统计学用统计量描述数据
统计量的基本概念与性质
统计量的基本概念与性质统计学作为一门研究数据分析与解释的学科，需要借助合适的统计量来描述和总结数据集的特征。
本文将介绍统计量的基本概念与性质，以及其在实际应用中的作用。
一、统计量的定义统计量是根据样本数据计算得出的数值，用于对总体特征进行估计和推断。
它是对数据进行加工和处理后得到的一个变量或函数。
统计量可以用来度量数据的中心位置、离散程度以及相关性等。
二、统计量的基本性质1. 无偏性：统计量在样本数据大小不同时，对总体参数的估计应该是无偏的，即期望值等于总体参数的真值。
无偏性是评价统计量好坏的重要性质，保证了估计的准确性。
2. 一致性：当样本容量逐渐增大时，统计量的估计值趋近于总体参数的真值。
一致性保证了随着样本的增加，统计量的估计结果会更接近总体的真实情况。
3. 有效性：在所有无偏估计中，方差最小的统计量称为有效统计量。
有效性保证了估计结果的稳定性和准确性。
4. 相关性：通过计算统计量间的相关系数，可以判断不同统计量之间的相关程度。
相关性可以用来分析不同变量之间的关联性和影响程度。
三、常见的统计量1. 中心位置的统计量：用于描述数据集的中心趋势，如均值、中位数和众数。
均值是指将所有数据相加后除以数据的个数，中位数是将数据按大小排列后位于中间位置的数值，众数是指出现频次最高的数值。
2. 离散程度的统计量：用于描述数据的分布情况，如方差、标准差和变异系数。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，标准差是方差的算术平方根，变异系数是标准差除以均值的比值。
3. 相关性的统计量：用于度量两个变量之间的相关程度，如相关系数。
相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关性。
通过计算和分析这些统计量，我们可以更好地了解数据的特点和规律，从而得到有关总体的推断和结论。
在实际应用中，统计量被广泛用于样本调查、实验研究、市场分析、经济预测、质量控制等领域。
总结统计量作为描述数据特征和总体参数的重要工具，在统计学中具有基本概念和性质。
统计量定义
统计量定义
统计学是一门关于收集、整理、分析和审计数据的科学。
统计量是统计学术语，指的是统计分析的变量和观测数据的一系列数字，通常可以表达为平均数、比例、比率、中位数、最大值、最小值等。
它是用于描述数据的简练表达形式，通常也被称为指标。
统计量的定义可以归纳为三类：
1.述统计量：这类统计量用于描述总体或样本的特征。
它包括中位数、众数、普通统计量（如均值、标准差、变异数等）和百分率/比率或百分比。
2.关统计量：这类统计量用于衡量两个变量之间的关系。
它包括皮尔森相关系数、卡方检验、t检验和F检验等。
3.性统计量：这类统计量用于衡量变量的分布情况，它可以用于判断变量是服从正态分布还是非正态分布，或者用于描述数据的偏度和峰度。
它包括均值、标准差、变异数、峰度和偏斜等。
统计量通常在研究中用于描述一组数据，从而帮助我们了解数据中不同变量的特征。
此外，它还可以用于比较不同组数据，从而发现组间差异，从而更加深入地理解数据背后的规律。
例如，把一组数据的均值和标准差计算出来，可以提供基本的信息，如中位数和95%置信区间等，可以帮助我们对这组数据的特征有更好的理解。
此外，可以把两组数据的均值和标准差进行比较，从而找出可能存在的组间差异，从而更进一步地发现组内变量之间隐藏的关系。
统计量是统计学中一个重要的概念，它可以用来描述数据的总体特征，也可以用来比较不同数据组之间的差异，从而揭示数据背后隐藏的规律。
它的确是研究数据的重要工具，为数据分析指明了方向。
统计学公式
3
xi x 4 n(n 1) 3(n 1) 2 ( ) . s (n 1)(n 2)(n 3) (n 2)(n 3)
2
统计学公式
二、概率分布
一、度量事件发生的可能性：
1.事件 A 发生的概率： P ( A) 二、随机变量的概率分布：
统计学公式
一、用统计量描述数据
一、水平的度量：
x x2 x3 1.简单平均数: x 1 n
xn
X
i 1
n
i
n
.
k
M f M 2 f2 M k fk 2.加权平均数： x 1 1 f1 f 2 f k
M
i 1
i i
f
n
.（如果原始数据被分成 k 组，各
2
E2
.
四、假设检验
一、一个总体参数的检验
1.大样本的检验
(1)在大样本的情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其抽样标准差为 /
2
n.
采用正态分布的检验统计量.设假设的总体均值为 0 ,当总体方差 已知时,总体均值检验 的统计量为： z
x 0
/ n
.
(2)当总体方差 未知时,可以采用样本方差 s 来代替,此时总体均值检验的统计量为：
组的组中值分别用 M1，M 2， ，M k 表示，各组的频数分别用 f1，f 2， ，f k 表示，则得到 样本平均数计算公式）
x n 1 2 3.中位数（ M e ） ： Me 1 x n x n 1 2 2 2
n
p ；
(1 )
统计量定义
统计量定义统计量在统计学中是非常重要的概念，它们用于描述和总结数据集的特征。
统计量可以帮助我们更好地理解数据的分布，帮助我们进行推断和决策。
在本文中，我们将介绍一些常见的统计量，并讨论它们在实际中的应用。
1. 平均值（Mean）。
平均值是最常见的统计量之一，它用于描述数据的集中趋势。
平均值的计算方法是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。
平均值可以帮助我们了解数据的中心位置，但它也受到极端值的影响。
在实际中，平均值经常用于衡量产品的质量、公司的绩效等。
2. 中位数（Median）。
中位数是数据集中间位置的值，它将数据集分成两个部分，使得一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。
中位数不受极端值的影响，因此在数据存在极端值的情况下，中位数更能反映数据的中心位置。
中位数在收入、房价等领域的分析中经常被使用。
3. 众数（Mode）。
众数是数据集中出现次数最多的值。
众数可以帮助我们了解数据的分布情况，特别是在描述离散型数据时。
众数在商品销量、考试分数等方面的分析中有着重要的应用。
4. 方差（Variance）。
方差是衡量数据分散程度的统计量，它描述了数据值与其平均值之间的差异。
方差越大，数据的分散程度越大；方差越小，数据的分散程度越小。
方差在财务风险、市场波动等方面的分析中有着广泛的应用。
5. 标准差（Standard Deviation）。
标准差是方差的平方根，它也用于衡量数据的分散程度。
标准差与方差的区别在于，标准差的单位与原始数据的单位相同，因此更容易理解和比较。
标准差在质量控制、投资风险管理等领域有着重要的应用。
6. 相关系数（Correlation Coefficient）。
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
描述数据分散程度的描述性统计量
描述数据分散程度的描述性统计量描述性统计量，也称为汇总统计，是统计学中的一项重要内容，它用于描述和汇总数据，以帮助人们深入了解其意义，并有助于决策者对现实问题进行分析。
这类统计量包括最大值、最小值、平均值、中位数、众数、四分位数等等，它们都可以用来帮助我们描述并分析数据集中的数据分散程度。
最大值和最小值是指一组数据中最大值和最小值，它们可以帮助我们理解数据的极端值。
例如，如果一组数据中最大值是100，最小值是20，则可以认为该数据的分散范围较大。
平均值（或算术平均值）是指一组数据中所有值的算术平均数，它可以帮助我们理解数据集中值的普遍分布状况。
例如，如果一组数据中的平均值是50，则可以认为该数据集是基本分布在50左右，是相对集中的。
中位数是指一组数据中值的中间值，它的使用可以使我们更好地分析数据的分布情况，它不受偏差值的影响，因此可以反映数据的真实分布情况。
例如，如果一组数据的中位数是50，则可以认为该数据集的真实分布是在50左右，是比较集中的。
众数是指一组数据中出现次数最多的数值，它可以帮助我们了解大多数数据值处在什么位置，以及数据整体分布情况。
例如，如果一组数据的众数是50，则可以认为这组数据中大多数值都聚集在50左右，这表明数据整体集中在50左右。
四分位数是指一组数据中值的四分位数，它可以帮助我们更好地分析数据分布情况，它可以反映数据集中数据的分布情况。
例如，如果一组数据的四分位数分别为25、50、75，则可以认为该数据的分布比较均衡，数据的分布范围较大。
总之，描述数据分散程度的描述性统计量包括最大值、最小值、平均值、中位数、众数和四分位数等，它们可以帮助我们深入了解数据的特点，从而帮助决策者在分析数据时取得正确的结论。
同时，在进行描述性统计时，也要注意数据的实际分布情况，以避免受到数据极端值的影响。
社会统计学(第4章 数据的统计量描述)
三、离散性描述指标的比较
全距（四分位数） 全距（四分位数）
粗略、快捷，不稳定， 粗略、快捷，不稳定，不能用于有样本推论总体 用于定序、定距、 用于定序、定距、定比变量
标准差（方差） 标准差（方差）
精准、相对稳定， 精准、相对稳定，可以用于由样本推论总体 用于定距、 用于定距、定比变量
全距与标准差的关系
SS Σ(X − X ) 2 S = = N N
2
方差可以描述数值偏离平均值的程度。 方差可以描述数值偏离平均值的程度。 平方处理解决了绝对值的问题。 平方处理解决了绝对值的问题。 平方处理后对偏离均值的程度更加敏感。 平方处理后对偏离均值的程度更加敏感。
二、离散性的描述指标
4.标准差： 4.标准差：将方差开平方得到的数值 标准差
二、离散性的描述指标
5.分析下列4 5.分析下列4组数据的离散性 分析下列 6]、 a[6 6 6 6 6 6 6]、b[5 5 6 6 6 7 7 ] 9]、 c[3 3 4 6 8 9 9]、d[3 3 3 6 9 9 9 ]
全距=? 全距=? 四分位数=? 四分位数=? 平均离均差= 平均离均差=？ 方差=? 方差=? 标准差=? 标准差=?
三、集中性描述指标的比较
1.描述不同测量等级的变量 1.描述不同测量等级的变量
定类、定序、定距、 众 数：定类、定序、定距、定比变量的描述 中位数：定序、定距、 中位数：定序、定距、定比变量的描述 平均数：定距、 平均数：定距、定比变量的描述
三、集中性描述指标的比较
2.数据的分布形状 2.数据的分布形状 中心重合
第二节 集中性的描述指标
一、数据分布的集中性 二、集中性的描述指标 三、集中性描述指标的比较
一、数据分布的集中性
名词解释统计量
名词解释统计量
统计量是统计学中的一个重要概念，指的是通过对样本数据进行相应计算得出的数值，用以描述样本数据的某种特征或性质。
在统计学中，我们通常经常需要对数据进行总结和描述，从而更好地理解数据的分布和特征。
统计量就是通过对样本数据进行计算，得出能够代表样本的某种特征的数值。
常见的统计量包括均值、中位数、方差、标准差、百分位数等。
这些统计量能够帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度、分布形态等信息。
均值是最常见的统计量，它是样本数据的平均值。
通过计算所有数据的总和，然后除以数据的个数，得到均值。
均值能够反映数据的集中趋势，如果均值较大，说明数据整体较大；如果均值较小，说明数据整体较小。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数能够反映数据的中间位置，对于存在极端值或异常值的数据，中位数更能代表典型值。
方差和标准差是用来衡量数据的离散程度的统计量。
方差是数据与
均值之差的平方的平均数，标准差是方差的平方根。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
百分位数是反映数据位置的统计量，表示有百分之多少的数据小于或等于该数值。
常用的百分位数有四分位数，分别是将数据分为四等分的数值。
第一四分位数表示25%的数据小于或等于该值，第二四分位数就是中位数，第三四分位数表示75%的数据小于或等于该值。
通过计算这些统计量，我们能够更全面地理解数据的特征，进而作出更准确的分析和决策。
统计量的选择应根据具体问题和数据类型来确定，合理使用统计量可以提高对数据的理解和应用能力。
统计学(第四版)期末复习资料
第一章统计和统计数据名词解释1.统计学：收集处理分析解释数据并从数据中得出结论的科学。
2.描述统计：研究数据收集处理汇总图表描述概括与分析等统计方法。
3.推断统计：研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
4.分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据。
5.顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
6.数值型数据：按数字尺度测量的观察值。
7.总体：包含所研究的全部个体（数据）的集合。
8.样本：从总体中抽取的一部分元素的集合。
9.参数：用来描述总体特征的概括性数字度量。
10.变量：说明现象某种特征的概念。
11.分类变量：说明事物类别的一个名称。
12.顺序变量：说明事物有序类别的一个名称。
13.数值型变量：说明事物数字特征的一个名称。
14.概率抽样：随机抽样，遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本。
15.非概率抽样：不随机，根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。
16.简单随机抽样：从包括总体的N个单位的抽样框中随机，一个个抽取n个单位作为样本，每单位等概论。
17.分层抽样：将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同层中独立、随机地抽取样本。
18.整群抽样：总体中若干单位合并为组，群，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。
19.系统抽样：总体中所有单位按顺序排列，在规定范围内随机抽取一单位作为初始单位，然后按事先规则确定其它样本单位。
20. 抽样误差：由于抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之的误差简答题。
1.概率抽样与非概率抽样比较：性质不同，非概不依据随机原则选样本，样本统计量分布不确切，无法使用样本的结果对总体相应参数进行推断。
操作简便，时效快，成本低，专业要求不很高。
概率抽样依据随机原则抽选样本，理论分布存在，对总体有关参数可进行估计，计算估计误差，得到总体参数的置信区间。
提出精度要求。
2.数据收集方法的选择：抽样框中有关信息，目标总体特征，调查问题的内容，有形辅助物的使用，实施调查的资源，管理与控制，质量要求3.误差的控制：抽样误差是抽样随机性带来的，不可避免可以计算，改大样本量。
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人数分布（f ）：8 1 1
n
x甲
xi
i 1
n
01 2011008 10
82(分)
n
x乙
xi
i 1
n
0 8 20 1100 1 12(分) 10
3 - 13
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3.1 水平的度量 3.1.2 中位数和分位数
统计学
STATISTICS (第五版)
中位数
(median)
1. 排序后处于中间位置上的值。不受极端值影响
合计
组中值(Mi) 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235
—
频数(fi) 4 9
16 27 20 17 10
8 4 5
120
3 - 12
Mi fi 580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175
22200
k
Mi fi
➢ 在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气 手枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10 枪的决赛成绩如下表
3-5
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统计学
STATISTICS (第五版)
哪名运动员的发挥更稳定?
➢ 最会的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借决赛的稳 定发挥，以总成绩492.3环夺得金牌，预赛排在第1名 的俄罗斯运动员纳塔利娅·帕杰林娜以总成绩498.1环 获得银牌，预赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮诺·萨 卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌，而预赛 排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫·蒙赫珠勒仅以 479.6环的成绩名列第8名
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
位置 n 1 9 1 5 中位数 1080
22
3 - 16
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统计学
STATISTICS (第五版)
中位数的计算
(数据个数为偶数)
【例3-3】 10个家庭的人均月收入数据
排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 2800
离散系数
统计学
STATISTICS (第五版)
怎样评价水平代表值？
1. 假定有两个地区每人的平均收入数据，其中甲地区 的平均收入为5000元，乙地区的平均收入为3000元。 你如何评价两个地区的收入状况？
2. 如果平均收入的多少代表了该地区的生活水平，你 能否认为甲地区的平均生活水平就高于乙地区呢？
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
方法1—定义公式
QL位置
9 4
2.25
QL 780 (850 780) 0.25
797.5
QU位置
39 4
6.75
QU 1250 (1500 1250) 0.75
1437.5
3 - 21
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统计学
STATISTICS (第五版)
3 - 30
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统计学
STATISTICS (第五版)
怎样评价水平代表值？
☺ 仅仅知道数据的水平是远远不够的，还必须考虑数据 之间的差距有多大。数据之间的差距用统计语言来说 就是数据的离散程度。数据的离散程度越大，各描述 统计量对该组数据的代表性就越差，离散程度越小， 其代表性就越
3 - 31
四分位数的计算
(数据个数为奇数)
【例3-4】 9个家庭的人均月收入数据
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
位 置: 1 2 3 4
方法2—SPSS公式
QL位置
x i1 n
22200 185 120
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统计学
STATISTICS (第五版)
加权平均数
(权数对均值的影响)
【例】甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数 据如下
甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100
人数分布（f ）：1 1 8
乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100
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统计学
STATISTICS (第五版)
四分位数的计算
(位置的确定)
方法3：
Q位置
n 1 2
2
1
其中[ ]表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数的
位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上
方法4： Excel给出的四分位数位置的确定方法
QL位置
n3 4
QU位置
3n 1 4
STATISTICS e mean)
设一组数据为：x1 ，x2 ，… ，xn (总体数据xN)
样本平均数 总体平均数
n
x
x1 x2
xn
xi
i1
n
n
N
x1 x2
xN
xi
i 1
N
N
统计函数—AVERAGE
3 - 10
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统计学
STATISTICS (第五版)
3.1 水平的度量 3.1.1 平均数
统计学
STATISTICS (第五版)
平均数
(mean)
1. 也称为均值，常用的统计量之一
2. 消除了观测值的随机波动
3. 易受极端值的影响
4. 根据总体数据计算的，称为平均数，记为； 根据样本数据计算的，称为样本平均数， 记为x
3-9
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统计学
➢ 由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得好的成绩， 发挥的稳定性至关重要。那么，怎样评价一名运动员 的发挥是否稳定呢？通过本章内容的学习就能很容易 回答这样的问题
3-6
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第 3 章 用统计量描述数据
3.1 水平的度量
3.1.1 平均数 3.1.2 中位数和分位数 3.1.3 用哪个值代表一组数据？
STATISTICS (第五版)
学习目标
度量水平的统计量 度量差异的统计量 度量分布形状的统计量 各统计量的的特点及应用场合 用Excel和SPSS计算描述统计量
3-4
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统计学
STATISTICS (第五版)
哪名运动员的发挥更稳定?
➢ 在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运动员首先进行 每组10抢共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决 赛的8名运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击，再 将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次
加权平均数
(Weighted mean)
设各组的组中值为：M1 ，M2 ，… ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ，… ，fk
k
样本加权平均：
x
M1 f1 M 2 f2
Mk
fk
Mi fi
i 1
f1 f2 fk
n
k
总体加权平均：
M1 f1 M 2 f2
Mk fk
Mi fi
i 1
位 置: 1 2 3 4 5
方法3—4分数公式
6 789
Q位置
9
1 2
1
3
2
QL 850 QU 1500
3 - 23
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统计学
STATISTICS (第五版)
四分位数的计算
(数据个数为奇数)
【例3-4】 9个家庭的人均月收入数据
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
如果位置不是整数，则按比例分摊位置两侧数值的差值
3 - 20
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统计学
STATISTICS (第五版)
四分位数的计算
(数据个数为奇数)
【例3-4】 9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
统计学 数据分析
(方法与案例)
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第五版)
统计名言
一些人使用统计就像喝醉酒的人 使用街灯柱—支撑的功能多于照 明。
——Andrew Lang
3-2
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第 3 章 用统计量描述数据
3.1 水平的度量 3.2 差异的度量 3.3 分布形状的度量
统计学
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
2. 不受极端值的影响
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2020-6-30
统计学
STATISTICS (第五版)
四分位数的计算
(位置的确定)
方法1：定义算法
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
方法2：较准确算法 (SPSS的算法)
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QL 位置
n 1 4
QU 位置
3(n 1) 4
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
位置 n 1 10 1 5.5
2
2
中位数 1180 1250 1165 2
统计函数—MEDIAN
3 - 17
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统计学
STATISTICS (第五版)
四分位数—用3个点等分数据
(quartile)
1. 排序后处于25%和75%位置上的值
9