定积分不等式
定积分绝对值不等式
定积分绝对值不等式《定积分绝对值不等式：一场奇妙的数学之旅》我今天想跟大家聊聊定积分绝对值不等式，这听起来是不是有点高深莫测呢？可别被它的名字吓跑啦，就像爬山一样，看着高耸入云的山峰觉得很难征服，但只要一步一步走，就能发现其中的乐趣。
定积分呀，就像是在一个图形下面装东西。
想象一下，你有一块形状奇特的地，你想知道这块地下面能装多少土，这就有点像定积分干的事儿。
那定积分绝对值不等式呢？就好比是给这个装东西的量定了一些特殊的规则。
我给大家举个例子吧。
就像我们在学校分糖果，每个同学分到的糖果数量就像是定积分的值。
要是有个规定说，不管怎么分，每个同学分到的糖果数量的绝对值都不能超过某个数，这就有点像定积分绝对值不等式的概念了。
我记得有一次在数学小组里，我和我的小伙伴们在讨论这个定积分绝对值不等式。
小明就说：“哎呀，这东西太难懂了，感觉就像一团乱麻。
”我就跟他说：“你可不能这么想呀，你看，如果把定积分想象成是在数方格呢？”我在纸上画了一些方格，然后说：“就像这些方格有大有小，定积分就是在计算这些方格的总和。
而绝对值不等式就是给这个总和加了个框框，让它不能太离谱。
”小红也凑过来说：“那怎么才能更好地理解这个不等式呢？”我想了想，说：“咱们再打个比方吧。
假如你要从家走到学校，有很多条路可以走。
定积分就像是你走每条路所花的力气，而绝对值不等式就是告诉你，不管走哪条路，这个花的力气不能超出一定的范围。
”小伙伴们听了我的话，好像有点开窍了。
其实呀，定积分绝对值不等式在生活中的应用也不少呢。
就比如说在工程建设中，工程师要计算材料的用量。
这个用量的计算可能就涉及到定积分，而根据工程的要求，这个用量的误差范围就像是定积分绝对值不等式规定的范围。
如果超出了这个范围，那可就麻烦了，就像盖房子，要是水泥用得太多或者太少，房子可能就不结实了。
再回到数学上，定积分绝对值不等式的证明也很有趣。
有时候就像走迷宫一样，你得找到正确的路线。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
定积分的计算和积分不等式 数学
定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿—莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。
其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。
关键字：定积分；牛顿—莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word:Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。
定积分柯西不等式
定积分柯西不等式
柯西不等式是指对于连续函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a,b] 上成立
的不等式。
具体表述为：
\left(\int_a^b f(x)g(x) \, dx\right)^2 \leq \int_a^b f(x)^2 \, dx \cdot \int_a^b g(x)^2 \, dx
其中，等号成立的条件是函数 f(x) 和 g(x) 成比例，即存在常数 k，使得 f(x) = kg(x) 在区间 [a,b] 上成立。
这个不等式表示了连续函数乘积的定积分与乘积中每个函数的平方的
定积分之间的关系。
它经常用于推导其他数学不等式和证明一些数学
定理。
柯西不等式也是内积空间理论中的基本不等式之一。
需要注意的是，柯西不等式的条件是函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间
[a,b] 上连续。
对于间断的情况，需要采取适当的修正处理。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法定积分不等式是指对于$f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上单调递增和非负，有以下不等式成立：$$\int_a^bf(x)g(x)dx\le\frac{b-a}{2}\left(\int_a^bf^2(x)dx+\frac{1}{g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx\ right)$$其中等号成立当且仅当$f(x)=k\cdot g(x)$，其中$k$是一个常数。
这个不等式也被称为“加权平均值-平方根平均值不等式”，可以用两种不同的证明方法：一种是基于几何意义的证明，另一种是基于分部积分的证明。
方法一：首先考虑一个几何上的问题：对于函数$f(x)$，我们可以将其图像在区间$[a,b]$上折叠，形成一个平行四边形，可以证明该平行四边形的面积等于$\int_a^bf(x)dx$。
现在我们假设将平行四边形“割”成两半，所得的两个“三角形”的底分别为$\frac{b-a}{2}$和$\frac{b-a}{2}g(a)$。
则根据三角形面积公式，这两个“三角形”的面积分别为$\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx$和$\frac{1}{2g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx$。
由于$g(x)$是单调递增且非负的，所以可以想象这两个“三角形”肯定包含在一条斜率为$k$（其中$k$为常数）的直线下方。
因此，我们可以将这个直线逆时针旋转一定角度，得到一个新的平行四边形，其底仍为$\frac{b-a}{2}$和$\frac{b-a}{2}g(a)$，高为$\frac{1}{2}(k+\frac{1}{g(a)})$（即平行四边形的两个高之和的一半）。
根据面积公式，这个新的平行四边形的面积为$\frac{b-a}{2}(k+\frac{1}{g(a)})\cdot\int_a^bf(x)g(x)dx$。
由于这个新平行四边形的面积应不小于原平行四边形的面积，因此我们可以得到不等式：$$\int_a^bf(x)g(x)dx\le\frac{b-a}{2}\left(\int_a^bf^2(x)dx+\frac{1}{g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx\ right)$$并且等号成立当且仅当$f(x)=k\cdot g(x)$。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
考研数学二可以放弃的题
考研数学二可以放弃的题
考研数学二可以放弃的题有：
1.定积分不等式：难度较大，不易得分，可战略性放弃。
2.物理应用：分值不高，难度较大，不易得分，可战略性放弃。
3.极限概念问题：分值不高，难度较大，不易得分，可战略性放弃。
4.困难的中值定理证明：分值不高，难度较大，不易得分，可战略性放弃。
5.递推数列极限存在性证明：灵活度较高，不易得分，可战略性放弃。
6.积分不等式的证明：灵活度较高，不易得分，可战略性放弃。
7.级数敛散性的证明：灵活度较高，不易得分，可战略性放弃。
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第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。
总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：b b(i)若f(x) <g(x)(x 引a,b])，则J f (x)dx < J g(x)dx .a ab b(ii) I f f(x)dx| 兰f l f (x) |dx.ad b(iii )若f(X)>0(X 引a,b]), a<c<d<b,则f f (x)dx < f f (x)dx.9 £(iv)(柯西不等式)[f f (x)g(x)dxr < a f 2(x)dx a g2(x)dx（2）主要用微分学的知识，包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.（3）利用二重积分、级数等.值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法.、■莎 2例1.判断积分[sin x dx的符号分析：这个积分值是求不出来的.如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断.如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）.本题中被积函数si nx2在积分区间上有正、有负，先作，一2*烦2 1 ^sin t换兀：t =x ,把积分变为（sinx dx=5t -^dt后，问题更清晰，因而想到/莎 2 1 2；rs int 1 F兀sin t ,^si ntsinxdx=?0 ;r dt=2d寅dx+J兀至此积分的符号凭直觉已经能判断了. 但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较. 有了这些分析和思路后，解答就容易了.解：令t =x2，则0 sin/dx^L 于dt—2(0 于dx+J兀于dt)2兀sin t 兀一sin u 兀sin t对上式右端后一积分换元，u*得d r 右du—0右dt从而广sinx2dx—丄(f字dx-f严dt) 0 2 0JT看V u +兀1兀1 1=-f (k -- )sintdt >02 J t+J注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用(1)将积分区间分成部分区间 (尤其是等分区间，特别是二等分) (2)如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较.迟. 3例 2 .设a A 0，证明：(xa sinx dx『a ■sinx dx > 亍分析：：从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式0，f(sinx)dx = jr 02 f(sinx)dx变为［0,亍］上的积分,再用柯西不等式便可得结论。
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第三章 一元积分学第三节 定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。
总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：（i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()( .（ii ）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|.（iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则⎰⎰≤badc dx x f dx x f )()(.(iv)(柯西不等式)⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．例１．判断积分⎰π202sin dx x 的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2x t =，把积分变为dt ttdx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin +=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了．解：令2x t =，则dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin ＝+=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt对上式右端后一积分换元π+=u t 得⎰⎰⎰+-=+-=ππππππ2sin sin sin dt t t du u u dt tt从而=⎰π202sin dx x -=⎰π0sin (21dx tt)sin 0⎰+ππdt t t0sin )11(210>+-=⎰ππtdt t t 注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１）将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间，特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较．例２．设0>a ，证明：4320sin 0sin πππ≥⎰⎰-dx adx xaxx分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式⎰⎰=200)(sin )(sin πππdx x f dx x xf 变为]2,0[π上的积分，再用柯西不等式便可得结论。
解：⎰⎰=20sin 0sin πππdx a dx xa x x4)1()()(32202022sin 202sin 20sin 0sin ππππππππ=≥=⎰⎰⎰⎰⎰--dx dx adx adx adx xax x xx例３．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明：（１）|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰（２）dx x f a b dx x f bab a222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：（１）该不等式实际上给出了左边积分的一个界。
若令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，则有M x f ≤'|)(|，即给出了导数的界，再加条件0)(=a f ，可估计出],[),(|)(|b a x a x M x f ∈-≤，进而估计出积分的界。
（２）不等式两边分别有)(x f 和)(x f '，而等式)()()(00x f dx x f x f xx +'=⎰可将两者联系起来，这里0x 要根据具体问题具体选择，本题中容易想到a x =0证明：（１）令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，由拉氏中值定理知))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ所以 M a b dx a x M dx x f dx x f ba ba ba2)()(|)(||)(|2-=-≤≤⎰⎰⎰（２）⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(，则⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=baxaxaxadt t f a x dt t f dt dt t f x f 2222)]([)()]([1])([)(故dx x f a b dx a x dt t f dx x f baba ba ba2222])([2)()()]([)(⎰⎰⎰⎰'-≤-'≤注：（１）中，若将条件0)(=a f 改为(i)0)(=b f ，结论仍成立，(ii) 0)2(=+ba f ,右端改为|)(|max 4)(],[2x f a b b a x '-∈,(iii) 0)(=a f 且0)(=b f ,右端改为|)(|max 4)(],[2x f a b b a x '-∈, 另外本题也可利用等式⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(去证:⎰⎰⎰⎰⎰⎰'-='='=bab ab tb axabadt t f t b dt dx t f dx dt t f dx x f )()())(())(()(所以 M a b dt t b M dt t f t b dx x f dx x f ba ba ba ba2)()(|)()(||)(||)(|2-=-≤'-≤≤⎰⎰⎰⎰(2)中右边作为左边积分的一个界有点粗(证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点：dx a x x f dx x f a b dx x f b a ba ba22222)(])([21])([2)()(-'-'-≤⎰⎰⎰不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：2)())]([(})]([){()(2222a x d dt t f dx dt t f a x dx x f ba xa ba xa ba-'='-≤⎰⎰⎰⎰⎰,再分部即可．例４．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明：3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba-≤+--⎰ 方法一：利用上一节中的例10中的（2），或练习题21可证出结论。
方法二：由泰勒公式有2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ 两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(得 ⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ，从而得 24)()2(2|)2)((|21|)2()()(|322a b M dx b a x Mdx b a x f b a f a b dx x f ba b a b a-=+-≤+-''=+--⎰⎰⎰ξ方法三：令⎰=xadt t f x F )()(，则)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''='，且)()()(a F b F dt t f ba-=⎰，由泰勒公式有：312)2(6)()2)(2(212)2()2()(a b F a b b a F a b b a F b a F b F -'''+-+''+-+'++=ξ （1） 322)2(6)()2)(2(212)2()2()(b a F b a b a F b a b a F b a F a F -'''+-+''+-+'++=ξ （2） （1）—（2）得))()((48)())(2()()(213ξξF F a b a b b a F a F b F '''-'''-+-+'=-所以 3213)(24|)()(|48)(|))(2()(|a b Mf f a b a b b a f dx x f ba-≤''-''-=-+'-⎰ξξ例５．设)(x f 在],[b a 上连续且单调增加，求证：⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf )(2)(分析：本题有多种证明方法，思路一：这里有两个参数b a ,，把b 改成变量x ，欲证⎰⎰+≥xa xadt t f x a dt t tf )(2)( 左右两边均是函数，可利用导数这一工具去证明．思路二：变形为0)()2(≥+-⎰badx x f ba x 被积函数中因子2ba x +-关于积分区间中点具有某种对称性，而)(x f 又单调，因此可想到前面介绍的利用对称性计算积分的有关公式去处理．思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二等分，然后用积分中值定理或其它方法去证．思路四：由于0)2()2(=++-⎰baba fb a x 故 ⇔≥+-⎰0)()2(badx x f ba x 0))2()()(2(≥+-+-⎰badx ba f x fb a x 就一目了然．思路五：变形为⇔-≥-⎰⎰baba dx x f ab dx x xf a b )(2)()(22⎰⎰⎰⎰≥babababadx x f xdx dx x xf dx )()(1那么看过例6后就知道怎么做了．证：令=)(x F ⎰⎰+-xaxa dt t f x a dt t tf )(2)(，则,0)(=a F 且 0])()([21)(21)(2)(≥-=--='⎰⎰dt t f x f dt t f x f a x x F xax a从而 ],[,0)()(b a x a F x F ∈=≥取b x =，便得0)(≥b F ，结论得证．或：⎰⎰-++--+++-=+-b a ba dx xb a f ba xb a x f b a x dx x f b a x )]()2()()2[(21)()2( 0))()()(2(21≥-+-+-⎰dx x b a f x f ba xb a （或：⎰⎰-+++-+++-++--+=+-20)]2()22()2()22[()()2(ab ba dx xb a f b a x b a x b a f b a x b a dx x f b a x 0])2()2([20≥-+-++=⎰-ab dx x ba f xb a f x ） 或：++-=+-⎰⎰+dx x f ba x dx x fb a x ba a ba )()2()()2(2dx x f ba x bb a )()2(2⎰++-⎰++-=21)2()(ba adx b a x f ξ0))()((2)()2()(12222≥--=+-+⎰+ξξξf f a b dx b a x f b b a注：第一种方法我们称之为变易常数法，即把某个常数（在积分中一般是积分上限或下限）换成变量，从而化为一个函数不等式，再利用微分学的知识及其它知识去证明，这是一种常用的技巧。