直至B 点，B 点坐标为31(,)22。
所以 319max 1.5224z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（3）用图1-3中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数1222z x x =+，即212zx x =-+是斜率为1-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解。
在将直线12220x x +=沿其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：目标函数的值可以增加到无穷大，故此线性规划问题为无界解。
（4）如图1-4所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。
1.4 (2)解法一：图解法图中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数1225z x x =+，即21255z x x =-+是斜率为25-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解，将直线12250x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至B 点，B 点坐标为（2，6）。
所以 m a x22563z =⨯+⨯=解法2：单纯形法将上述问题化为标准型如下：12345max 25000z x x x x x =++++132412512345 + =4 212..3x 2 =18,,,,0x x x x s t x x x x x x x ⎧⎪+=⎪⎨++⎪⎪≥⎩下面用单纯形法进行计算，见下表：表的最终结果表明：最优解(2,6,2,0,0)TX=目标函数最优值m a x34z=迭代第一步得(1)(0,0,4,12,18)TX=表示图中原点。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。
答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。
解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。
具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。
第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。
答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点 当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 点 ； 当 在 到 之间时最优解为图中的 c/d大于 且c大于等于 时最优解为图中的 点；当c/d 大于5/2且 大于等于 时最优解为图中的B点 大于等于0时最优解为图中的 大于 小于3/10且 d大于 时最优解为图中的 点 ； 当 c/d大于 大于0时最优解为图中的 小于 且 大于 时最优解为图中的C点 大于 5/2且c小于等于 时或当 小于 小于等于0时或当 小于3/10且d小于 时最优解 小于0时最优解 且 小于等于 时或当c/d小于 且 小于 为图中的原点。 为图中的原点。
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
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第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
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(1)
(2)
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 st 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0, ( j 1, 4) j
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(3) max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st. 5 x1 10 5 x 8 2
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
唯一最优解， x1 10, x2 6, Z 16
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第一章习题解答
max Z 4 x1 x2 3 x1 x2 3 4 x 3 x x 6 (3) 1 2 3 st x1 2 x2 x4 4 , j 1, ,4） x j 0（ 该题是唯一最优解： 2 9 17 x1 , x2 , x3 1, x4 0, Z 5 5 5
(4)
该问题有无界解
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第一章习题解答
1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
式中，1≤c1≤3, 4≤c2≤6, -1≤a11≤3, 2≤a12≤5, 8≤b1≤12, 2≤a21≤5, 4≤a22≤6, 10≤b2≤14,试确定 目标函数最优值的下界和上界。
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第一章习题解答
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 2 x1 2 x2 3x31 3x32 x1 x2 x31 x32 4 st 2 x1 x2 x31 x32 x4 6 x1 , x2 , x31 , x32 , x4 0
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第一章习题解答
l.5 上题(1)中，若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d 基 x2 b 3/2 c x1 0 d x2 1 0 x3 5/14 0 x4 -3/4
max Z x1 4 x2 3 x1 5 x2 8 st .4 x1 6 x2 10 x ,x 0 1 2
最优值（下界）为：6.4
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第一章习题解答
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解 下列线性规划问题，并指出属哪—类解。
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第一章习题解答
(2) min Z 2 x1 2 x2 3x3 x1 x2 x3 4 st 2 x1 x2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
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min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 (1) 4 st 1 2 3 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束 max Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x41 5 x42 4 x1 x2 2 x3 x41 x42 2 x x x 2 x 2 x x 14 2 3 41 42 5 st 1 2 x1 3x2 x3 x41 x42 x6 2 x1 , x2 , x3 , x41 , x42 , x6 0
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第一章习题解答
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。
max Z 3x1 x2 2 x3 12x1 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z 2 x1 3x2 4 x1 6 x2 6 st .2 x1 2 x2 4 x ,x 0 1 2
max Z 3x1 6 x2 1x1 2 x2 12 st . 2 x1 4 x2 14 x ,x 0 1 2
最优值（上界）为：21
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第一章习题解答
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
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(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
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第一章习题解答
(1) min Z 2 x1 3x2 4 x1 6 x2 6 st .2 x1 2 x2 4 x ,x 0 1 2 1 , Z 3是一个最优解 3
x1 0 0 0
x2 3 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 0 3 8 5
x6 0 0 0
Z 3 3 0
0.75
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0
0
0
2
2.25
2.25
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第一章习题解答
(2) min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 st 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0, ( j 1, 4) j
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第一章习题解答
(1) max Z 3x1 x2 2 x3 12x1 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
c
x1
j
1
1 0
0 0
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 A点；当 c/d大于5/2且c大于等于0时最优解为图中的B点；当c/d 小于 3/10 且 d 大于 0 时最优解为图中的 C 点；当 c/d 大于 5/2且c小于等于0时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解 为图中的原点。
无穷多最优解， x1 1, x2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 (2) st .3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2 该问题无解
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第一章习题解答
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
min Z 2 x1 2 x2 3 x3 x1 x2 x3 4 st 2 x1 x2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
(1)
(2)
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max Z 3 x1 x2 2 x3 x1 x2 x3 6 2 x x 2 (1) 1 3 st 2 x2 x3 0 , j 1, ,3） x j 0（ 该题是无界解。
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第一章习题解答
min Z 2 x1 3x2 x3 x1 4 x2 2 x3 8 (2) st.3x1 2 x2 6 x , x 0 1 2 该题是无穷多最优解。 9 4 最优解之一：x1 , x2 , x3 0, Z 6 5 Z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 st.3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2 max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2