工程流体水力学第四章习题答案

第四章 理想流体动力学和平面势流答案

4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径1212d d =

，21

2

d D

=，过流断面1-1处压强p 1>大气压强p a 。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头

线和测压管水头线。

解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。

4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h ＝150mmH 2O ，空气的密度ρa =1.20kg/m 3，水的密度ρ =1000kg/m 3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c =1，试求空气流速u 0。

解：由伯努利方程得

2002s a a p u p g g g

ρρ+= 0

0a 2(

)s p p u g g

ρ-=

（1） 式中s p 为驻点压强。 由压差计得 0s p gh p ρ+=

0s p p gh ρ-= （2）

联立解（1）（2）两式得

0a a 1000

2229.80.15m/s 49.5m/s 1.2

gh h u g

g g ρρρρ===⨯⨯⨯= 4－3 设用一装有液体（密度ρs =820kg/m 3）的压差计测定宽渠道水流中A 点和B 点的

流速，如图所示。已知h 1 =1m ，h 2 =0.6m ，不计能量损失，试求A 点流速u A 和B 点流速u B 。水的密度ρ =1000kg/m 3。

解：（1）1229.81m/s 4.427m/s A u gh ==⨯⨯= （2）由伯努利方程可得

22A A

A u p h g g

ρ+=

（1）

22B B

B u p h g g

ρ+= （2）

式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得

22

22A B A B

A B p p u u h h g g g

ρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以

220.82A B

A B p p h h h h g

ρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得

22

2

2 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8

B A u u h g g =--=--=⨯ 29.80.892m/s 4.18m/s B u =⨯⨯=。

4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m ，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m ，h =0.05m ；y =0.05m ，h =0.08m ；y =0.10m ，h =0.10m 。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。

解：因2u c gh =，所以

112129.80.05m/s 0.99m/s u c gh ==⨯⨯⨯= 222129.80.08m/s 1.25m/s u c gh ==⨯⨯⨯= 332129.80.10m/s 1.40m/s u c gh ==⨯⨯⨯=

过流断面上的流速分布如图所示。

4－5 已知2222

,,0,x y

z y x

u u u x y x y -=

==++试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。

解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。

2222d d d d d x y y x u x u y x y x y x y -Φ=+=

+++22

2d d 1d()1()y x x y y

y x y x x

-+==++

积分上式可得arctan

Φ=y x

（2）

2222222

2(),()Φ∂∂-==∂∂++y xy

x x x y x y 22222222

22(),0()ΦΦ∂∂-∂===∂∂++∂x xy y y x y x y z 222222

2200()()

xy xy

x y x y -+=++ 满足拉普拉斯方程。

4－6 已知22x y u x y -=

+，22

y

x

u x y =+，0z u =，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程。

解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数ψ。等流函数线方程即为流线方程。

d d d 0x y u y u x ψ=-=，2222

d d 0y x

y x x y x y

-

-=++ 2222

d d 0y x

y x x y x y

+=++，222

2d()0x y x y +=+ 积分上式可得

22ln()x y C ψ=+=

（2）迹线方程

d d x y

x y

u u =， 2222

d d x y

y x x y x y =-++ 2222()d ()d x y x x x y y y -+=+

2222

d d 0y y x x

x y x y

+=++，222

2d()0x y x y +=+ 积分上式可得

22ln()x y C +=

4－7 已知u x =－ky ，u y =kx ，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数）。

解：流函数和流线方程：22

d d d d d [d()]2

x y k

u y u x ky y kx x x y ψ=-=--=-+ 积分上式可得

22x y ψ=+

迹线方程:

d d d -0

x y z ky kx == 222x y r +=，z C =

由上式可知，流线为平行于Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。

4－8 已知u x =4x ，u y =－4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。 解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数ψ和速度势函数Φ。