用实例给新手讲解RSA加密算法
RSA加密算法(C语言实现)
RSA加密算法（C语言实现）RSA（Rivest-Shamir-Adleman）算法是一种非对称加密算法，它是目前应用最广泛的加密算法之一、RSA算法基于两个大素数之间的乘积很难分解的特性，并使用公钥和私钥进行加密和解密。
在C语言中实现RSA算法需要进行以下步骤：1.生成大素数p和q：选择两个大素数p和q，它们需要满足p≠q。
这样选取p和q是为了使得计算n=p*q变得困难，保护私钥。
2.计算n：计算n=p*q，n即为公钥和私钥的参数之一3.计算欧拉函数φ(n)：计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
4.选择e：选择一个与φ(n)互质且小于φ(n)的整数e作为加密指数，e即为公钥的参数。
5. 计算d：计算d = e^(-1) mod φ(n)，d即为私钥的参数。
可以使用扩展欧几里得算法来计算d。
6. 加密：将明文M转换为整数m，加密后的密文C = m^e mod n。
7. 解密：解密密文C得到明文M = C^d mod n。
以下是C语言实现RSA加密算法的代码示例：```c#include <stdio.h>int gcd(int a, int b)if(b == 0)}return gcd(b, a % b);int extendedGcd(int a, int b, int *x, int *y) if(a == 0)*x=0;*y=1;return b;}int x1, y1;int gcd = extendedGcd(b % a, a, &x1, &y1);*x=y1-(b/a)*x1;*y=x1;return gcd;int modInverse(int a, int m)int x, y;int gcd = extendedGcd(a, m, &x, &y);if(gcd != 1)printf("Inverse doesn't exist\n");}return (x % m + m) % m;int powerMod(int x, unsigned int y, int m) if (y == 0)return 1;}int p = powerMod(x, y/2, m) % m;p=(p*p)%m;return (y%2 == 0) ? p : (x*p) % m;int maiint p, q, n, phiN, e, d;//选择两个大素数p和qp=31;q=17;//计算n和φ(n)n=p*q;phiN = (p - 1) * (q - 1);//选择加密指数ee=7;//计算解密指数dd = modInverse(e, phiN);int plaintext = 88;int ciphertext = powerMod(plaintext, e, n);int decryptedtext = powerMod(ciphertext, d, n);printf("Plaintext: %d\n", plaintext);printf("Ciphertext: %d\n", ciphertext);printf("Decryptedtext: %d\n", decryptedtext);return 0;```在上面的代码中，我们使用了几个辅助函数来实现扩展欧几里得算法、计算模反元素和快速幂算法。
rsa加密算法详解及例题
RSA加密算法详解及例题
RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于对极大整数做因数分解的困难性。
以下是RSA加密算法的详解及例题：
1. 密钥生成：
* 随机选择两个质数P和Q，越大越安全。
* 计算它们的乘积N=P*Q。
* 计算欧拉函数φ(N)=(P-1)*(Q-1)。
* 随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(N)，且E与φ(N)互质。
* 计算E对于φ(N)的模反元素D，使得EDmodφ(N)=1，即D=E-1modφ(N)。
* 公钥为(E, N)，私钥为(D, N)。
2. 加解密过程：
* 加密：明文M进行加密后得到密文C，计算公式为C=MemodN。
* 解密：将密文C进行解密后得到明文M，计算公式为M=CdmodN。
例题：在RSA加密体制中，已知素数P=7，Q=11，公钥E=13，试计算私钥D并给出对明文M=5的加密，求其密文。
解：首先，根据上述算法进行密钥生成。
根据素数P和Q得到N=77。
计算φ(N)=60。
因为E小于φ(N)且与φ(N)互质，选择E=13作为公钥。
根据公式计算D模反元素得到D=7。
现在有公钥(E, N)=(13, 77)和私钥(D, N)=(7, 77)。
接下来，用公钥加密明文M=5得到密文C=5^13mod77=15。
所以，密文为15。
此例题仅展示了RSA加密算法的基本原理和步骤，实际应用中需要考虑更多安全因素和操作细节。
rsa算法例题
rsa算法例题RSA算法是一种常见的加密算法，是目前公认的最安全的加密算法。
它的安全性完全依赖于现代计算机的性能，使得在实际环境中破解RSA密钥的可能性很低，只能采用暴力破解的方法，而暴力破解的速度会随着内容越来越大而变得越来越慢。
RSA算法的实现过程如下：（1）首先，由用户向RSA算法颁发机构提出申请，向其申请公钥和私钥。
（2）RSA机构收到请求后，生成公钥和私钥，并将其发送给用户。
（3）用户获得公钥和私钥后，将信息通过私钥加密，让其他人无法解读。
（4）加密后的信息发送给接收方，接收方通过提供的公钥解密，从而获得明文信息。
RSA算法的原理是基于大整数的分解，即素数分解。
用于加密解密的两个整数关键参数e和n是有一对素数p和q组成的，而e(公钥)p-1）*（q-1）（私钥）互素。
举个例子，比如p、q分别为17和11，那么（p-1）*（q-1）的值为（17-1）*（11-1）=144，我们可以找到一个质数e，使得e和144互素，且e满足e<144，比如，我们可以设置e=7，满足e和144互素的约束条件，即gcd（7，144）=1；此时，用户得到的公钥为（7，187），钥（23，187）；n=187，p=17，q=11，e=7。
如果要加密一段信息，可以使用上面生成的公钥，即(7，187)，以下是操作步骤：（1）将明文转化为数字，比如“ABCD”转化为2747；（2）使用公钥（7，187）将2747加密：C=2747^7 mod 187，结果C=139，即加密后的密文；（3）将加密后的密文139发送给接收方；（4）接收方使用私钥（23，187）将密文解密：P=139^23 mod 187，结果P=2747，即原数字；（5）将数字2747转化为明文，即为“ABCD”，解密完成。
上面是一个RSA算法的例子，我们可以看出来，RSA是一种基于大数分解的加解密算法，私钥和公钥都是由素数组成，当计算过程中满足私钥和公钥之间的约束条件时，就可以实现安全的加密解密，而现在的计算机为实现这一目的提供了极大的便利。
RSA加密算法举例
RSA加密算法举例假设Alice想要将一条消息发送给Bob，但是她不希望消息被其他人读取。
为了实现这个目的，Alice决定使用RSA加密算法。
1.生成密钥对：Alice首先生成一对密钥：一个公钥和一个私钥。
公钥用于加密消息，私钥用于解密消息。
生成密钥对的过程如下：-随机选择两个不同的质数p和q，比如p=61，q=53；-计算n=p*q，对于本例，n=61*53=3233；-计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，对于本例，φ(3233)=60*52=3120；-选择一个整数e，1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
一般选择一个较小的素数，比如e=17；- 计算e模φ(n)的乘法逆元d，即d * e ≡ 1 (mod φ(n))。
d可以使用扩展欧几里得算法计算得到，对于本例，d = 2753；-最终得到的密钥对为公钥：(e,n)和私钥：(d,n)。
2.加密消息：Alice使用Bob的公钥对消息进行加密，确保只有Bob的私钥才能解密。
假设Alice要发送的消息为m = 1234，加密过程如下：- Bob将m转换为整数M，比如M = 1234；- 使用公钥(e, n)进行加密，计算密文C = M^e mod n。
对于本例，C = 1234^17 mod 3233 = 8553.解密消息：Bob收到密文C后，使用自己的私钥(d, n)进行解密，得到原始消息。
解密过程如下：- 使用私钥(d, n)进行解密，计算明文M' = C^d mod n。
对于本例，M' = 855^2753 mod 3233 = 1234；-将M'转换为字符串，得到原始消息m。
通过上述步骤，Alice成功地使用RSA加密算法将消息m发送给了Bob，并且只有Bob才能解密并获得原始消息。
RSA加密算法的安全性基于两个数的因数分解的困难性。
在上面的例子中，为了破解Alice发送给Bob的消息，攻击者需要根据密钥对中的公钥n来分解出两个大质数p和q，这是一项非常困难的数学问题，目前没有有效的算法可以在合理的时间内解决。
密码学实验-RSA加密算法
密码学平时实验报告一、课题内容和要求1.实验环境实验主机操作系统为Windows 72.实验内容1.给定p，q，e，编写RSA的加解密算法2.调研各个语言的加密算法包二、课题需求分析RSA算法的具体描述如下：（1）任意选取两个不同的大素数p和q计算乘积n = p×q，φ(n) = (p-1)×(q-1)。
（2）任意选取一个大整数e，满足，整数e用做加密钥（注意：e的选取是很容易的，例如，所有大于p和q的素数都可用）；（3）确定的解密钥d，满足d*e ≡ 1mod φ(n)，d为e的乘法逆元（4）公开整数n和e，秘密保存d ；（5）将明文m（m<n是一个整数）加密成密文c，加密算法为C = M^e (mod n)（6）将密文c解密为明文m，解密算法为M = C^d (mod n)然而只根据n和e（注意：不是p和q）要计算出d是不可能的。
因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。
具体的，求逆元采用扩展欧几里德算法和费马小定理+快速幂取模算法结合。
（后者要求模逆元的模为素数，这里φ(n) = (p-1)×(q-1)不适用，但我还是加上了）。
判断是否为质数采用了埃氏筛算法。
1.所谓扩展欧几里德算法，就在求gcd（a,b）的同时，顺带着求出x，y使贝祖等式ax+by= gcd（a,b）成立。
在求模逆元a*x=1 modb时，将原式化为ax+by=1= gcd（a,b）。
运用扩展欧几里德算法即可求出a的模b逆元x。
2.所谓费马小定理/欧拉定理求逆元，就是费马小定理：若p为素数，则有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)ap−2∗a≡1(modp)ap−2∗a≡1(modp)ap−2ap−2就是a在mod p意义下的逆元啦。
欧拉定理：若a、p互素，则有aφ(p)≡1(modp)aφ(p)≡1(modp)(费马小定理的一般形式)aφ(p)∗a≡1(modp)aφ(p)∗a≡1(modp)aφ(p)−1aφ(p)−1就是a在mod p意义下的逆元啦。
简单的rsa加密解密计算
简单的rsa加密解密计算
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（公钥
和私钥）来加密和解密数据。
下面我将简单介绍RSA加密和解密的
计算过程。
1. 生成密钥对，首先，选择两个不同的大质数p和q，并计算
它们的乘积n=pq。
然后选择一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质，并计算出e的模反元素d。
公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
2. 加密，假设要加密的消息为M，首先将消息M转换为整数m，满足0≤m<n。
然后使用公钥(n, e)进行加密，加密后的密文C等于
m的e次方再对n取模，即C≡m^e (mod n)。
3. 解密，接收到密文C后，使用私钥(n, d)进行解密，解密后
的明文M等于C的d次方再对n取模，即M≡C^d (mod n)。
下面我举一个简单的例子来说明RSA加密和解密的计算过程：
假设我们选择两个质数p=11和q=3，计算n=pq=33，然后选择
e=3，并计算d=7。
这样我们得到公钥(n, e)=(33, 3)和私钥(n,
d)=(33, 7)。
现在假设要加密的消息为M=5，将其转换为整数m=5。
使用公钥进行加密，计算C≡5^3 (mod 33)，得到C=5。
接收到密文C=5后，使用私钥进行解密，计算M≡5^7 (mod 33)，得到M=5。
因此，我们成功地将消息M=5加密为密文C=5，然后再解密回到原始消息M=5。
这就是RSA加密和解密的简单计算过程。
RSA算法实例分析
RSA算法实例分析RSA算法，全称为“Rivest-Shamir-Adleman算法”，是一种非对称加密算法，广泛应用于信息安全领域。
本文将对RSA算法进行详细的实例分析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。
1. 概述RSA算法是一种基于大素数分解的加密算法，其核心原理是利用两个大素数相乘很容易得到结果，而将结果分解回素数却异常困难。
RSA算法包括秘钥的生成和加密解密两个过程。
2. 秘钥生成过程（1）选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
（2）计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
（3）选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e，作为公钥的指数。
（4）计算私钥的指数d，满足e*d ≡ 1 (mod φ(n))。
（5）将公钥 (n, e) 和私钥 (n, d) 分发给通信双方。
3. 加密过程（1）将明文转化为整数M，确保M小于n。
（2）计算密文C = M^e (mod n)。
4. 解密过程（1）接收到密文C。
（2）计算明文M = C^d (mod n)。
5. 安全性分析RSA算法的安全性基于大素数分解的难度。
由于大素数的因数分解是一个困难问题，RSA算法能在当前计算能力下提供非常可靠的安全性保障。
6. 实例分析以一个简单的实例来演示RSA算法的加密和解密过程。
（1）选择两个大素数p=11和q=7，计算n=p*q=77。
（2）计算φ(n)=(p-1)*(q-1)=60。
（3）选择e=13作为公钥的指数。
（4）计算满足e*d ≡ 1 (mod 60)的d=37，作为私钥的指数。
（5）公钥为 (77, 13)，私钥为 (77, 37)。
（6）假设要加密的明文为M=9。
（7）计算密文C = 9^13 (mod 77)，得到C = 65。
（8）接收到密文C=65。
（9）计算明文M = 65^37 (mod 77)，得到M = 9。
通过以上实例可以看出，RSA算法能够成功地实现对明文的加密和解密。
RSA算法举例说明
RSA算法举例说明首先，选择两个不同的大素数p和q，例如p=17和q=11、接下来计算n=p*q，即n=187、n将作为公钥中的一个参数，并且它的安全性的基础。
现在我们需要选择一个与(p-1)(q-1)互质的整数e。
这里选择e=7作为加密密钥。
e将作为公钥中的另一个参数。
下一步，我们需要计算与e关于模(p-1)(q-1)的乘法逆元d。
乘法逆元表示使得(e*d)%((p-1)*(q-1))=1成立的整数d。
使用扩展欧几里得算法可以快速计算d的值。
在这个例子中，d的值是23现在我们已经得到了RSA算法的公钥和私钥。
公钥是(n,e)，私钥是(n,d)。
现在我们可以使用这对密钥进行加密和解密操作。
假设我们有一条消息m需要加密并发送给Bob，这条消息的值为5、首先我们使用公式c = (m^e) % n进行加密，c表示加密后的值。
在这个例子中，加密后的值为c = (5^7) % 187 = 5接下来，Bob收到了加密后的消息c=5，他可以使用私钥进行解密操作。
解密的公式为m = (c^d) % n。
在这个例子中，解密后的消息为m = (5^23) % 187 = 5可以看到，由于RSA算法的特性，只有知道私钥才能够解密加密消息。
这保证了消息的安全性和机密性。
同时，由于计算(n,e)的乘积n是非常困难的，所以也很难通过已知的公钥推导出私钥。
这保证了RSA算法的安全性。
此外，RSA算法还可以用于数字签名。
数字签名是为了验证消息的完整性和真实性而产生的。
使用私钥对消息进行签名，然后使用公钥进行验证。
这个过程可以确保消息在传输过程中没有被篡改。
数字签名在保障网络通信和数据安全方面起到了重要作用。
综上所述，RSA算法是一种非对称加密算法，通过选择两个大素数并运用一些数学原理，实现了加密和解密操作。
其安全性基于素数因子的乘积难以因式分解。
RSA算法不仅可以用于数据加密解密，还可以用于数字签名等领域。
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RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。
但是有不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。
我们经过整理和改写特别推荐给大家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
RSA的安全基于大数分解的难度。
其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。
从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：
可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。
别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：
一、什么是“素数”？
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”（或“互素数”）？
小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。
”这里所说的“两个数”是指自然数。
判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与10、5与26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。
如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。
如15与16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。
如49与51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。
如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
如7和16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
等等。
三、什么是模指数运算？
指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。
模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。
怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。
例如，10 mod 3=1；
26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。
如
好，现在开始正式讲解RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1<e<f(n)。
（5）计算d，使得de≡1 mod f(n)。
这个公式也可以表达为d ≡e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。
公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。
显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e 的乘积做模运算后的结果也必须等于1。
这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。
若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。
设密文为C，则加密过程为：。
（8）解密过程为：。
实例描述：
在这篇科普小文章里，不可能对RSA算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。
为了便于计算。
在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。
试算结果见下表：
通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。
因此，可令d=7。
从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。
假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：
则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密
用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。
由C≡Me(mod n)得：
因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。
（4）密文解密。
用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：
用户B得到明文信息为：11，05，25。
根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。
你看，它的原理就可以这么简单地解释！
当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。
最后简单谈谈RSA的安全性
首先，我们来探讨为什么RSA密码难于破解？
在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。
破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。
从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。
密码破解的实质问题是：从Pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。
换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。
比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。
因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。
因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。