线性方程组解题方法技巧与题型归纳
线性方程组的应用题解题技巧
线性方程组的应用题解题技巧线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
本文将介绍一些解线性方程组应用题的技巧和方法。
一、问题分析在解决线性方程组的应用题之前，首先要仔细分析问题，理解题意，并确定问题所涉及的未知量及其关系。
例如，假设有一道题目如下：某商场举行品牌促销活动，购买商品A和商品B的顾客人数总共为100人，已知购买商品A的人数是购买商品B的人数的两倍，而购买商品B的人数是购买商品A和商品B总人数的三分之一。
求购买商品A和商品B的人数各是多少？对于这道题目，首先需要明确以下几个未知量：设购买商品A的人数为x人，购买商品B的人数为y人。
二、建立方程建立数学模型是解决线性方程组的应用题的关键。
根据问题的描述，可以建立相应的方程来表示所给的条件。
对于上述题目，根据题意，可以建立如下两个方程：x + y = 100 （购买商品A和商品B的顾客总数为100人）x = 2y （购买商品A的人数是购买商品B的人数的两倍）三、解方程组解方程组是确定未知量的过程。
可以使用代入法、消元法、特殊解法等方法来解方程组。
以此题为例，我们可以使用代入法求解：将第二个方程中的x用y代入第一个方程中，得到：2y + y = 1003y = 100y = 100/3y ≈ 33.33将y的值代入第二个方程中，得到：x = 2 * 33.33x ≈ 66.67所以，购买商品A和商品B的人数分别约为66.67人和33.33人。
四、验证答案解方程组之后，需要对结果进行验证，确保其符合实际情况及原始问题的要求。
在这个例子中，我们可以将买商品A的人数66.67加上买商品B的人数33.33，得到总人数100，符合题目要求。
因此，答案是正确的。
五、总结解决线性方程组应用题的关键在于准确理解题意，建立正确的数学模型，并采用合适的解题方法进行求解。
通过以上的解题技巧与方法，我们可以更加迅速和准确地解决线性方程组应用题，提高数学问题解决的能力。
线性方程组的解法知识点总结
线性方程组的解法知识点总结在数学中，线性方程组是一类常见且重要的数学问题。
解线性方程组可以帮助我们找到变量之间的关系，从而求出满足一组条件的未知数值。
本文将总结线性方程组的解法知识点，包括高斯消元法、矩阵法、克莱姆法则以及向量法等。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它通过一系列的行变换将线性方程组转化为行简化阶梯形，从而求解方程组的解。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 转换为增广矩阵将线性方程组转换为增广矩阵，其中矩阵的最右侧一列是常数项。
2. 主元选择选择合适的主元，使得消元过程更加简化。
通常选择系数绝对值最大的元素作为主元。
3. 消元操作通过行变换的方式，将主元所在的列下面的元素全部消为零。
这一步需要注意保持增广矩阵的形式，并且避免除0操作。
4. 回代求解将简化后的增广矩阵转化为线性方程组，根据系数矩阵的特殊形式，我们可以通过回代的方式求解出未知量。
二、矩阵法矩阵法是另一种常用的求解线性方程组的方法，它利用矩阵的运算性质，将方程组转化为矩阵的乘法运算。
其基本步骤如下：1. 构建系数矩阵将线性方程组的系数写成矩阵的形式，形成系数矩阵A。
2. 构建常数矩阵将线性方程组的常数项写成矩阵的形式，形成常数矩阵B。
3. 求解逆矩阵判断系数矩阵的逆矩阵是否存在，若存在，则通过乘法运算求得未知量矩阵X。
4. 检验解将求解得到的未知量矩阵代入原方程组中，验证解的正确性。
三、克莱姆法则克莱姆法则是一种分别求解线性方程组未知量的方法，它利用行列式的性质，将方程组转化为行列式的运算。
其基本原理如下：1. 构建系数矩阵将线性方程组的系数写成矩阵的形式，形成系数矩阵A。
2. 计算行列式计算系数矩阵A的行列式值D。
3. 构建代数余子式矩阵将系数矩阵A中的某一列替换为常数矩阵B，形成代数余子式矩阵。
4. 求解未知量将代数余子式矩阵的行列式值除以系数矩阵的行列式值D，得到每个未知量的值。
四、向量法向量法是一种几何解法，通过向量的线性组合关系，求解线性方程组的未知量。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性方程组解题技巧高中数学的基础
线性方程组解题技巧高中数学的基础线性方程组是高中数学中非常重要的一个概念，它在实际问题的解决中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论一些解决线性方程组的技巧和基础知识。
一、线性方程组的定义和形式线性方程组由多个线性方程组成，每个方程都是关于未知数的代数方程。
一般而言，线性方程组的形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁nnn = n₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂nnn = n₂...a n₁x₁ + a n₂x₂ + … + a nnnn = nn其中，nnn和nn分别为已知系数和常数，n₁, n₂, … , nn为未知数。
二、解线性方程组的基本方法解线性方程组的基本方法有三种：代入法、消元法和矩阵法。
1. 代入法代入法是最常用的解线性方程组的方法之一。
它的基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的已知数，并代入到另一个方程中继续求解。
这样可以逐步减少未知数的个数，直到求得所有未知数的值。
例如，我们考虑以下线性方程组：2n + 3n = 73n - n = 4我们可以将第一个方程中的n表示为第二个方程中的已知数n，得到n = (4 + n)/3。
然后将n的值代入第一个方程中，得到2((4 + n)/3) + 3n = 7。
通过求解这个一元方程，我们可以得到n的值，再代入n的值求解n的值。
2. 消元法消元法是解线性方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过加减运算将线性方程组转化为一个简化的形式，使得其中一些系数为0，从而简化求解过程。
以两个方程的线性方程组为例，我们可以通过乘法和加减运算来达到消元的目的。
具体的步骤如下：Step 1: 将其中一个方程中的一个系数乘以某个数，使其与另一个方程中的相应系数相等。
Step 2: 将两个方程相减，得到一个新的方程，其中某个未知数的系数为0。
Step 3: 根据新的方程求解该未知数的值。
Step 4: 将求得的未知数的值代入原方程组中，逐步求解其他未知数的值。
初中数学易考知识点线性方程组的解法
初中数学易考知识点线性方程组的解法线性方程组是初中数学中的一个重要知识点，它在学习代数和方程的过程中扮演着重要的角色。
解线性方程组是求解未知数之间的关系，从而找到满足方程组的解。
本文将介绍初中数学中常见的线性方程组的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的线性方程，其一般形式可以表示为ax + b= c。
解一元一次方程的方法有两种：等式法和代入法。
等式法是通过变换等式两边的式子，从而使得方程化为a'x = c'的形式，其中a'和c'是已知常数。
这样我们就可以直接通过计算得到x的值。
代入法是将已知的x值代入到方程中，从而找到满足方程的解。
我们可以通过代入法解出x的值。
二、二元一次方程的解法二元一次方程是两个未知数的线性方程组，其一般形式可以表示为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2解二元一次方程的方法有三种：消元法、代入法和加减法。
消元法是通过加减方程组来消去一个未知数的系数，从而得到只含一个未知数的方程。
通过反复消元，我们可以得到一个只含有一个未知数的方程，然后就可以使用一元一次方程的解法来求解。
代入法是将一个方程中的未知数用另一个方程中的已知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程。
通过反复代入，我们可以得到一个只含有一个未知数的方程，然后就可以使用一元一次方程的解法来求解。
加减法是将两个方程按照一定的规则相加或相减，从而消去一个未知数的系数。
通过反复加减，我们可以得到一个只含有一个未知数的方程，然后就可以使用一元一次方程的解法来求解。
三、三元一次方程的解法三元一次方程是三个未知数的线性方程组，其一般形式可以表示为：a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3解三元一次方程的方法有多种，常见的有消元法和代入法。
消元法是通过加减方程组来消去一个未知数的系数，从而得到只含有两个未知数的方程组。
线性方程组解题归纳
高斯消元法是将系数矩阵化为行最简形式的过程，即将系数矩阵中的每一列从左至右依次与该列以下的行消成零，最终得到一个零矩阵，此时原方程组就有唯一解。在实现过程中，需要注意消元过程中可能出现的溢出和舍入误差问题。
总结词
高斯消元法
总结词
矩阵求解法是利用矩阵的运算求解线性方程组的方法
详细描述
矩阵求解法是将方程组中的系数矩阵和常数列合并成一个矩阵，然后对这个矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形式，最终得到原方程组的解。该方法适用于系数矩阵较大、且具有特定结构的情况。
03
线性方程组应用举例
简单线性方程组是指方程个数和未知数个数相等的线性方程组，通常用系数矩阵和常数向量表示。
对于简单线性方程组，通常采用高斯消元法或矩阵求解法，将方程组转化为行最简形式，从而得到解向量。
基础概念
解法举例
简单线性方程组
基础概念
复杂线性方程组是指方程个数和未知数个数不相等的线性方程组，需要通过添加虚拟变量或采用其他方法转化为一元线性方程求解。
迭代求解技巧
01
收敛性
确保选定的迭代法能够收敛到方程组的精确解。
02
加速技术
利用加速技术，如超松弛迭代，加快迭代过程。
舍入误差
理解舍入误差，并采取措施降低其对解的影响。
稳定方法
使用稳定的算法，如SOR方法，保持数值稳定性。
矩阵条件数
了解矩阵条件数，并将其作为衡量数值稳定性的指标。
数值稳定技巧
05
线性方程组在其他领域的应用
图像处理
阐述了线性方程组在图像处理中的应用，如图像去噪、图像修复和图像重建等。
数值天气预报
讨论了线性方程组在数值天气预报中的应用，如大气动力方程组的求解、初始条件和边界条件的处理等。
线性方程组求解的常用方法与技巧
线性方程组求解的常用方法与技巧线性方程组是数学中常见的问题，它的求解在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组求解的常用方法与技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是线性方程组求解最常用的方法之一。
它通过化简矩阵，将线性方程组转化为阶梯形式，从而求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵形式。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的首个非零元素。
3. 通过初等变换，将主元所在列的其他元素消成零。
4. 重复步骤2和3，直到转化为阶梯形式。
5. 回代求解未知数，得出线性方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易行，适用于任意规模的线性方程组。
然而，该方法在面对大规模线性方程组时会面临计算复杂度高的问题。
二、雅可比迭代法雅可比迭代法是另一种常用的线性方程组求解方法，它通过迭代逼近的方式求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行分解，将其分解为D、L和U三个矩阵，其中D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。
3. 利用雅可比迭代公式，依次迭代计算未知数的值，直到满足收敛条件。
4. 得到线性方程组的解。
雅可比迭代法的优点是适用于稀疏矩阵，且收敛性较好。
然而，它的迭代次数通常较多，计算效率较低。
三、LU分解法LU分解法是线性方程组求解的一种常见方法，它将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行LU分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。
3. 将方程组AX=B转化为LUx=B，再分别解得Ly=B和Ux=y两个方程组的解。
4. 得到线性方程组的解。
LU分解法的优点是可以重复利用分解后的LU矩阵求解不同的线性方程组，从而提高计算效率。
然而，该方法对于具有大量零元素的矩阵不适用。
四、克拉默法则克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它通过计算行列式的方式求解未知数的值。
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线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换：21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。
【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。
解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，-5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。
分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。
解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。
总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。
题型2 线性方程组求解【例题4】矩阵B 12100120100011012320-⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪--⎝⎭的各行向量都是方程组123451234523451234503230226054330x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系若不能，这4个行向量是多了还是少了若多了如何去掉，少了如何补充解：将方程组的系数矩阵A 化为行最简形阵11111110115321130122601226000005433100000A A ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量 α1=（1，-2，1，0，0）T , α2=(1,-2,0,1,0)T , α3=(5,-6,0,0,1)T ,B 矩阵的r 3=r 1-r 2，r 4=3r 1-2r 2， B 中线性无关的行向量只有1，2行，故B 中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。
题型3 含参数的线性方程组解的讨论1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论（1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n ，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n ，方程组有唯一解。
一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。
【例题5】设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1） 证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1= a3 =k ，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T ，β2=（1，1，-1）T 是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。
解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。
（2）当a1=a3=k ，a2=a4=-k 时，原方程组化为2312323123x kx k x kx kx k x k++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T ,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(β2-β1)+β1。
（c 为任意常数。
）题型4 线性方程组的公共解、同解问题 情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组0A x B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的所有非零解，即为所求。
【例题6】设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求：（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。
123122423400:;()00x x x x x x x x x x -+=+=⎧⎧⎨⎨-=-+=⎩⎩ⅠⅡ 解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T ；同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：12241232340000x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩将其系数矩阵进行初等行变换11001001010101011110001201110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T 于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k （-1，1，2，1）T , k 取全体实数。
情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。
【例题7】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T ,α2=(3,-1,1,7)T ，α3=（2，3，4，20）T ，Β1=（1，4，7，1）T ， β2=（1，-3，-4，2） T 。
求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。
解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k 1α1+k 2α2+k 3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到 k 1α1+k 2α2+k 3α3=λ1β1+λ2β2 即123121231212312123123202343054740772020k k k k k k k k k k k k λλλλλλλλ++--=⎧⎪-+-+=⎪⎨++-+=⎪⎪++--=⎩310001413211421343010075147400100772012100012A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪---⎪ ⎪=→ ⎪- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭于是（k 1,k 2,k 3,λ1，λ2）T =t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T 即k 1=-3t/14, k 2=4t/7, k 3=0 ,λ1=t/2,λ2=t 于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为 λ1β1+λ2β2 =（λ2/2) β1+λ2β2 = （λ2/2) (β1+2β2 )= （λ2/2) (3,-2 ,-1,5)T ，=λ (3,-2 ,-1,5)T ，其中λ = λ2/2为任意实数。
情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。
简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。
题型5 与AB=0有关的问题已知矩阵A ，求矩阵B 使AB=0，此类问题常将B 按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi 视为Ax=o 的解向量，因而可以利用Ax=o 的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B 的部分列向量， B 的其余列向量可取为零向量【例题8】设22139528A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求一个4×2矩阵B 使AB=0，且r(B)=2.解：由AB=0知，B 的列向量均为Ax=o 的解向量。
显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o 的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o 的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B 。
为此对A 进行初等行变换得2213510295288011A ---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭基础解系α1=（1，5，8，0）T ,α2=(0,2,1,1)T 令B=(α1,α2) ,则B 即为所求。
题型6 已知基础解系反求其齐次线性方程组 法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B ， （2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A. 法2：初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A ，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0. 【例题9】 写出一个以()()122,3,1,02,4,0,1TTX c c =-+-为通解的齐次线性方程组。
解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T ，α2=（-2，4，0，1）T ，以α1T α2T为行向量作矩阵1223102401T t B αα⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T ,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为1210220134TT A ββ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 所求的一个齐次线性方程组为Ax=0, 即134234220340x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩法2 把所给通解改写为341122*********2424422223434x x x c c x x x c c c x x c x c x c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-+= ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为1342342234x x x x x x=-⎧⎨=-+⎩即134234220340x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩题型7 抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A 的秩，求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。