Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】
广义Cauchy不等式定理及其应用
廣義 Cauchy 不等式定理及其應用 49
盾! 若 a2j = 0 而 a1j = 0, 仿之亦 可導致矛盾。 遂知: ⇀v 1 與 ⇀v 2 之二個分量
a1j 與 a2j, 必同為 0, 或同不為 0。 據此, 若 ⇀v 1 與 ⇀v 2 皆僅有一個分量不為 0, 顯然 ⇀v 1 ⇀v 2。 又, 若 ⇀v 1 與 ⇀v 2 皆至少有二個不
壹 .
Cauchy不等式定理
茲將 Cauchy 不等式定理敘述並證明如 下:
Cauchy不等式定理: 若 n 為整數, n ≥
2, 而 aij 均為實數 (1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤
n), 且 ⇀v i = (ai1, . . . , ain) 均非零向量, 則
(
n j=1
a21j
)(
n j=1
證二: 亦分三部分推導之。
(1) 設A =
n j=1
a21j
,
B
=
n j=1
a1j a2j ,
C=
n j=1
a22j ,
當然
A
>
0
(C
>
0)。
考慮
二次函數 Q(x) = Ax2−2Bx+C = A(x−
B A
)2
+
AC −B 2 A
,
其中
x
∈
R
(R
為所有實數
所構成之集合)。 因 Q(x) = nj=1(a21jx2 −
=
1997」
「
1997 i=1
浅谈柯西不等式的证明及应用
浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。
现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当12120(1,2,,),n i i na a a a xb i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即时等号成立. 证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，2n =当时，右式=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥22212112212121122211212()()2=()===a a a b a b a a b b a b a b a b a b b b +++左式，仅当，即时取等号，故=12.n ，时不等式成立 2）假设(,2)n k k N k *=∈≥时，不等式成立，即222222*********()()(),k k k k a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当1212k ka a ab b b ==⋅⋅⋅=时取符号。
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学一维波动方程Cauchy问题解的适定性一、选题的背景、意义偏微分方程的兴起已有两百多年的历史，由起初研究物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。
偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。
近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究，十分活跃。
偏微分方程作为大学的一门基础课，无论是对数学专业还是非数学专业的理工科学生都十分重要，他的任务是建立模型，寻求求解方法，进行理论分析，从而达到解释物理现象的目的。
偏微分方程有很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。
波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程,它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学,电磁学和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上的许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体的弦振动时，都对波动方程理论作出了重要贡献。
弦振动方程属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。
因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。
对一维波动方程Cauchy问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
用特征线法求解波动方程是求解波动方程的经典解题方法中很重要的一种。
本文利用解的叠加原理和特征线方法得出一维波动方程解的表达式，并给出解的适定性的一般结论，同时也对广义解的适定性做了一定的研究。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容:波动方程是双曲线偏微分方程的最典型的代表。
利用柯西不等式证明不等式
2，利用柯西不等式证明不等式柯西（Cauchy ）不等式：设12,,na a a ⋅⋅⋅和12,nb b b ⋅⋅⋅是给定的实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+。
等号成立的充要条件是：存在,λμ（不全为零），使i i a b λμ= i=1,2,···n证明：22221111222111()2()00(0)()()nnnnii i ii i i i i i n n ni i i ii i i i f x a x a b x b a x b a a b a b ========-+=-≥∆≤≤∑∑∑∑∑∑∑设则：，包括全为的情况。
化简即得：（）（3）柯西不等式的几个推论 ①若,,1,2,,i i a b R i n ∈=，则22111n i ni i n i iii a a b b ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当,1,2,,i i b a i n λ==时取等号。
特别地，()3212321323222121y y y x x x y x y x y x ++++≥++ ②2111n i ni i n i ii ii a a b a b ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时等号成立③若,1,2,3,,i a R i n +∈=，则2211nn i i i i n a a ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12n a a a ===时等号成立④若,1,2,3,,i a R i n +∈=，则2111n n i i i i a n a ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，当且仅当12n a a a ===时例1： 若,,a b c 都是正数，证明：2222a b c a b cb c c a a b ++++≥+++ 证明：由()()()()2222a b c b c c a a b a b c b c c a a b ⎛⎫+++++++≥++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭故有不等式2222a b c a b cb c c a a b ++++≥+++成立 例2：设12,,,n x x x为正实数，证明：1222222211212111n nx x x x x x x x x+++<+++++++证明：()2122221211n nx x x x x x n++++++++≥，故有()22221212111nn nx x xx x x ≤++++++++()()1211211n n nx x x x x x -<++++++++121121111n n n n x x x x x x x -⎛⎫=-⎪++++++++⎝⎭例3：12,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个不同的自然数，求证：1112n++⋅⋅⋅+≤21222na a a n ++⋅⋅⋅+证明：∵221112n ⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ 2122121112n n a a a n a a a ⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212211122n a a a n n ⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1112n++⋅⋅⋅+≤21222n a a an ++⋅⋅⋅+ 说明：本题通过变形积极创造了柯西不等式中“积和”与“平方和”的形式。
一些不等式的证明及推广【开题报告】
一些不等式的证明及推广【开题报告】毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。
它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。
因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。
由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。
闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。
在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。
因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。
由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。
这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。
闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。
他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。
当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221nn b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a ii2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120nn a a a +++≥()()()044222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a bb a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++2C AB ≥∴则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的应用(整理篇).doc
柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学Cauchy 不等式的等价形式及其应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不 等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对 它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分 体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用 它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数 最值、解方程等问题的方面得到应用。
从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推 广，以及对柯西不等式的应用举例。
二、相关研究的最新成果及动态柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、判别法、向量内积法等一些常规的方 法加以证明。
下面就用其中一种方法加以简单地证明。
证明：利用配方法证明 柯西不等式：设a 1,a 2, ,a n ,b i ,b 2, ,b n 均为实数则aha 2b 2a 3b 3 a n b n 2 a 2 a 2b 2b ； b；当且仅当a i kb i 时（其中 k 为常数,1,2,3 nn 2__2_a i ,Bb,C n aM,只需证明A i1 C 2,土“——.由均值不等式有2 a1 _2_C.22C.2砧10BB2C2022C—2B2a2b2;BB_2_2C2.22C,人……;a n—b n——a n b n.n个式子相加得BB使k 1fxk 2gx0时，等式成立。
不全为零的常数k 1,k 2使k 1k 20时，等式成立。
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毕业论文开题报告
数学与应用数学
Cauchy 不等式的等价形式及其应用
一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。
二、相关研究的最新成果及动态
柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、∆判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。
下面就用其中一种方法加以简单地证明。
柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121 均为实数则
()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++
当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i 3,2,1=）等号成立。
证明：利用配方法证明
,,,A 11212∑∑∑======n
i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2
B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222
1
n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+ n 个式子相加得
.B
C A C B C 2B B C A 2
22≥≥+，即当且仅当()n i kb a i i ,,2,1 ==等号成立[]1。
Cauchy 不等式的不同形式[][][][][]65432
1、
在初等数学中，任意,,...,2,1,,n i R b a i i =∈有.121221∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i n i i i b a b a 当且仅当
存在不全为零的常数21,k k 使n i b k a k i i ,...,2,1,021==+时，等式成立。
2、 在
积分学中，任意()()[],
,,b a C x g x f ∈有()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ⎰⎰⎰⋅≤222。
当且仅当存在不全为零的常数2
1,k k 使()()021=+x g k x f k 时，等式成立。
3、 在高等代数的n 维欧式空间中，任意向量().,,,βαβαβα⋅≤
当且仅当存在不全为零的常数21,k k 使021=+βαk k 时，等式成立。
4、
在概率论中，任意ηξ,.v r ，若22,ηξE E 存在，则有[].222ηξξηE ⋅E ≤E 当且仅当存在不全为零的常数21,k k 使()1021==+P ηξk k 时，等式成立
柯西不等式在不同的数学领域的形式和内容不同，但却具有内在的联系。
在初等数学中的柯西不等式就称为柯西不等式；在微积分中的柯西不等式称为柯西—许瓦兹不等式，它是以积分的形式给出的；在概率论中的柯西不等式也称为柯西—许瓦兹不等式，它是以随机变量的数字特征形式给出的；在线性代数中的柯西不等式称为柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用内积形式给出的。
柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和应用。
特别是应用柯西不等式在证明不等式[]7、解三角形[]8、求函数最值[]9、解方程、概率统计[][]1110等问题的方面能起到简便直观的作用。
三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标
（1）、研究方法及路线
通过阅读有关文献资料，对柯西不等式的几种形式之间的比较及在不同数学领域中的不同形式进行比较，分析它们之间的内在联系，给出它们之间相互的推证，并在此基础上根据通过对问题的解决进一步了解柯西不等式，结合自己对柯西不等式认识进行总结。
（2）、研究难点
在解决不同类型问题的时候能不能充分地利用柯西不等式的不同等价形式。
在解题中怎么分析题设条件及其形式特点，如何比较好地利用柯西不等式来提高解题的技巧，如何对柯西不等式的等价形式及其推广及多方面的应用做一个系统的归纳和总结。
（3）、预期达到的目标
通过此课题的研究对柯西不等式的各种形式有一个全面的认识并加以应用。
增强学生自主探究数学问题的能力，掌握研究数学问题的立足点和基本思想方法通过柯西不等式的学习，促使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展。
四、论文详细工作进度和安排
第七学期第9周至第10周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；
第七学期第11周至第12周：收集资料，阅读相关文献，分析资料，完成外文翻译；对柯西不等式问题作系统整理完成外文翻译；
第七学期第13周至第17周：认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述，深入分析柯西不等式在不同数学领域的不同形式，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告；
第七学期第18周：完成网上确认；上传外文翻译，文献综述、开题报告.
第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，对柯西不等式的等价性加以总结和归纳并具体分析，并完成论文初稿；
第八学期第4周至第10周：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。
继续完善论文初稿，完善柯西不等式在初等数学、微积分、线性代数、概率统计的应用，此阶段任务着重对具体问题加以具体分析，完成研究任务；
第八学期第11周至第12周: 对论文进行修改完善，定稿；对柯西不等式问题作研究总
结；
第八学期第13周至第14周: 做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩.
五、主要参考文献
[1]赵朋军.柯西不等式的多种证法推广及其应用[J].商洛师范专科学校学报.2004,18(1):73-75
[2]张景丽.柯西不等式的多种形式及应用[J].高校理科研究.2007,(7):93-94
[3]钟梅.几种柯西不等式之间的一些推证[J].玉林师范学院学报.2006,27(3): 5-6.
[4]蔡海欧.柯西不等式含义诠释初探[J].数学通报. 2001,(6):45-46.
[5]张千祥.柯西不等式的教学价值[J].大学数学.2004,20(2)：116-118.
[6]M.I.Shirokov. Cauchy Inequality and Uncertainty Relations for Mixed States[J].International Journal of Theoretical Physics.2006,45(1):147-157.
[7]鞠建恩.柯西不等式在初等数学中的应用[J].南平师专学报，2002,21(2)：35-38.
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