北京市朝阳区2020-2021学年度高二下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（ ） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （ ） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】 平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】 先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1， 身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10， 分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（ ）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米 【答案】A【解析】【分析】 先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ， 所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（ ）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =， 因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误； 由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+， 即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。
2020-2021学年北京市石景山区高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xD.y=log 12x3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 355.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2+lnx，则（）x时f（x）取到极大值A.x= 12时f（x）取到极小值B.x= 12C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 271259.（单选题，4分）已知函数f（x）=e x-a|x|有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e）D.（e，+∞）10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙11.（填空题，4分）函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=___ ．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：13.（填空题，4分）已知f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．20.（问答题，9分）已知函数f（x）=xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}【正确答案】：B【解析】：求出集合A，由此能求出A∪B．【解答】：解：∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，B={x|-2＜x≤1}，∴A∪B={x|-2＜x≤2}．故选：B．【点评】：本题考查并集及其运算和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xxD.y=log 12【正确答案】：A【解析】：根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案．【解答】：解：对于A，y= √x+1在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y=（x-1）2是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；）x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（12x是对数函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，y=log 12【点评】：本题考查函数单调性的性质与判断，需注意常见函数的单调性，属于基础题．3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列【正确答案】：C【解析】：根据：若a，A，b构成等比数列，则A2=ab，即可对选项逐一判断．【解答】：解：由于1+9≠2×3，所以a 32≠a1a9，即a1、a3、a9不能构成等比数列，选项A错误．由于2+6≠2×3，所以a 32≠a2a6，即a2、a3、a6不能构成等比数列，选项B错误．由于3+9=2×6，所以a 62 =a3a9，即a3、a6、a9能构成等比数列，选项C正确．由2+8≠2×4，所以a 42≠a2a8，即a2、a4、a8不能构成等比数列，选项D错误．故选：C．【点评】：本题主要考查等比数列的性质，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 35【正确答案】：D【解析】：易知10个小球中除5个白球外还有5个小球，其中黑球有3个，所以利用古典概型概率计算公式即可得出所求事件的概率．【解答】：解：根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，．所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为35【点评】：本题考查古典概型概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：C【解析】：可以得出log1213＞log2e＞1，ln2＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】：解：∵ log1213=log23＞log2e＞log22=1，ln2＜lne=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说明．【解答】：解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足a+d=b+c，但a，b，c，d 依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c“是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．【点评】：本题考查充分必要条件，考查等差数列的概念，属于基础题．7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2x+lnx，则（）A.x= 12时f（x）取到极大值B.x= 12时f（x）取到极小值C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值【正确答案】：D【解析】：可求得f′（x）= x−2x2，然后判断f（x）的单调性，再得到f（x）的极值点和极值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x +lnx（x＞0），∴f′（x）= x−2x2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）取到极小值．故选：D．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125【正确答案】：A【解析】：本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】：解：由题意知，本题是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C 320.62×0.4+C 330.63=54+27125 = 81125故选：A ．【点评】：本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e ）D.（e ，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|有2个零点；当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，对其求导分析可得在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，即可得其最小值，分析可得必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a 的取值范围，综合可得答案．【解答】：解：函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则函数y=e x 与y=a|x|有3个不同的交点， 则必有a ＞0，图象如图：当x ＜0时，函数y=e x 与y=a|x|有1个交点，即x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，若函数函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点； 当x ＞0时，f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，其导数f′（x ）=e x -a ，令f′（x ）=e x -a=0可得，x=lna ，分析可得：在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，当x=lna 时，f （x ）=e x -ax 有最小值，即f （x ）min =f （lna ）=a-alna ，若（0，+∞）上，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点，必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a ＞e ，综合可得：a 的取值范围为（e ，+∞）；故选：D．【点评】：本题考查函数的零点判定定理，涉及函数的图象，关键是分析函数y=e x与y=a|x|的交点情况．10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【正确答案】：A【解析】：分别讨论甲、乙、丙预测正确，然后进行推导，判断是否符合题意即可．【解答】：解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高，丙的成绩比乙低，故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙也预测正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲预测错误，即丙的成绩比乙高，乙的成绩比甲高，故丙的成绩比甲、乙都高，即乙的预测也正确，不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．11.（填空题，4分）函数f （x ）=x•e x 的导函数f′（x ）=___ ． 【正确答案】：[1]（1+x ）e x【解析】：根据函数的导数运算公式即可得到结论．【解答】：解：函数的导数f′（x ）=e x +xe x =（1+x ）e x ， 故答案为：（1+x ）e x【点评】：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：【正确答案】：[1]4760【解析】：由表可知，投资成功、失败的概率分别为 192200 、 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，再结合数学期望的计算公式即可得解．【解答】：解：由题表可知，投资成功的概率为 192200 ，投资失败的概率为 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，所以该公司一年后估计可获收益的数学期望为5×12%× 192200 -5×50%× 8200 =0.476万元=4760元．故答案为：4760．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．13.（填空题，4分）已知f （x ）=-x 3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0]【解析】：由f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减⇒f′（x）=-3x2+a≤0恒成立，从而可得答案．【解答】：解：∵f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，∴f′（x）=-3x2+a≤0在定义域R上恒成立，∴a≤（3x2）min，又3x2≥0，∴a≤0，∴数a的取值范围为（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知可得数列的前几项，得到数列是以3为周期的周期数列，则答案可求．【解答】：解：由a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），得a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，..．∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，又2021=3×673+2，∴a2021=a2=5．故答案为：5．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，求出数列的周期是关键，是基础题．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ②【解析】：分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，【解答】：解：① y=1x可得A1={y|y＞1}，A2={y|0＜y＜1}，A3={y|y＞1}，A4={y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故① 具有性质“g”；② y=x2+1：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，可得A1={y|1＜y＜2}，A2={y|2＜y＜5}，A3={y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故② 具有性质“g”；x)+2：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，③ y=cos(π2可得A1={y|2＜y＜3}，A2={y|1＜y＜2}，A3={y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故③ 不具有性质“g”．故答案为：① ② ．【点评】：本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的单调性和运用，以及集合的运算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n=log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】：解：（1）设等比数列的公比为q，由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0，解得q=-2（舍）或q=4．∴ a n=a1q n−1=2×4n−1=22n−1；（2）b n =log 2a n = log 222n−1=2n −1 ， ∵b 1=1，b n+1-b n =2（n+1）-1-2n+1=2，∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和 T n =n ×1+n (n−1)×22=n 2 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查对数的运算性质，是基础题．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为选出的4人中种子选手的人数，求X 的分布列．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得，P （A ）= C 21•C 31•C 32C 84=935 ；（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，4， 则P （X=1）= C 51C 33C 84 = 114 ，P （X=2）= C 52C 32C 84 = 37 ，P （X=3）= C 53C 31C 84 = 37 ，P （X=4）= C 54C 30C 84 = 114 ，所以X 的分布列为：【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），分a＞0，a=0，a＜0，分别利用导数的正负研究函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的单调性，即可求出[0，1]上的单调性，即可得到函数f（x）的最值．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=2x3-ax2+2，则f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），令f'（x）=0，解得x=0或x= a3，① 当a＞0时，则当x＜0或x＞a3时，f'（x）＞0，当0＜x＜a3时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（-∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为（0，a3）；② 当a=0时，f（x）在R上单调递增；③ 当a＜0时，当x＜a3或x＞0时，f'（x）＞0，当a3＜x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，a3），（0，+∞），单调递减区间为（a3，0）．（Ⅱ）当0＜a＜3时，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，a3）上单调递减，（a3，1）递增，所以f（x）在[0，1]的最小值为f(a3)=−a327+2，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a，不妨设最小值为m，最大值为M，则m= −a 327+2 ，则M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．【点评】：本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43，利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （ξ=0）= 3343 ；P （ξ=1）= ∁31×3243 ；P （ξ=2）= ∁32×343 ；P （ξ=3）= 143，即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43， ∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1= A 4343 = 38（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （X=0）= 3343 = 2764；P （X=1）=∁31×3243 = 2764； P （X=2）= ∁32×343 = 964； P （X=3）= 143 = 164 ． ∴X 的分布列为：∴期望Eξ=0× 64 +1× 64 + 2×64 +3× 64 = 4 ．【点评】：本题考查了分步计数原理、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，9分）已知函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ． （Ⅰ）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出f'（x ），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）将问题转化为lnx-x+k-1≤0恒成立，构造函数g （x ）=lnx-x+k-1，利用导数求解g （x ）的最值，即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ，定义域为（0，+∞）， f'（x ）=1+lnx+k ，则f'（1）=1+k ，由f （1）=k ， 故切点为（1，k ），切线的斜率为1+k ，所以y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-k=（1+k ）（x-1），即y=（k+1）x-1； （Ⅱ）不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，即lnx+k≤x+1恒成立，即lnx-x+k-1≤0恒成立， 令g （x ）=lnx-x+k-1，则g'（x ）= 1x −1 ，令g'（x ）=0，解得x=1， 当0＜x ＜1时，g'（x ）＞0，则g （x ）单调递增， 当x ＞1时，g'（x ）＜0，则g （x ）单调递减， 则g （x ）的最大值为g （1）=k-2， 所以k-2≤0，即k≤2， 故k 的取值范围为（-∞，2]．【点评】：本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．。
高中数学选择性必修二 北京一零一实验学校高二下学期期末数学试题(含答案)
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
∴满足 的 的值是 .
故答案为：
14.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ －m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得 的最小值，以及 的最大值，根据已知条件的等价转化，列出不等式，则问题得解.
【详解】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g（2）＝ －m，
对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
12.写出“ ”的一个充分不必要条件_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先由不等式 求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“ ”的一个充分不必要条件.
（2）设函数 为“ 函数”，且存在 ，使 ，求证：
（3）试写出一个“ 函数”，满足 ，且使集合 中元素最少（只需写出你的结论）
【答案】（1） 是“ 函数”， 不是“ 函数”；（2）证明见解析；（3） (答案不唯一).
【解析】
【分析】（1）利用“ 函数”定义，结合 与 解析式，判断 上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数 的大小，进而确定是否为“ 函数”；
A.16B.25C.9D.36
【答案】B
【区级联考】北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末质量检测数学试题
【区级联考】北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D 2．下列图形中，有稳定性的是( )A ．长方形B ．梯形C ．平行四边形D ．三角形3．若分式1x x -的值等于0，则x 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语中有“刹那”、“转眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒，将0.013用科学计数法表示为（ ）A ．21.310-⨯B ．31.310-⨯C ．31310-⨯D ．41.310-⨯ 5．若图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 在BC 的延长线上，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点P ，则下列结论中不一定．．．正确的是( )A ．∠ACD =2∠AB ．∠A =2∠PC ．BP ⊥ACD ．BC =CP 7．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( )A ．()ax ay a x y -=-B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．298(3)(3)8x x x x x -+=+-+D ．2(32)(32)49a a a ---=- 8．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” (如图)就是一例.这个三角形给出了()na b +(n =1，2，3，4，5，6)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，等等.有如下三个结论：①当a =1,b =1时，代数式++++432234a 4a b 6a b 4ab b 的值是1；②当a =-1,b =2时，代数式++++432234a 4a b 6a b 4ab b 的值是1；③当代数式432436942781a a a a +⨯+⨯+⨯+的值是1时，a 的值是-2或-4.上述结论中，所有正确结论的序号为( )A ．①②B ．②C ．③D ．②③二、填空题9x 的取值范围是_________．10．计算：(3)(2)x x +-=___．11．如图，在五边形ABCDE 中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______°．12．已知26x x a -+是完全平方式，则a 的值为____________．13．等腰三角形的一个内角是80︒，则它的顶角度数是_______________．14．如图所示，AB 交CD 于O 点，OA =OB ，请你添加一个条件，使得△AOC ≌△BOD ，你添加的条件是__15．如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地，此时可以判断C ，D 到B 的距离相等，用到的数学道理是___．16．如图，∠AOB =30°，点M ，N 在射线OA 上(都不与点O 重合)，且MN =2，点P 在射线OB 上，若△MPN 为等腰直角三角形，则PO 的长为 ___．三、解答题17()02019--18．计算：()32126+33a a a a -÷．19．已知：如图，D 是BC 上的一点，AB=BD ， DE ∥AB ，∠A=∠DBE ．求证： AC=BE ．20．计算：221a a b a b---． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 是AC 上一点，E 是BC 延长线上一点，连接BD ，DE ，若∠ABD ＝20°，BD =DE ，求∠CDE 的度数．22．已知x y -=求代数式()()21221x y y x x ++---的值. 23．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为S =的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC 中，7,5,6a b c ===.(1)求△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，求线段CD 的长.24．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是三角形内一点，连接AD ，BD ，CD ，∠BDC =90°，∠DBC =45°．(1)求证：∠BAD =∠CAD ；(2)求∠ADB 的度数．26．观察下列式子：2622464+=--，5325434+=--，210224104-+=---，135213454-+=---…… 按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)填空：()12()414+=--； (2)再写出两个式子；(3)把这个规律用字母表示出来，并说明其正确性(不必写出字母的取值范围).27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．(1)如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1；②求证：∠EAC =∠EDC ；(2)如图2，点C 在直线AB 的上方， 0°＜∠CAB ＜30°，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段AB 及点P ，给出如下定义：若点P 满足P A=PB ，则称P 为线段AB 的“轴点”，其中，当0°＜∠APB ＜60°时，称P 为线段AB 的“远轴点”；当60°≤∠APB ≤180°时，称P 为线段AB 的“近轴点”.(1)如图1，点A ，B 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在1(1,3)P -，2(0,2)P ，3(0,1)P-，4(0,4)P 中，线段AB 的“近轴点”是 .(2)如图2，点A 的坐标为(3，0)，点B 在y 轴正半轴上，且∠OAB =30°.①若P 为线段AB 的“远轴点”，直接写出点P 的横坐标t 的取值范围 ；②点C 为y 轴上的动点(不与点B 重合且BC ≠AB )，若Q 为线段AB 的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.参考答案1．B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.2．D【解析】【分析】根据三角形的特征和四边形的特征解答，本题中，三角形具有稳定性，四边形容易变形，长方形、平行四边形和梯形都属于四边形.【详解】解：三角形具有稳定性，四边形容易变形，长方形、平行四边形和梯形都属于四边形，所以选择D.【点睛】本题关键是掌握三角形的特征和四边形的特征，三角形具有稳定性，例如：生活中，房屋上用的三角形钢梁就是利用三角形的稳定性；四边形容易变形，例如：生活中，可以伸缩的大门就是利用四边形容易变形的特征.3．B【解析】【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，解关于x的不等式组，求出x的值，即可得到答案．【详解】解：∵分式1xx-的值为0，∴10xx-=⎧⎨≠⎩，解得x=1且x≠0.故选B．【点睛】本题考查分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是解题的关键. 4．A【解析】【分析】根据科学计数法的表示即可求解.【详解】0.013=21.310-⨯故选A.【点睛】此题主要考查科学计数法的表示，解题的关键是熟知负指数幂的应用. 5．B【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等即可解答.【详解】解：已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，由图可知边a相邻的两个角分别为60°，70°，所求角为边a的对角，所以∠1=180-60°-70°=50°.所以本题选B.【点睛】掌握两个三角形全等，对应边，对应角相等是解答本题的关键.6．C【解析】【分析】根据题中的条件可以一一分析解答.【详解】已知在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，可得∠A＝∠ABC，∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，且∠ACD＝∠A＋∠ABC＝2∠A，故A正确.又因为∠ACD＝∠A＋∠ABC＝2∠A，∠ACP＝∠PCD，所以∠A＝∠ACP，可得AB//P C.又因为AB//PC，可得∠ABP＝∠P，即∠A＝2∠P，B正确.又因为∠CBP＝∠P，所以BC＝CP，D正确.C没有足够的条件证明，错误.故本题选C.【点睛】能够正确转化相关条件是解答本题的关键.7．A【解析】【分析】根据题意，因式分解就是把多项式化成成整式的积的形式，依据定义即可判断，故即可得到题目的答案．【详解】解：A. 结果是整式的积的形式，故是因式分解，选项正确；B. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D. 结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；故选A.【点睛】此题主要考查的是因式分解的定义的有关知识，题目中等难度，考查学生对因式分解的定义的知识的掌握程度，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型． 8．D【解析】【分析】由“杨辉三角”构造方法判断即可确定结论的正确性.【详解】解：①当a ＝1,b ＝1时，代数式()4432234a 4a b 6a b 4ab b a b ＋＋＋＋＝＋＝16，故结论错误. ②当a ＝1,b ＝1时，代数式()4432234a 4a b 6a b 4ab b a b ＋＋＋＋＝＋＝1，故结论正确.③代数式()4432a 4?3a 6?9a 4?27a 81a 3＋＋＋＋＝＋，值是1时，所以a 的值是－2或－4，故结论正确.故选D.【点睛】此题考查了完全平方公式，弄清“杨辉三角”构造方法是解本题的关键．9．x≥-1【分析】根据二次根式的性质即可求解.【详解】依题意得x+1≥0，解得x≥-1故填：x≥-1【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.10．x 2＋x －6【解析】【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．【详解】解：()()32x x -＋＝x 2－2x ＋3x －6＝ x 2＋x －6故答案为：x 2＋x －6.【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．360o .【分析】根据任意多边形外角和为360o 解答本题.【详解】根据多边形的外角和为0360，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360o .故答案为360o .【点睛】本题考查了任意多边形外角和为360o 知识点，掌握该知识点是解答本题的关键.12．9【解析】【分析】根据完全平方式的结构是：a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2两种，据此即可求解．【详解】解：a ＝（62）2＝9． 故答案为9．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，掌握完全平方公式是解答本题的关键.13．20度或80度【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．14．OC =OD【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD (SAS ).故答案为OC =OD .【点睛】考查全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.15．答案不唯一，如：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【解析】【分析】由题意有AB 是线段DC 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质即可推出C ，D 到B 点的距离相等.【详解】因为AB ⊥DC 且DA ＝CA ，所以BA 是线段DC 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，可知：BD ＝BC ，即C ，D 到B 的距离相等.【点睛】本题的解题方法有多种，主要考查在拥有一定已知条件的情况下，如何证明两个线段相等，除去上述方法以外，还可以认为是△BDA 与△BCA 全等，所以C ，D 到B 的距离相等.16．2或4【解析】【分析】△MPN是等腰直角三角形，则有三种可能：∠PMN是直角，∠MPN是直角，∠PNM是直角，根据角度和边长的关系，分三种情况一一讨论，求出PO的长度.【详解】情况一，∠PMN＝90°，则PM＝MN=2.在△OPM中，∠PMO＝90°，∠O＝30°，所以PO＝2×PM＝4.情况二，∠MPN＝90°，则PN＝PM过P做PC垂直OA于C，易知PC＝1.△OCP 中，∠O＝30°，∠PCO＝90°，所以OP＝2×PC＝2.情况三，∠PNM＝90°，由于OB上不存在这样的P点满足条件，所以该情况不会出现. 综上，PO的长度为2或4.【点睛】解本题的关键在于，看清P点的取法并不唯一，导致本题的答案也并不唯一，应当每一个情况都要考虑，以免漏答.17．-1.【解析】【分析】本题涉及零指数幂、二次根式的化简、绝对值三个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】原式=1-=-1．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算，同时还要注意运算符号的变化.18．4a 2-2a+1.【解析】【分析】根据多项式除以单项式的法则，分别算出括号内每一项除以3a 的值，再将这些值相加即可.【详解】()32126+33a a a a -÷ 2421a a =-+．【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则，即先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，直接计算即可.19．证明见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可.【详解】∵DE ∥AB ，∴∠ABC=∠EDB ．在△ABC 和△BDE 中A=DBE AB=BDABC=EDB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ABC ≌△BDE ．∴AC=BE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.20．22b a b -. 【分析】最简公分母为(a ＋b)(a －b)，所以通分得()()a b a b a b ++-－()()a ab a b +-，然后对分子运算，得()()b a b a b +-，最后约分. 【详解】221a a b a b--- ()()1a a b a b a b =--+- ()()()()a b a a b a b a b a b +=-+-+- 22b a b =-． 【点睛】在进行分式的加减运算时，在通分前如果分子分母有相同的项，要注意先把相同项约掉，且一定要保持最终的结果是最简分式.21．∠CDE =20°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，进而可得∠BDC ＝30°，由BD ＝DE 可得∠E ＝∠BDC ＝30°，再根据三角形外角的性质得∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ，即可得到∠CDE 的大小.【详解】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，∴=50ABC ACB ∠∠=︒ ．∵∠ABD ＝20°，∴∠DBC ＝30°．∵BD =DE ，∴30E DBC ∠=∠=︒ ．∵∠ACB =∠CDE +∠E ，∴∠CDE =20°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解答本题的关键.22．2.【解析】【分析】先将代数式化简，再根据x －y .【详解】()()21221x y y x x ++---2221221x x y xy x =+++---222x y xy =+-()2x y =-．x y -=当 原式=2．【点睛】本题主要考查代数式的化简，掌握代数式运算的法则、牢记完全平方公式是解答本题的关键.23．(1)(2)CD =【解析】【分析】（1）根据2a b c p ＋＋＝，S （2）根据三角形面积公式求出CD 的长即可.【详解】(1)根据题意=92a b c p ++=．∴S ===(2)∵1=?2S AB CD，∴1·2AB CD=．∴CD=【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力以及三角形面积公式，利用海伦——秦九韶公式求出题中三角形的面积是解题的关键.24．特快列车的平均速度为100千米/时．【解析】【分析】设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度为2.4x千米/时，根据题中“乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时”列出分式方程求解即可.【详解】设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度为2.4x千米/时．由题意，得1200120072.4x x=+．解得100x=．经检验，100x=是原方程的解，且符合题意．答：特快列车的平均速度为100千米/时．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中所给的等量关系.25．(1)证明见解析；(2)∠ADB=135°．【分析】（1）根据∠BDC=90°，∠DBC=45°可推出DBDC，进而可证△ABD≌△ACD，即可证得∠BAD ＝∠CAD；（2）根据△ABD≌△ACD，可得∠ADB＝∠ADC，又根据∠BDC＝90°，∠ADB＋∠ADC ＋∠BDC ＝360°，即可求出∠ADB 的大小.【详解】(1)∵∠BDC =90°，∠DBC =45°，∴∠DCB=∠DBC =45°．∴DB =DC ．在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ，,∴△ABD ≌△ACD ．∴∠BAD =∠CAD ．(2)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB =∠ADC ．∵∠BDC =90°，∴∠ADB =135°．【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证出△ADB ≌△ACD.26．(1)7，7；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）观察给定等式，发现两分数的分子之和是8，分母是分子－4，根据规律填空即可；（2）根据规律写出两个式子即可；（3）将观察到的规律用字母表示出来，将等式的左边通分、合并同类项，得出结果后与等式的右边进行比较，从而得出结论.【详解】 (1)()()7127414+=--． (2)答案不唯一，如：113211434-+=---，9129414-+=---． (3)8244x x x x-+=--．其中x ≠4．说明如下：844844284x x x xx x x x x x 左边-=+---=+---=- =2=右边． ∴8244x x x x-+=--成立． 【点睛】本题考查了数字的变化以及分解因式，解题的关键是发现等式前面两分子数之和为定值8，并利用分解因式的方法证明该结论.27．(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA ＝EB ，CA ＝CB ，根据等边三角形的性质可得CA ＝CD ，因此CD ＝CB ，即可证得∠EDC ＝∠B ；（2）如图，在EB 上截取EF ，使EF =CE ，连接CF ．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC ＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA ＝60°，所以∠AEB ＝120°，进而可推出△CEF 是等边三角形，因此△CDF ≌△CBE ，故BE ＝DF ＝CE ＋DE.【详解】(1)①补全图形如图所示．②∵直线m 是AB 的垂直平分线，∴EA=EB ，CA=CB ．∴∠EAC =∠B ．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD．∴CD=CB．∴∠EDC=∠B．∴∠EAC=∠EDC．(2)BE=CE+DE．如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=60°．∴CD=CB．∴∠EDC=∠EBC．∴∠EDC=∠EAC．∵∠1=∠2，∴∠DEA=∠ACD=60°．∴∠AEB=120°．∵EA=EB，m⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=60°．∴△CEF是等边三角形．∴∠CEF=∠CFE=60°．∴△CDF≌△CBE．∴DF=BE．∴BE=CE+DE．【点睛】本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.28．(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【解析】【分析】（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．【详解】(1)P2 , P3．(2)①t＜0或t＞3．②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．当点B，C在直线l的同侧时，对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．∵QA+QC≥AC，AC≥AO∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．∵∠OAB=30°，AQ=BQ，∴∠QBA=∠QBO=30°．∴OQ=12 BQ．在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．∴3x=3．解得x=1．∴Q(1，0)．当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.。
2020-2021学年北京市东城区三年级(下)期末数学试卷(学生版+解析版)
2020-2021学年北京市东城区三年级（下）期末数学试卷一、直接写出下面各题的得数。
（8分）1．直接写出下面各题的得数。
50×70＝18×3＝400÷4＝15×20＝600×2＝0÷7＝270÷9＝93÷3＝二、填空。
（17分）2．一年有个月；2021年共有天；一天是小时。
3．在横线上填“＞”“＜”或“＝”。
66÷366×30÷980×980.8+0.60.8﹣0.64．这支油画棒的长度是厘米。
（括号里填小数）5．指南针是我国古代的四大发明之一，它的指针一端指向南，另一端指向。
6．在横线上填写适当的单位名称。
一张课桌桌面的面积大约是25 ；一间教室地面的面积大约是60 。
7．陈叔叔公司的工作时间是“朝九晚五”，意思是上午9时上班，下午5时下班。
①在如图的公告栏中用24时计时法表示这个公司员工的上、下班时间。
②按这个规定，陈叔叔一天工作小时。
8．下面两个图形是由相同的小正方形拼成的，这两个图形的面积。
（填“相等”或“不相等”）三、选择正确答案的序号填在括号里。
（10分）9．下面的物品中，最便宜的是（）A．B．C．D．10．35×16的结果比34×16的结果大（）A．1B．16C．34D．3511．王老师为同学们买了29本书，每本书的价格在22元至29元之间，这些书的总价格大约（）A．不到300元B．在300元到600元之间C．在600元到900元之间D．超过900元12．一根铁丝正好可以围成一个边长是2厘米的正方形，把这根铁丝展开再围成一个长方形（无剩余），这个长方形的面积可能是（）平方厘米。
A．3B．7C．12D．1513．物流公司的张叔叔早上6时开货车从沈阳出发，平均每小时行驶90千米，当天下午2时到达北京。
下面问题中，需要用到上面的所有信息才能解决的问题是（）A．张叔叔几时从沈阳出发？B．张叔叔从沈阳到北京需要多少小时？C．张叔叔从沈阳到北京大约行驶了多少千米？D．张叔叔如果途中休息了1小时，几时到北京？四、列竖式计算下面各题（带*号的题要验算）。
2020-2021学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：150（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标1.（单选题，5分）已知复数z=1+ii是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.63.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 234.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π66.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900 920 900 850 910 920乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ=（）e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμA.3B. 13C.-3D. −138.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：95 90 85 80 75 70 65 60 60以下成绩（分）人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A.65B.70C.75D.809.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 是棱AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足A 1M⊥C 1E ，则线段AM 的长的最小值为（ ） A. √55 B.2√55 C.1 D. √5210.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.511.（填空题，5分）已知平面向量 a ⃗ =（2，k ）， b ⃗⃗ =（3，2），且 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则实数k=___ ． 12.（填空题，5分）若复数z=a 2+a-2+（a 2-1）i 为纯虚数，则实数a 的值为 ___ ．13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ．17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）20.（问答题，14分）在锐角△ABC 中， A =π6，BC =√7 ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点．且DE=2．再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC 的值； （Ⅱ）∠BDE 的大小； （Ⅲ）四边形BCED 的面积． 条件 ① ： AB =3√3 ； 条件 ② ： cosB =√2114； 条件 ③ ：EC=3．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z=1+ii（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）【正确答案】：B【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵ z=1+ii = (1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面内对应的点的坐标是（1，-1）．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.6【正确答案】：D【解析】：根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】：解：四棱锥P-ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD=AB•AD=3×2=6，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD=3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P-ABCD= 13 S矩形ABCD•PD= 13×6×3=6．故选：D．【点评】：本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．3.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 23【正确答案】：B【解析】：根据不放回抽取的规则以及古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，a，b，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有（1，2），（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（a，b），（2，1），（a，1），（b，1），（a，2），（b，2），（b，a）12种，则两个球颜色相同的情况共有（1，2），（2，1），（a，b），（b，a）4种，则两个球颜色相同的概率P= 412=13，故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到不放回抽取的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】：解：n⊂α，若n⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n || β或n与β相交，相交也不一定垂直，∴“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用正弦定理，可得tanA= √3，再结合A角的范围，即可求解．【解答】：解：∵ √3asinB=3bcosA，∴由正弦定理，可得√3sinAsinB=3sinBcosA，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，tanA= √3，又∵A∈（0，π），．∴A= π3故选：C．【点评】：本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定【正确答案】：D【解析】：根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．【解答】：解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：900+920+900+850+910+9206=900，乙种水稻产量的平均数为：890+960+950+850+860+8906=900，即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为900+9102= 905，乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890＜905，故B错误，选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70，乙种的水稻产量的极差为960-850=110＞70，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：16[(850−900)2+(910−900)2+(920−900)2+(920−900)2] = 17003，乙种的水稻产量的方差为：16[(890−900)2+(960−900)2+(950−900)2 +（850-900）2+（860-900）2+（890-900）2]= 52003＞17003，因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，故选：D．【点评】：本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμ=（）A.3B. 13C.-3D. −13【正确答案】：D【解析】：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，再利用向量的线性运算性质即可得出．【解答】：解：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，∴ a⃗−b⃗⃗ =（- e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗）-（-2 e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗）= e1⃗⃗⃗⃗−3e2⃗⃗⃗⃗，则λ=1，μ=-3，所以λμ =- 13．故选：D．【点评】：本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：A.65B.70C.75D.80【正确答案】：C【解析】：计算累计频数即可．【解答】：解：因为50×40%=20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75．故选：C．【点评】：本题考查频数表的理解，属于基础题．9.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E是棱AB的中点，点M 是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）A. √55B.2√55C.1D. √52【正确答案】：B【解析】：以点A 为原点建立空间直角坐标系，再由A 1M⊥C 1E 可得M 的轨迹方程，从而由平面知识得到AM 长的最小值．【解答】：解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1（0，0，1），C 1（1，1，1），E （ 12 ，0，0），M （x ，y ，0），所以 A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，y ，-1）， C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12，-1，-1）， 因为A 1M⊥C 1E ，所以- 12 x-y+1=0，即点M 的轨迹方程为x+2y-2=0， 所以线段AM 的最小值为 2√12+22=2√55， 故选：B ．【点评】：本题考查空间线面关系的应用，涉及空间向量的应用，点到直线距离的最小值求法，属于中档题．10.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.5【正确答案】：C【解析】：根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合λ1，λ2，λ3的取值范围，即可求解．【解答】：解：∵不共线的平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角相等，∴平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角都为120°，∵| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |=2，| c⃗ |=3，，b⃗⃗•c⃗=−3，∴ a⃗•b⃗⃗=−1，a⃗•c⃗=−32|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2 = λ12+4λ22+9λ32−2λ1λ2−6λ2λ3−3λ1λ3 = (λ1−λ2)2+(3λ3−λ2)2+2λ22−3λ1λ3，∵λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，∴当λ1=1，λ2=1，λ3=-1 时，|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2取得最大值为21，∴|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗ |的最大值为√21．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．11.（填空题，5分）已知平面向量a⃗ =（2，k），b⃗⃗ =（3，2），且a⃗⊥ b⃗⃗，则实数k=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗可得出a⃗•b⃗⃗=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=6+2k=0，解得k=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．【解答】：解：∵复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，∴ {a2+a−2=0，解得a=-2．a2−1≠0故答案为：-2．【点评】：本题考查了纯虚数的概念，属于基础题13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 16【解析】：设既选考物理又选考地理的学生有x人，然后根据已知条件求出x的值，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：设既选考物理又选考地理的学生有x人，则只选物理的人数为21-x人，只选地理的人数为14-x人，所以选考物理或地理的学生人数为21-x+14-x+x=28，解得x=7，故所求事件的概率为742=16，故答案为：16．【点评】：本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）【正确答案】：[1]不变; [2]变小【解析】：由平均数公式以及方差的计算公式分析即可．【解答】：解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，•••，x n，则有x1+x2+•••+x n=10n，方差s2=1n[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2]，所以（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2=ns2，加入一个新数10后，平均数为1n+1（x1+x2+•••+x n+10）= 10n+10n+1=10，故平均数不变；新的方差s2’= 1n+1[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2+（10-10）2]= 1n+1•ns2= nn+1•s2＜s2，故方差变小．故答案为：不变；变小．【点评】：本题考查了平均数与方差的运算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3; [2]- 116【解析】：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．【解答】：解：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， ∵等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点， ∴A （-1，0），B （0， √3 ），C （1，0）， D (12，√32) ， 设点M 的坐标为M （x ，0），-1≤x≤1，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−x ，0) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−x ，√32) ， ∴ MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1−x )(12−x)=x 2−32x +12，设f （x ）= x 2−32x +12，-1≤x≤1， ∵函数f （x ）的对称轴为 x =34 ，∴f （x ）在区间 [−1，34] 单调递减，在区间 [34，1] 单调递增，当x=-1时，f （x ）max =f （-1）=3， 当x= 34 时， f (x )min =f (34)=−116 ． 故答案为：3， −116．【点评】：本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据题意，由余弦定理和正弦定理分析四个结论，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，设△ABC 的三边长依次为n-1，n ，n+1，设最大角为A ，最小角得B ，对于 ① ，当n=4时，△ABC 的三边长依次为3，4，5，此时△ABC 为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和， ① 正确；对于 ② ，当n=3时，△ABC 的三边长依次为2，3，4，cosA= 4+9−162×2×3 ＜0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和， ② 正确； 对于 ③ ，当n=5时，△ABC 的三边长依次为4，5，6，cosA= 16+25−362×4×5 = 18 ，cosB= 25+36−162×5×6 = 34 ，有cosA=2cos 2B-1=cos2B ，则有A=2B ， ③ 正确；对于 ④ ，假设存在符合题意的三角形，则A=3B ，则有 n+1sinA = nsinC = n−1sinB ， 又由A=3B ，则sinA=sin3B=3sinB-4sin 3B ，sinC=sin （A+B ）=sin4B ，n+1sin3B = n sin4B = n−1sinB ，变形可得：n-1= n 8cos 3B−4cosB = n+14cos 2B−1， 由n-1= n+14cos 2B−1 ，可得2cos 2B= nn−1 ， 而n-1= n8cos 3B−4cosB ，联立可得：n 2-n-8=0，无整数解，即不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形， ④ 错误； 故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，属于中档题． 17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（II）由已知条件cosA=√64，运用三角函数的同角公式，可得sinA= √104，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2=a2+√62bc，又∵由余弦定理，可得cosA=b 2+c2−a22bc，∴ cosA=√62bc2bc=√64．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜A＜π2，∴ sinA=√1−cos2A=√104．∵B=2A，∴ sinB=sin2A=2sinAcosA=2×√104×√64=√154又∵ b=√6，asinA =bsinB，∴ a=bsinAsinB =√6×√104√154=2．【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知利用正方体的性质可证BD || EF，根据线面平行的判定即可得解．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF || CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG || DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF || BG，利用正方体的性质可证BE || GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG || EC1，通过证明EC1 || AF，可得点C1在平面AEF内．【解答】：解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE || DF，BE=DF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD || EF，又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD || 平面AEF．（Ⅱ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，所以EF⊥AA1，EF⊥AC，又因为AC∩AA1=A，所以EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）点C1在平面AEF内，理由如下：取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DF || CG，DF=CG，所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG || DC，FG=DC，又因为AB || DC，AB=DC，所以AB || FG，AB=FG，所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF || BG，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，所以BE || GC1，BE=GC1，所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG || EC1，所以EC1 || AF，故点C1在平面AEF内．【点评】：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）【正确答案】：【解析】：（1）根据每组的小矩形的面积之和为1可解决此问题；（2）可先计算P（M⃗⃗⃗），然后计算P（M）=1-P（M⃗⃗⃗）；（3）先计算市民心理健康调查评分的平均值，再计算市民心理健康指数的平均值，可解决此问题．【解答】：解：（Ⅰ）由已知条件可得n=2000.02×10=1000，又因为每组的小矩形的面积之和为1．所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10=1，解得t=0.002；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t=0.002，所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P(M)=34×23×23=13，所以P(M)=1−P(M)=1−13=23，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为23；（Ⅲ）由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807＞0.75．所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．【点评】：本题考查频率分布直方图中某个矩形对应纵坐标算法、平均数算法、独立事件概率算法，考查数学运算能力，属于中档题．20.（问答题，14分）在锐角△ABC中，A=π6，BC=√7，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE=2．再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC的值；（Ⅱ）∠BDE的大小；（Ⅲ）四边形BCED的面积．条件① ：AB=3√3；条件② ：cosB=√2114；条件③ ：EC=3．【正确答案】：【解析】：选条件① ③ 时，（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用三角形的面积公式的应用求出结果．选条件② ③ 时，（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用作差法的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：选条件① ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，BC=√7，AB=3√3，又因为在△ABC中，ABsinC =BCsinA，所以sinC=AB⋅sinABC =3√3×12√7=3√2114．（II）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．在△ABC中，因为AB2=BC2+AC2-2BC⋅AC⋅cosC，所以27=7+AC2−2√7AC×√714，即AC2-AC-20=0，解得AC=5．又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6．故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为AB=3√3，A=π6，由（Ⅱ）知AC=5，所以S△ABC=12AB⋅AC•sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．选条件② ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，cosB=√2114，所以0＜B＜π2，sinB=√1−cos2B=5√714．所以sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA 5√714×√32×√2114×12=3√2114．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：ACsinB =BCsinA，得AC=BC⋅sinBsinA=√7×5√71412=5，又因为EC=3，所以AE=2，又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．由余弦定理得：AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅cosC=7+25−2×√7×5×√714=27，解得：AB=3√3．所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用T 点列的定义进行判断即可；（Ⅱ）利用{A n }为T 点列，得到对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ，分析得出 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ，∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角，然后由余弦定理判断即可；（Ⅲ）利用{A n }为T 点列，a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得a m+k -a l ＞a m -a l-k ，再由 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ，即可判断得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）{A n }为T 点列．理由如下： 由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，1n+1−1n )，j =(0，1) ，所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =1n+1−1n ，f (n +1)−f (n )=1n+2−1n+1−(1n+1−1n )=2n (n+1)(n+2)＞0 ， 即f （n+1）＞f （n ），n=1，2，…，所以 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 为T 点列； （Ⅱ）由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，a n+1−a n )，j =(0，1) ， 所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a n+1−a n ， 因为{A n }为T 点列，所以f （n+1）-f （n ）=a n+2-a n+1-（a n+1-a n ）＞0，n=1，2，⋅⋅⋅， 又因为a 2＞a 1，所以a 2-a 1＞0，所以对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ， 又 |A k A k+1|2=1+(a k+1−a k )2，|A k A k+2|2=4+(a k+2−a k )2，|A k+1A k+2|2=1+(a k+2−a k+1)2 ，所以 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ， 所以∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角， 由余弦定理可得， cos∠A k A k+1A k+2=|A k+1A k+2|2+|A k A k+1|2−|A k A k+2|22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|= 2a k+12−2a k+1a k −2a k+1a k+2+2a k+2a k −22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1| =2(a k+1−a k )(a k+1−a k+2)−22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|＜0 ， 故∠A k A k+1A k+2为钝角，所以△A k A k+1A k+2为钝角三角形； （Ⅲ）由正整数k ，l ，m 满足k ＜l ＜m ，则m≥3，因为{A n }为T 点列，由（Ⅱ）知a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅， 所以a m+k -a m+k-1＞a m+k-1-a m+k-2， a m+k-1-a m+k-2＞a m+k-2-a m+k-3， ••••••a m+1-a m ＞a m -a m-1，两边分别相加可得a m+k -a m ＞a m+k-1-a m-1， 所以a m+k-1-a m-1＞a m+k-2-a m-2＞a l -a l-k ， 则a m+k -a m ＞a l -a l-k ， 所以a m+k -a l ＞a m -a l-k ，又 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m +k −l ，a m+k −a l )，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −l +k ，a m −a l−k ) ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ＞A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．。
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7．曲线 上任意一点P处的切线斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（）
A．6B．14C．49D．84
9．函数 的图象大致是（）
年份
2014
2015
2016
2017
2018
新生婴儿性别比
110.8
108.0
106.4
105.4
104.8
（1）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率（精确到0.01）；
（2）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求X的分布列和数学期望；
北京市朝阳区2020-2021学年度高二下学期期末质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
则X的数学期望 是（）
A． B． C．1D．
2．某物体作直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式 ，那么该物体在 s时的瞬时速度是（）
14．某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响.那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是___________.
15．设定义在R上的连续函数 的导函数为 ，已知函数 的图象（如图）与x轴的交点分别为 ， ， .给出下列四个命题：
A． B．
C． D．
10．已知函数 ， ，若存在 使得 ，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数 的导函数为 ，则 _________.
12．若随机变量 ，则X的数学期望 是_________.
13．从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从成绩在 ， 两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为__________.
4．D
【分析】
化简得到展开式的通项为 ，令 ，即可求得展开式的常数项.
【详解】
由题意，二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得展开式的常数项为 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.
5．B
【分析】
根据题意分2步进行分析：先从3名男生中选出2人，再从4名女生中选出2人，利用分步乘法计数原理即可求解.
【点睛】
本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
3．A
【分析】
首先求函数在 处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】
， ，根据导数的几何意义可知曲线在 处的切线的斜率 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的几何意义，重点数 的极值；
（3）若 在 时取得极值，设 ，当 时，试比较 与 大小，并说明理由.
20．已知集合 中的元素都是正整数，对任意 ，定义 .若存在正整数k，使得对任意 ，都有 ，则称集合S具有性质 .记 是集合中的 最大值.
（1）判断集合 和集合 是否具有性质 ，直接写出结论；
（2）若集合S具有性质 ，求证：
（3）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由.
18．已知函数 ， .
（1）若 ，求证：当 时， 恒成立；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）若函数 存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围.
19．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
①函数 的单调递增区间是 ， ；
②函数 的单调递增区间是 ， ；
③ 是函数 的极小值点；
④ 是函数 的极小值点.
其中，正确命题的序号是__________.
三、双空题
16．在 的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.
四、解答题
17．新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.
A．2m/sB．4m/sC．7m/sD．12m/s
3．曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
4． 的二项展开式中的常数项为（）
A．1B．6C．15D．20
5．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（）
A．12B．18C．35D．36
6．某射手每次射击击中目标的概率都是 ，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（）
故选：D
【点睛】
本题主要考查了独立重复事件的概率公式，属于基础题.
7．B
【分析】
先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求得曲线上的任意一点的斜率的取值范围.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以曲线 上任意一点P处的切线斜率的取值范围是 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
① ；
② .
参考答案
1．C
【分析】
由数学期望的计算公式直接求解即可
【详解】
解：由题意得
，
故选：C
【点睛】
此题考查由离散型随机变量的分布列求数学期望，属于基础题
2．D
【分析】
对 求导，将 代入导函数，可求出答案.
【详解】
对 求导，得 ，
当 时， （m/s），
所以物体在 s时的瞬时速度是12m/s.
故选：D.
8．C
【分析】
利用分类加法和分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
【详解】
先从3名男生中选出2人有 种，
再从4名女生中选出2人有 种，
所以共有 种，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分布乘法计算原理，考查了组合数的计算，属于基础题.
6．D
【分析】
利用 次独立重复实验恰好发生 次的概率公式计算，即可求解.
【详解】
这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，
所以概率为： ，