一类级数不等式的定积分放缩法
高中数学中常见的不等式放缩方法
高中数学中常见的不等式放缩方法作者：杨发莲来源：《学习与科普》2019年第31期摘要：在高中数学中，不等式扩展和收缩方法经常存在于各种不等式的证明中，这是证明不等式是否有效的常用方法，并且在学习过程中很难掌握这种方法。
本文重点研究了不等式的缩放方法，并以样本问题的形式详细解释了具体的缩放方法，以帮助学生更好地掌握该部分的内容。
关键词：关键词：高中数学;不等式;放缩方法一、浅析不等式缩放方法在高中不等式相关内容的学习过程中，缩放方法是一种常见的不等式计算方法。
它主要是扩大或缩小不等式左右两侧的项，以便找到中间项并帮助证明不等式是否正确。
例如，如果难以直接证明不等式A和B，那么我们可以找到A中间c，在不等式的左侧放大或缩小A到c，然后只需要证明A，c和B.这种证明不等式的方法称为缩放方法。
在使用此方法解决问题时，需要掌握一些技能。
例如，在简单的不等式的情况下，需要适当地丢弃一些不重要的项，而对于过于简单的不平等，应该适当地添加中间项，但必须很好地掌握程度，并且复杂性不应该是增加，只有准确把握相关内容，才能很好地运用这种方法。
二、常见的不等式缩放方法扩缩法是证明不等式的常用且非常重要的方法。
在证明过程中，适当的缩减和收缩可以简化复杂性并使难度变得更容易，从而以一半的努力获得两倍的结果。
但是，收缩的范围很难掌握，经常出现收缩后无法得出结论或得出相反的结论现象。
因此，在使用扩缩法时，如何确定收缩目标非常重要。
为了正确确定目标，我们必须根据结论，把握主题的特点。
掌握扩张和收缩的技能，真正理解并根据不同类型的问题，采用适当的扩展和收缩方法，解决问题，从而培养和提高他们的思维和邏辑推理能力，分析和解决问题的能力。
2.1不等式缩放基于特定目标要应用这种方法，有必要澄清问题的目标并掌握不平等缩放的程度方法主要包括添加一些项，删除一些项，使用分数的属性，还有使用不等式的属性，使用已知的不等式和使用函数的属性等。
添加一些项。
依据结构,分项放缩——一类高考不等式压轴题的解法技巧探究
由⑤ 构造条件式 ④ 中的 ∑ ， １ 这是能办到的，
在 ⑤ 式 中， ｎ＝ ２ ３ ４ ５ … 得 一 取 ， ， ，，
１ １
一
≥
１ ≥ １
１
一
’ ，
一
１ ≥ １
１
一
’ ，
—
１ ≥
，
…
，
一
—
Ｌ
≥
．
将这些 不等式的两
这个例子 中， 我们发现通过构造“ 同元素” 相 来沟
通条件式与条件式， 或条件式与结论式之间的关 系， 某种意义 上说， 从 对于 问题的解决的确起 着
决定性的作用．
２ 依据题设结构， ． 结论导向与标志性 “ 中途 点” 架设起联系的桥梁
｛ 的各项 为正， ０） 由条件式 ② 的结构特征， 将 其两边取倒数得 ≥ —－ ａ － ｎ ｛— １： —Ｌ ＋ －ｎ
ｎ 十 ａｎ－ １
ｏ
得 一
１
＝ —
［ｇ ｎｊ １ ２ ］移项得 ｎ ｏ ａ
一
［ｇ 卅 １ｚ ｏ
２ １ ２ ］ ＋ｂ ｎ ［ｇ ｏ
，
由ｎ ｎ＞ ０ ６＞ ０ 知 。 ， ， ｎ＜
，… … ②
ｚｏ
，
佗＝ ３ ４ ５ ， ， ，…
礼 ２ ， ５ ・ ：ｎ 丽ｏ ＝ ， ４ ， 证明 ０ ＜ ３ ，… ｚ
２ １年第 ５ ０１ 期
数 学教 学
５３ —５
依据结构， 分项放 缩
一
一
类 高考不 等 式压轴 题 的解 法技 巧探 究
２５ ０ 安徽省淮北师范大学数学科学学院 张 昆 ３０ ０
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
不等式的放缩法基本公式
不等式的放缩法基本公式1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^24.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨地进行分析和求解。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-Λ)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
常见级数不等式放缩公式
常见级数不等式放缩公式常见级数不等式放缩公式是数学中常用的一种技巧，可以用来对级数进行估计和近似计算。
在实际问题中，我们经常会遇到各种级数，通过对级数进行适当的放缩，可以更好地了解级数的性质和行为。
我们来介绍一些常见的级数不等式放缩公式。
这些公式可以帮助我们对级数进行估计，从而得到级数的一些重要性质。
下面是其中一些常见的放缩公式：1. 比较判别法：对于两个正项级数，如果它们的通项之间存在大小关系，那么级数之和也有相同的关系。
例如，如果对于所有的n，有an ≤ bn，那么an的级数之和小于等于bn的级数之和。
2. 比值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得an+1/an ≤ q，那么级数收敛；如果an+1/an ≥ q，那么级数发散。
3. 根值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≤ q，那么级数收敛；如果lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≥ q，那么级数发散。
4. 积分判别法：对于正项级数，如果存在连续函数f(x)，使得an = f(n)，那么级数与定积分∫_(1 to ∞)▒f(x)dx之间有相同的收敛性。
以上是一些常见的级数不等式放缩公式，它们在级数的研究中起着重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以得到级数的一些重要性质，比如级数的收敛性、发散性以及级数之和的估计。
接下来，我们来看一些具体的例子，展示如何应用这些级数不等式放缩公式。
以比较判别法为例，我们考虑两个级数an=1/n和bn=1/n^2。
显然，对于所有的n，an ≤ bn，根据比较判别法，我们可以得到an的级数之和小于等于bn的级数之和。
而bn的级数之和是一个著名的数学常数，即π^2/6。
因此，我们可以得到1/n 的级数之和小于等于π^2/6。
这个结果对于研究级数的性质和行为非常有用。
除了比较判别法，还有其他的级数不等式放缩公式可以应用到各种级数的研究中。
例如，比值判别法和根值判别法可以用来判断级数的收敛性，积分判别法可以用来估计级数的和。
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LHS
0
n i2
1 i
1 i2
n 1
1 x
1 x2
dx l n
x 1 n x 1
l n n 1 1 l nn 1 RHS
n
所以， n N ，不等式 l
nn 1
n i 1
i 1 i2 成立。
1
nN 。
此题解法正是“数形结合”思想的高度运用。
11
天津市第一〇二中学
综述：
定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决 由“数项级数”所引申出的“证明数列前 n 项和不等式”的 问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为 学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。
由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与 多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。
参考文献
1.《浅谈高等数学在中学数学中的应用》M .广东石油化工学院，22-24 2.李广修.证明不等式的定积分放缩法J .数学通报，2008,47（7）：55-57 3.意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法J .光量子，2015；10；29 4.《高等数学》M .同济大学数学系，2014 第 7 版：251-327
大”，再根据“这个不等式是非严格成立的（即含等号）” 判断放大之前需先将首项单独说明，而后再空出首项从第二 项开始进行“放大”（即保留首项取等）。
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例 4 1：（2016 天津六校联考）
证明：l
nn
1
1
1 2
1 3
1 n
n
2n
1
n N
根据“列项求和”的经验，我们注意到：
n
2n
1
1 2
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
1
★
分析式★的几何意义为阴影部分面积，且函数
f
x
1 x
是下凸函数，故易知 S矩形 S曲边梯形 SRt ，从而
,
x 1
由于函数 y f x 在 1 , 上是减函数，故：
n
LHS 2
2 2 n 2
n
dx l n2x 1 2
i2 2i 1
1 2x 1
1
l n2n 1 2 l n2n 1 2 RHS
所以，
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
n N 成立。
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天津市第一〇二中学
例 3 3：（2016 天津市耀华中学第一次校模）
证明：不等式
1
n i 1
i
2
i
1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
之前例 1.例 2.的处理方法，都是利用数列的通项直接
对于这类不能够直接使用定积分放缩的题目，在构造被
积函数的思路上具有一定的方向性。方向一：构造出的被积 函数应该利用高中知识很容易求得其积分函数。方向二：根 据不等号方向与不等号是否严格（即是否含有等号）可以预
测构造方向。比如：对于例
3.中对于
n i 1
i2
i 1
1 2
l
n
n的
证明，我们可以先根据“小于号”判断要对原通项进行“放
当n
2
时，构造函数：
f
x
1 x2
；
LHS
1
n i2
1 i2
1
n1 1 x2
dx 1 1 n x1
2 1 2 RHS n
对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十
分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。
4
天津市第一〇二中学
构造函数：
f
Байду номын сангаас
1 x
x
1 ，在定义域上为减函数，从而：
S矩形
n 1 i1 i
n1 1 1x
dx 1 2
n 1 1 i1 i i 1
ln
n 1
n
2n 1
即：
l
nn
1
1
1 2
1 3
1 n
n
2n
n1
dx l nx 1
i1 i 1 1 x 1
1
l
n
n 2
1
l
n
e 2
LHS
所以，
l
n
n 1
n i 1
i i2 1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
即： 1
n i 1
i2
i l 1
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
p
i p
p 1
向右作矩形
向左作矩形
5
天津市第一〇二中学
②若 f x 在 p 1 , q 1 上为增函数，则：
q
q
f x dx
f i
q1 f x dx
p 1
i p
p
向左作矩形
向右作矩形
下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体 会定积分放缩法的优越性。
然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适
2
天津市第一〇二中学
用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前 n 项和的“极限”， 而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们 通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成 为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进 一步证明我们想要的结论（如果将变形后数列的前 n 项和看 作一个函数，那么待证明的常数 C 通常是这个函数的极限）。
n1 1x
dx
l n x n 1 l n n 1 RHS
12
2
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②不等式左半链：
由于
i2
i 1
i2
i
i
i
1 1
n N ，从而
构造函数：
f
x
1 x
x 1
1，在定义域上为减函数，故：
n
RHS
1 n1 1
数列，高考的重中之重。而对于数列前 n 项和不等式的
证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：第
一种，证明
n
f
i
gn
n
；第二种，证明：
f
i
C
（其中
im
im
C 是常数）。如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型
会比第一种更复杂 2 。
对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对
定理：设定义在 Df 上的函数 y f x ， p 1 , q 1 Df
若 f x 满足，在闭区间 p 1 , q 1 上连续，开区间
p 1 , q 1 可导，则有：
①若 f x 在上 p 1 , q 1 上为减函数，则：
q1 f x dx q f i q f x dx
是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不
等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。
例 2：（2012 天津卷）
证明：
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
nN
当 n 1 时，不等式显然成立；
当 n 2 时，构造函数：
f x
2 2x 1
为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容 易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能 普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内 在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。
3
天津市第一〇二中学
经典举例：证明
1
1 22
1 32
1 n2
2 nN
（1）一般放缩法：
n
n 1
n i 1
i i2 1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 ,
①不等式右半链：
当 n 1 时，显然成立；
当n
2
时，由于
i
2
i
1
i i2
1 i
，从而
构造函数：
f
x
1 x
x
1 ，在定义域上为减函数，故：
LHS
1 2
n i2
i2
i 1
1 n 11 2 i2 i 2
构造被积函数，而后使用定积分直接放缩至待证对象的加强
不等式，再进一步得证，均属于较简单、较直接的题目。
例 3.则是无法直接使用定积分，而是先要对通项进行简
单放缩和变形，之后再使用定积分放缩，在难度上有所提升，
需要一定的“数学远见”去预测放缩后的“对象”，从而构
造出我们所需要的被积函数。
原设即证： l