平面向量及其应用最新高考试题精选百度文库

一、多选题

1．下列说法中错误的为（）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°

2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列

ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +>

B ．若a b >，则cos2cos2A B <

C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径

D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=

3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（）

A ．1122

AE AB AC →

→→

B ．2AB EF →→

C ．1133

CP CA CB →

→→

D ．2233

CP CA CB →

→→

6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =?，则B =（）

A ．30

B ．45?

C ．135?

D ．150?

7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF

CE G =，

则（）

A ．12

AF AD AB =+ B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．2133

AG AD AB =

- D ．3BG GD =

8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（） A ．a b ⊥

B ．2a b +=

C ．2a b -=

D ．,60a b =?

9．（多选题）下列命题中，正确的是（） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±

10．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b +=

B ．a b ⊥

C ．()

4a b b +⊥

D ．1a b ?=-

11．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（） A ．()

m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-

C ．若ma mb =，则a b =

D ．若()0ma na a =≠，则m n =

12．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 13．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-

C ．OA O

D AD -+

D ．NQ QP MN MP ++-14．题目文件丢

失！

15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )

A ．

()2

a b + B ．

1()2a b - C ．12a b + D ．12

a b + 17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

t <<

时，夹角θ的取值范围为（）

A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23

ππ??

D ．20,3π?? ??? 19．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满

足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

20．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，

，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则

ABC 一定为直角三角形；④若3

B π

，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是

)

+∞.以上结论中正确的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（） A ．M B ．N

C ．22

D ．1

22．ABC ?内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ?与ABC ?的面积之比为

（） A ．1:4

B ．4:5

C ．2:3

D ．3:5

23．在ABC ?中，设2

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ．外心

24．在ABC ?中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则

()AG AW BC +?=（）

A ．4

B ．6

C ．10

D ．14

25．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin

sin a b OP OC m a B b A ??

?=++ ???

，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（） A ．重心

B ．内心

C ．外心

D ．垂心

26．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，

BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）

A ．21

33AB AD - B ．

33AB AD - C ．21

AB AD -+ D ．12

AB AD -

+ 27．在ABC ?中，6013ABC A b S ?∠=?=，，，则2sin 2sin sin a b c

A B C

-+-+的值等于

（） A ．

B 26

C 833

D ．2328．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．33

B ．3

(

3)2

C ．3(3]2

D ．3(3)2

29．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

30．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 31．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

???PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( )

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心

D ．外心重心内心

32．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=，4

AOB ABC S S ??=，则实数

为（） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

33．

在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM

=，则λμ+的最大值为（） A ．

7 B

．

C ．2

D ．

21 34．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD

【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以5

λ>-

且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?，则2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣，而向量的夹角范围为[]0,180??，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

【分析】

对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【

解析：ABD 【分析】

对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得

sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1

s S ab C =和正弦定

理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】

对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得

()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；

对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即

cos2cos2A B <，故B 正确；

对于C ，2

11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22

S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错

误；

对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C

A B C B C

+=-+=--?，则

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

3．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD.

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】

由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得

sin sin a c

A C

∴ sin sin 2

c C A a ==,而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<, 故3C π

或

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

4．ABD 【分析】 A.

根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长

解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

5．AC 【分析】

由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：

根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；

因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心

解析：AC 【分析】

由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：

根据三角形中线性质和平行四边形法则知，

111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →

→

→→→→→

→=+=+=+-=+, A 是正确的；

因为EF 是中位线，所以B 是正确的；

根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →

→→→→→????

==?+=+ ? ?????

，

所以C 是正确的，D 错误.

故选：AC 【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.

6．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理sin sin a b A B

=得：

sin 2sin 1b A B a ===，

由于1b a =>=，所以45B =或135B =.

故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

7．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误同理，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 11

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误同理21212

()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-

211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1

()3

GD AD AB =-

∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

8．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误; 故选：AC

【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A

正确；

()2

22a b

a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误； ()

22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；

由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

9．ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反

解析：ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；

因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，

当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换

律，但没有消去律，本题属于基础题.

10．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.

由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；

由()2

221243a b

a a

b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2

144440a b b a b b +?=?+=?-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

11．ABD 【分析】

根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】

根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，

解析：ABD 【分析】

根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】

根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一

定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.

12．AB 【分析】

若，则反向，从而；若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

13．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

; ; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

0AB BC CA AC CA ++=+=;

()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;

0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

14．无 15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC ?中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以11

AM AB BM AB BC a b =+=+=+，故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 17．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

303aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ??-+

-= ? ???,由,GB GC 不共线可得0

0b a a -=?-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】

因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,

代入30aGA bGB cGC ++=可得3()0b a GB c a GC ??-+-=

? ???, 因为,GB GC 不共线,所以0

b a

c a -=?-=?,

即b a c =???=??,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．C 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】

本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B 【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2

A B π

，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2

A π

=，因此③正确；

④由正弦定理

sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A

==，因为三角形有两解，所以

2,332

A B A πππ

>>=≠

所以3sin ,1A ??

∈ ? ???

，即(

)

3,2b ∈，故④错误.

故选：B 【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 21．C 【分析】

当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，

1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，

由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】

当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得

1ab c =?，

因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2

2>0c c c ≥，所以2c ≥，

所以()

2++222M a b b c a c ==

+=≥（当且仅当a b =时，取等号），

当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以()

++2224N a b a b ab ==

+=≤（当且仅当a b =时，取等号），

当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为22（此时，a b =）；故选：C. 【点睛】

本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 22．A 【解析】

分析：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．

详解：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，

由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ???=，所以:3:121:4BOC ABC S S ??==，故选A ．

点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直

角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 23．D 【分析】

根据已知条件可得()

2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得

()

0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线

上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】

()()()

2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?

()

20BC AC AB AM ∴?+-=

()()

0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=

设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=

20BC ME ∴?= BC ME ?⊥

ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 24．C 【解析】【分析】

取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则0DW BC ?=，再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】

解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心

0DW BC ∴?=

()()

22113323

AG AD AB AC AB AC ∴=

=?+=+ ()

AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()

115326

AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=

++++=++ ()()()

5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ??

∴+?=?=???++++???

()

AB A BC C =?+ ()()

C AC AB AB A =?+- ()

()2222421055

AC AB =

-=-= 故选：C

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．A 【分析】

设sin sin a B b A CH ==，则()

CP a b CH

=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，

sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =+

+，()

CP a b CH

=+，由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，

∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.

故选：A. 【点睛】

本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求