线性回归模型与随机误差
二元线性回归模型及参数估计
要估计二元线性回归模型 Yi = β0 + β1X1i + β2 X 2i + µi 中的 常用的方法仍然是普通最小二乘法 参数 β 0 、 β 1 、 β 2 ，常用的方法仍然是 普通最小二乘法 常用的方法仍然是 普通最小二乘法。
i=1 设根据给定一组样本数据（ Y i， X 1i， X 2i）， ，2 ，…， n ， 设根据给定一组样本数据 采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为
ˆ 差（即 ∆X j = SXj） ，则被解释变量 Y 变化β ∗ 个标准差（即 j
ˆ ∆Y = β ∗ SY ） 。 j
ˆ∗ ˆ∗ β1 =1.02， β2 = 0.24，则表示：解释变量 X1 变化 1 个 例如
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变 量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标 准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
1．偏回归系数的估计 ．
对于二元线性回归模型：
Yi = β 0 + β1X1i + β 2 X 2i + µi ， i=1， 2， … ， n
其中的参数 β 0 、 β 1 、 β 2 称为偏回归系数。
，
所谓偏回归系数， 所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前 偏回归系数 的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时， 的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释 变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值， 变量变化一个单位而使被解释变量 平均改变的数值，即某一 平均改变的数值 解释变量对被解释变量Y的影响程度。 解释变量对被解释变量 的影响程度。 的影响程度
第4章 回归模型中的随机误差项问题
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2
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例4.1 根据随机抽取的21个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭 纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中， x为 年内家庭纯货币收入（元）， y为年底家庭储蓄余额（元）。
表4.1 家庭储蓄余额与纯货币收入数据表
• 最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小 方差性。 • 参数的显著性检验和置信区间的建立发生困难。 • 虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但这些参数 方差的估计量、是有偏的。 • 预测的精确度降低。
2014年4月25日
山东财经大学统计学院计量经济教研室
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第二节 异 方 差 一、异方差及其产生的原因
当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同 次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即
Var(u | xi ) i2 常数
(i 1,2, ,n)
则称随机误差项u具有异方差性(Heteroscedasticity)。 如果被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的 变化而变化的，如图4.1所示，可以把异方差看成是 由于某个解释变量的变化而引起的，则
Y X u
使得其中的 U 重新满足假定2(同方差性)和假定3(无序列 相关性)。这样就可以对上式使用OLS估计参数，从而 使得上式的OLSE仍然为BLUE。 若因假定2和假定3不满足时，有
2 Cov(u) E(uu) u
其中Ω≠I， Ω是一个n×n的正定对称方阵。
2014年4月25日 山东财经大学统计学院计量经济教研室 第 7页
计量经济学 (手打)
计量经济学一、判断1.随机误差项u i与残差项e i是一回事。
（×，残差 e i是随机误差项 u i的一个近似（估计值））2.总体回归函数给出了与自变量每个取值相对应的应变量的值。
（×，总体回归函数给出了在解释变量给定条件下被解释变量的条件均值。
）3.线性回归模型意味着模型变量是线性的。
（×，线性回归模型是指所建立的模型中的回归系数为线性，而其中的解释变量不要求一定为线性的。
）4.在线性回归模型中，解释变量是因，应变量是果。
（×，通常情况下，解释变量与被解释变量之间的因果关系是由经济理论决定的，而不是由回归模型决定的。
）5.随机变量的条件均值与非条件均值是一回事。
（×，只有 X 和Y 独立时 E(Y/X)和E(Y)才相等。
）6.式Y I=B1+B2X i+u i中的回归系数B是随机变量，但式Y I=b1+b2X i+u i中的回归系数 b 是参数。
（×，b s是随机变量，而 B s是参数。
）7.式E(Y/X i)=B1+B2X i中的斜率B2度量了X的单位变动引起的Y的倾斜度。
（×，它度量了 X 每变动一单位 Y 的均值的变化量。
）i8.实践中双变量回归模型没有什么用，因为应变量的变化不可能仅由一个解释 变量来解释。
（×，不一定，实际上，有很多经济现象可以通过两变量模型来解释，例如在资产组合理论中通常会以某一证券的回报率为被解释变量，以股 票市场指数（如 S&P 500 指数）为解释变量进行回归。
回归结果中斜率的估计值就是在资产组合理论中得到广泛运用的 β 系数。
）9.OLS 就是是误差平方和最小化的估计过程。
（×，其最小化的是残差平方和，即最小化∑e 2。
）10.计算 OLS 估计量无需古典线性回归模型的基本假定。
（√）11.高斯-马尔科夫定理是 OLS 的理论依据。
（√）12.在双变量回归模型中，若扰动项 u i 服从正态分布，则 b 2 是 B 2 更准确的估计值。
第四章--方差分量线性回归模型
第四章 方差分量线性回归模型本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。
我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。
最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics 》上发表的。
第一节 随机效应与方差分量模型一、随机效应回归模型前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。
我们从资料对npi i i X X Y 11},,{ 出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X 1，…，X p 看作非随机的。
但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。
我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。
究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。
比如一般情况下消费函数可写为)(0T X b C C（4.1.1）这里X 是居民收入，T 是税收，C 0是生存基本消费，b 是待估系数。
加上随机扰动项，就是一元线性回归模型)(0T X b C C（4.1.2）那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。
如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。
如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。
对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。
我们希望通过X 预测Y ，也就是要寻找一个函数),,()(1p X X M X M Y ，当X 的观察值为x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即22)]([min )]([X L Y E X M Y E L（4.1.3）这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。
由于当)|()(X Y E X M（4.1.4）时，容易证明0)]()()][([ X L X M X M Y E（4.1.5）故当)|()(X Y E X M 时，222)]()([)]([)]([X L X M E X M Y E X L Y E（4.1.6）要使上式左边极小，只有取)|()()(X Y E X M X L 。
计量经济学名词解释和简答题
计量经济学 第一部分：名词解释第一章1、模型：对现实的描述和模拟。
2、广义计量经济学：利用经济理论、统计学和数学定量研究经济现象的经济计量方法的统称，包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法等。
3、狭义计量经济学：以揭示经济现象中的因果关系为目的，在数学上主要应用回归分析方法。
第二章1、总体回归函数：指在给定Xi 下Y 分布的总体均值与Xi 所形成的函数关系（或者说总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）。
2、样本回归函数：指从总体中抽出的关于Y ，X 的若干组值形成的样本所建立的回归函数。
3、随机的总体回归函数：含有随机干扰项的总体回归函数（是相对于条件期望形式而言的）。
4、线性回归模型：既指对变量是线性的，也指对参数β为线性的，即解释变量与参数β只以他们的1次方出现。
5、随机干扰项：即随机误差项，是一个随机变量，是针对总体回归函数而言的。
6、残差项：是一随机变量，是针对样本回归函数而言的。
7、条件期望：即条件均值，指X 取特定值Xi 时Y 的期望值。
8、回归系数：回归模型中βo ，β1等未知但却是固定的参数。
9、回归系数的估计量：指用01,ββ等表示的用已知样本提供的信息所估计出来总体未知参数的结果。
10、最小二乘法：又称最小平方法，指根据使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法。
11、最大似然法：又称最大或然法，指用生产该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。
12、估计量的标准差：度量一个变量变化大小的测量值。
13、总离差平方和：用TSS 表示，用以度量被解释变量的总变动。
14、回归平方和：用ESS 表示：度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化部分。
15、残差平方和：用RSS 表示：度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量以外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。
16、协方差：用Cov （X ，Y ）表示，度量X,Y 两个变量关联程度的统计量。
17、拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度，用2R 表示，该值越接近1，模型对样本观测值拟合得越好。
计量经济学复习
第二章 一元线性回归模型1.随机误差项形成的原因：① 在解释变量中被忽略的因素 ② 变量观测值的观测误差 ③ 模型的关系误差或设定误差 ④ 其他随机因素的影响。
2.总体回归方程和样本回归方程的区别和联系：总体回归方程是对总体变量间关系的定量表述,条件均值E(Y|X=x)是x 的一个函数 ,记作:E(Y|X=x)=f(x),其中,f(x)为x 的某个函数 ,它表明在X=x 下,Y 的条件均值与x 之间的关系。
但实际中往往不可能得到总体的全部资料 ,只能先从总体中抽取一个样本,获得样本回归方程 ,并用它对总体回归方程做出统计推断。
通过样本回归方程按照一定的准则近似地估计总体回归方程 ,但由于样本回归方程随着样本的不同而有所不同,所以这种高估或低估是不可避免的。
3.随机误差项的假定条件：（1）零均值：随机误差项具有零均值，即E( )=0，i=1，2，… （2）随机误差项具有同方差： 即每个 对应的随机误差项 具有相同的常数方差。
Var( )=Var( )= ，i=1,2，… （3）无序列相关：即任意两个 和 所对应的随机误差项 、 是不相关的。
Cov( , )=E( )=0,i j,i,j=1,2,… （4）解释变量X 是确定性变量，与随机误差项不相关。
Cov( , )=E( )=0，此假定保证解释变量X 是非随机变量。
（5） 服从正态分布， ～N(0, )4.为什么用决定系数 评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？判定系数 = = 1- ，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解释变量总变化的比重,用来判定回归直线拟合的优劣。
该值越大说明拟合得越好。
而残差平方和值的大小受变量值大小的影响,不适合具有不同量纲的模型的比较。
5.可决系数 说明了什么？在简单线性回归中它与斜率系数的t 检验的关系是什么？可决系数 是对模型拟合优度的综合度量 ,其值越大,说明在Y 的总变差中由模型作出了解释的部分占得比重越大 ,模 型的拟合优度越高 ,模型总体线性关系的显著性越强。
多元线性回归模型及其应用-毕业论文
多元线性回归模型及其应用摘要本文介绍了多元线性回归模型，其过程分为模型构建、模型参数估计、模型检验和模型预测等几个方面。
通过对与我国物价指数CPI相关的几个因素建立初始多元线性回归模型，分析CPI的影响因素，之后对该模型进行各种统计检验，在模型检验中发现初始模型中有部分变量的系数不能通过检验，可能存在多重共线性的问题，最后采用逐步回归分析法来进行去除显著性不高的变量，并且建立新的模型，最终找出了影响CPI的关键要素是农业生产资料价格和人均GDP，通过最终确定的CPI与其影响因素之间的线性回归方程可以清晰地得到各个指标对CPI的影响大小，进而为我国控制CPI提供方向性的建议指导。
关键词多元线性回归 CPI影响因素逐步回归Multiple linear regression model and its applicationAbstract This article introduces the multiple linear regression model, and its process is divided into several aspects: model construction, model parameter estimation, model testing and model prediction. By establishing an initial multiple linear regression model on several factors related to China's price index CPI, analyzing the influencing factors of CPI, and then carrying out various statistical tests on the model, it is found in the model test that the coefficients of some variables in the initial model cannot pass Test, there may be a problem of multicollinearity, and finally use a stepwise regression analysis method to remove less significant variables, and establish a new model, and finally find out that the key factors affecting CPI are agricultural production materials prices and GDP per capita, Through the final linear regression equation between the CPI and its influencing factors, we can clearly get the impact of various indicators on the CPI, and then provide directional recommendations for the control of CPI in China.Key words Multiple linear regression CPI influencing factors stepwise regression目录引言 (1)1. 多元线性回归分析基本理论 (2)1.1 多元线性回归模型的一般形式 (2)1.2 多元线性回归模型的基本假设 (2)1.3 参数估计 (2)1.3.1 回归系数的估计 (2)1.3.2 样本方差的估计 (3)1.4 模型检验 (3)1.4.1 回归方程的显著性检验 (4)1.4.2 回归系数的显著性检验 (4)1.4.3 回归方程的拟合优度检验 (4)1.5 模型预测 (5)1.6 自变量的筛选方法 (5)2. 多元线性回归在CPI影响因素中的应用 (6)2.1 数据筛选 (6)2.1.1 指标选取 (6)2.1.2 数据收集 (6)2.2实证分析 (7)2.1.3 建立模型 (7)2.1.4 参数估计 (8)2.1.5 模型检验 (8)2.1.6 模型优化 (9)2.1.7 残差检验 (11)结论与建议 (13)参考文献 (14)致谢................................................................ 错误!未定义书签。
线性回归模型的经典假设
古典线性回归模型假设是如下：
1、零均值假定。
即在给定xt的条件下，随机误差项的数学期望（均值）为0，即E（ut）=0。
2、同方差假定。
误差项ut的方差与t无关，为一个常数。
3、无自相关假定。
即不同的误差项相互独立。
4、解释变量与随机误差项不相关假定。
5、正态性假定，即假定误差项ut服从均值为0，方差为西塔的平方的正态分布。
相关准则：
1、自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关。
2、自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的。
3、自变量之间应具有一定的互斥性，即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之间的相关程度。
4、自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。
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2.求回归直线方程
y bxa
(了解最小
二乘法的思想)
n
b
xiyi nxy
i 1
n
xi2
2
nx
a ybx
(x, y)称为样本点的中心.
i 1
3、用回归直线方程解决应用问题.
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6
最小二乘法求线性回归方程
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
x x1 x2 xn n
7. 了解相关指数 R2 和模型 拟合的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用
9. 利用线性回归模型解决一 类非线性回归问题
10.正确理解分析方法与结果
可编辑ppt
2
温故而知新
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
一、现实生活中的两个量有各种关系 1、函数关系：是一种确定的关系
2、相关关系：是一种不确定的关系
15
谢谢!再见
y y1 y2 yn n
(x, y) 称为样本点的中心。
n
b
(xi x)( yi y)
i 1
n
(xi x)2
x1 y1 x2 y2 x12 x22
xn yn nx y xn2 nx2
i 1
a y bx
a, b 是线性回归方程的系数. 小结：求回归方程的步骤：
求(x, y) bˆ 可编辑ppt aˆ 列方程
可编辑ppt
10
思考
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
2、从散点图还看到，样本点散布在某一条直
线的附近，而不是在一条直线上，所以不能
用一次函数y=bx+a描述它们关系.
75
70
65
体重/kg
60
55
50
45
40
150
155
160
165
170
175
180
185
身高/cm
如何描述身高和体重和关系呢？
例如：
(1)商品销售收入与广告费之间的关系；
(2)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系；
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Hale Waihona Puke 3随堂练习数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1、下列变量之间的关系是函数关系的是 （） Ａ．人的身高与体重 Ｂ．看电视的时间与近视发生率 Ｃ．球的体积与半径 Ｄ．农作物的施肥量与产量
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4
温故而知新
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
二、自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关 关系.
三、对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的方法叫回归分析.
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5
四、回归分析的基本步骤是：
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1.选取变量，画散点图，确定相关关系
思考1:产生随机误差e的原因是什么？
1.忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因 素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、
饮食习惯、生长环境等因素；
2.用线性回归模型近似真实模型引起的误差；
3.身高 y 的观测误差.
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13
思考
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
思考2：以上三项误差越小，说明我们的回归 模型的拟合效果越好还是越差？
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11
线性回归模型
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
我们用线性回归模型 y=bx+a+e，来表示 身高 和体重之间的关系.
其中a,b为模型的未知参数e称为随机误差.
把自变量x称为解释变量，因变量y称为预 报变量.
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12
思考
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
线性回归模型 与随机误差
新增的内容
数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法
的思想 3. 求回归直线方程
y＝bx＋a 4. 用回归直线方程
解决应用问题
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
选修１-２——统计案例 5. 引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e
产生的原因
思考3：预报变量的值由哪些量确定？解释变 量能够全部解释预报变量的变化吗？
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14
课堂小结
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
问1：你学到了哪些知识？ 1．一次函数模型 2. 线性回归方程的求解， 3.随机误差的概念及产生的原因
问2：你了解了哪些思想方法？
化归；统计模型
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(3) 身高172cm女大学生体重
yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
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思考
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1、身高为172ｃｍ的女大学生的体重一定是 60.316kg吗？如果不是,其原因是什么?
答：身高为172cm的女大学生的体重不一 定是60.316kg，但一般可以认为她的体重 接近于60.316kg.
7
典型例题
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例题1 从某大学中随机选出8名女大学生， 其身高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 64 61 43 59
(1)画出散点图；(2)求根据一名女大学生的 身高预报她的体重的回归方程；(3)并预报 一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重.
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8
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
由于问题中要求 75
根据身高预报体
70 65
体重/kg
重，因此选取身 60
高为自变量，体
55 50
重为因变量． 1. 散点图；
45
40
150
155
160
165
170
175
180
185
身高/cm
2.回归方程：
yˆ 0.849x 85.172