2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷

2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：)mm ．其中不合格的是( )A ．29.98mmB ．30.03mmC ．30.02mmD ．29.88mm2．（3分）世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为( )A ．95.1710⨯B ．85.1710⨯C ．100.51710⨯D ．90.51710⨯3．（3分）将一副直角三角尺按如图所示放置（其中45GEF GFE ∠=∠=︒，60H ∠=︒，30)EFH ∠=︒，满足点E 在AB 上，点F 在CD 上，//AB CD ，20AEG ∠=︒，则HFD ∠的大小是( )A ．70︒B ．40︒C ．35︒D ．65︒4．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )A ．①②B ．①③C ．②D ．②④5．（3分）如图，点A 的坐标为(1,3)，点B 在x 轴上，把AOB ∆沿x 轴向右平移到CED ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(3,3)D ．(4,3)6．（3分）下列运算正确的是( )A ．22x x x ⋅=B ．222()x y x y -=-C ．236(2)8x x -=-D ．224x x x +=7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x 元，则下列方程正确的是( )A ．12001200101.2x x -=B ．12001200101.2x x -=C ．12001200 1.210x x -=-D ．12001200 1.210x x-=- 8．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到△A BC ''，则图中阴影部分的面积是( )A ．9336ππ-B ．4πC ．8πD ．3π 9．（3分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过(2,0)A ，对称轴是直线1x =-，下列说法正确的是( )A ．0abc >B ．20b a +=C ．930a b c -+<D ．60a c +=10．（3分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且4EF =，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA PG +的最小值为( )A ．6B ．8C ．45D ．10二.填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数5y x =-x 的取值范围是 ．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n 的值是 ． 13．（4分）已知一个多边形每一个外角都是60︒，则它是 边形．14．（4分）如果3x y -=，那么代数式222(2)x y x y x y x+-⋅-的值为 ． 15．（4分）在直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为(1,0)，每一次将AOB ∆绕着点O 逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△11A OB ；第二次旋转后得到△22A OB ，⋯，以此类推，则点2022A 的坐标为 ．16．（4分）已知实数x ，y 满足3x y +=，且3x >-，1y ，则x y -的取值范围 ．17．（4分）如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，将菱形ABCD 沿直线EF 翻折，点B 点P 处，若EP CD ⊥，2CP =，则EF 的长为 ．三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：0(2)|9|tan303π---︒．19．（6分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．20．（6分）如图，在ABC ∆中，AC BC AB =>，36C ∠=︒．（1）在线段BC 上求作一点D ，使得ABC DBA ∆∆∽；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若2AB =，求BC 的值．四.解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，直线y x b =+与反比例函数(0)k y x x=>的图象相交于点(1,)A m ，与y 轴相交于点(0,2)B ，点(,0)C n 在x 轴的正半铀上，且四边形ABCD 是平行四边形．（1）求k ，m 的值．（2）若点D 也在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，求点C 的坐标．22．（8分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y （个)与销售单价x （元)之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销出量y （个)与销售单价x （元)之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w （元)，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23．（8分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，且AE AF =．（1）求证：BD 平分ABC ∠．（2）若3AF =，5BF =，求BE 的长．五.解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，点E 为正方形ABCD 边AD 上一动点（不与A 、D 重合）．连接BE 交AC 于点F ，PQ 经过点F ，分别与AB 、CD 交于点P 、Q ，且PQ BE =．（1）求证：BE PQ ⊥；（2）求证：FP FE =；（3）若2CQ =，求2AC AF -的长．25．（10分）如图，抛物线2122y x bx =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）若点A 的坐标为(1,0)-．①求抛物线的表达式；②点P 在第一象限的抛物线上运动，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当PFH ∆为以PF 为腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．（2）抛物线2122y x bx =-++的顶点在某个y 关于x 的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：)mm ．其中不合格的是( )A ．29.98mmB ．30.03mmC ．30.02mmD ．29.88mm【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．【解答】解：300.0330.03+=，300.0229.98-=，∴零件的直径的合格范围是：29.98mm 零件的直径30.03mm ．29.88mm 不在该范围之内，∴不合格的是D ．故选：D ．【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．2．（3分）世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为( )A ．95.1710⨯B ．85.1710⨯C ．100.51710⨯D ．90.51710⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：数据“5.17亿”可用科学记数法表示为：5.17亿8517000000 5.1710==⨯． 故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．3．（3分）将一副直角三角尺按如图所示放置（其中45GEF GFE ∠=∠=︒，60H ∠=︒，30)EFH ∠=︒，满足点E 在AB 上，点F 在CD 上，//AB CD ，20AEG ∠=︒，则HFD ∠的大小是()A．70︒B．40︒C．35︒D．65︒【分析】由角的和差可求解AEF∠的度数，利用∠的度数，结合平行线的性质可求解EFD三角形的内角和定理可求解EFH∠的度数，进而可求解．【解答】解：20∠=︒，GEFAEG∠=︒，45∴∠=︒+︒=︒，204565AEFAB CD，//65∴∠=∠=︒，EFD AEFFEH∠=︒，H∠=︒，9060EFH∴∠=︒，30∴∠=︒-︒=︒．HFD653035故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，求解EFD∠的度数是解题的关键．4．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )A．①②B．①③C．②D．②④【分析】把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C ．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）如图，点A 的坐标为(1,3)，点B 在x 轴上，把AOB ∆沿x 轴向右平移到CED ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(3,3)D ．(4,3)【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC 是平行四边形，从而得A 和C 的纵坐标相同，根据四边形ABDC 的面积求得AC 的长，即可求得C 的坐标．【解答】解：把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，∴四边形ABDC 是平行四边形，AC BD ∴=，A 和C 的纵坐标相同，四边形ABDC 的面积为9，点A 的坐标为(1,3)，39AC ∴=，3AC ∴=，(4,3)C ∴，故选：D ．【点评】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．6．（3分）下列运算正确的是( )A ．22x x x ⋅=B ．222()x y x y -=-C ．236(2)8x x -=-D ．224x x x +=【分析】根据单项式乘单项式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项逐项进行计算即可．【解答】解：A ．23x x x ⋅=，故本选项错误；B ．22()()x y x y x y -=-+，故本选项错误；C ．236(2)8x x -=-，故本选项正确；D ．2222x x x +=，故本选项错误；故选：C ．【点评】本题考查单项式乘单项式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及整式的加减，掌握单项式乘单项式分组，完全平方公式的结构特征，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是正确判断的前提．7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x 元，则下列方程正确的是( ) A ．12001200101.2x x -= B ．12001200101.2x x -= C ．120012001.210x x -=- D ．120012001.210x x-=- 【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x 元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x 元，根据题意可得等量关系：学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，【解答】解：设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x 元，可得：12001200101.2x x-=， 故选：B ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．8．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到△A BC ''，则图中阴影部分的面积是( )A ．9336ππ- B ．4π C ．8π D ．3π【分析】根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到22BA AC ==，33BC BC ==，再根据旋转的性质得BCA BC A S S∆''=，45C BC A BA ∠'=∠'=︒，而阴影部分的面积()BAC BA C BAA BCC BAABCC S S S S SS ∆''=+'-'+='-'扇形扇形扇形扇形，然后根据扇形面积公式进行计算 ．【解答】解：90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，22BA AC ∴==，33BC BC ==，ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到△A BC ''，BCA BC A S S∆''∴=，45C BC A BA ∠'=∠'=︒，阴影部分的面积()BAC BA C BAA BCC S S S S∆''=+'-'+扇形扇形BAA BCC S S ='-'扇形扇形2245245(3)360360ππ=-8π=．故选：C ．【点评】本题考查了扇形面积公式： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；扇形面积计算公式： 设圆心角是n ︒，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则2360S n R π=扇形或12S lR =扇形（其 中l 为扇形的弧长） ． 9．（3分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过(2,0)A ，对称轴是直线1x =-，下列说法正确的是( )A ．0abc >B ．20b a +=C ．930a b c -+<D ．60a c +=【分析】由抛物线开口方向，抛物线与y 轴交点位置可判断选项A ，由对称轴为直线1x =-可判断选项B ，由抛物线对称性可得抛物线与x 轴的另一交点坐标，从而判断选项C ，由抛物线与x 轴有2个交点可判断选项D ． 【解答】解：抛物线开口向上， 0a ∴>，对称轴是直线1x =-， 0b ∴>，抛物线与y 轴交点在x 轴下方， 0c ∴<，0abc ∴<，选项A 错误．抛物线对称轴为直线12bx a=-=-， 2b a ∴=，0b >，20a b ∴-=，选项B 错误．抛物线对称轴为直线1x =-，抛物线经过(2,0)，∴抛物线经过(4,0)-，3x ∴=-时，930y a b c =-+<，选项C 正确．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(2,0)A ， 420a b c ∴++=， 2b a =， 80a c ∴+=， 8c a ∴=-，66820a c a a ∴+=-=-<∴选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（3分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且4EF =，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA PG +的最小值为( )A．6B．8C．45D．10【分析】因为4EF=，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出2DG=，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A'，连接A D'，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA PG+的值最小，最小值为A G'的长；根据勾股定理求得10+'='-=-=，从而得出PA PGA DAG A D DG'=，即可求得1028的最小值．【解答】解：4EF=，点G为EF的中点，∴=，2DG∴是以D为圆心，以2为半径的圆弧上的点，G作A关于BC的对称点A'，连接A D'，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA PG+的值最小，最小值为A G'的长；4AB=，6AD=，AA∴'=，82222∴'='+=+=，8610A D A A AD∴'='-=-=，1028AG A D DG∴+的最小值为8，PA PG故选：B．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二.填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数y=x的取值范围是5x．【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．【解答】解：若使函数y=有意义，50x∴-，即5x．故答案为5x．【点评】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值是8．【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，∴21 25n=+，解得8n=．故答案为：8．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn =．13．（4分）已知一个多边形每一个外角都是60︒，则它是六边形．【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60︒，且多边形的外角和等于360︒，即可求得这个多边形的边数．【解答】解：一个多边形的每一个外角都等于60︒，且多边形的外角和等于360︒，∴这个多边形的边数是：360606÷=．所以这个多边形是六边形．故答案为：六．【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．14．（4分）如果3x y -=，那么代数式222(2)x y xy x y x+-⋅-的值为 6- ． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把3x y -=代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：222(2)x y xy x y x +-⋅- 2222x y xy xx y x +-=⋅- 2()2()x y xx x y -=⋅-- 2()x y =-- 22x y =-+，当3x y -=时，原式2()236x y =--=-⨯=-， 故答案为：6-．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（4分）在直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为(1,0)，每一次将AOB ∆绕着点O 逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△11A OB ；第二次旋转后得到△22A OB ，⋯，以此类推，则点2022A 的坐标为 2022(2，0) ．【分析】每旋转6次，A 的对应点又回到x 轴正半轴上，故2022A 在x 轴正半轴上，且202220222OA =，由此求解即可．【解答】解：（1）A 点坐标为(1,0)，∴OA 1=，∴第一次旋转后，点1A 在第一象限，12OA =；第二次旋转后，点2A 在第二象限，222OA =； 第三次旋转后，点3A 在x 轴负半轴，332OA =； 第四次旋转后，点4A 在第三象限，442OA =； 第五次旋转后，点5A 在第四象限，552OA =； 第六次旋转后，点6A 在x 轴正半轴，662OA =；如此循环，每旋转6次，A 的对应点又回到x 轴正半轴上， 20226337÷=，∴循环了337次，点2022A 在x 轴正半轴上，且202220222OA =， ∴20222022(2,0)A ．【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，旋转变换，涉及等边三角形、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意找到n A 规律．16．（4分）已知实数x ，y 满足3x y +=，且3x >-，1y ，则x y -的取值范围 91x y -<- ．【分析】根据3x y +=，可以得到x 与y 的关系，根据3x >-，1y ，可以得到y 的取值范围，从而可以得到x y -的取值范围． 【解答】解：3x y +=，且3x >-，1y ， 3x y ∴=-+， ∴331y y -+>-⎧⎨⎩解得，16y <，323x y y y y -=-+-=-+， 9231y ∴-<-+，故答案为：91x y -<-．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是利用数学中转化的数学思想将x y -的取值范围转为求关于y 的代数式的取值范围．17．（4分）如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，将菱形ABCD 沿直线EF 翻折，点B 点P 处，若EP CD ⊥，2CP =，则EF 的长为 32 ．【分析】过C 作CM PF ⊥于M ，FN AB ⊥于N ，由菱形的性质得60B ∠=︒，120BCD ∠=︒，//AB CD ，进而求得90AEP ∠=︒，由折叠的性质得60EPF B ∠=∠=︒，BF PF =，45BEF PEF ∠=∠=︒，继而证得EN FN =，根据平角的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定证得2CP CF ==，由含30度直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到112CM PC ==，由勾股定理得到3PM FM ==，进而得到23BF PF ==，由勾股定理求得3FN EN ==，再根据勾股定理即可求出EF ．【解答】解：过C 作CM PF ⊥于M ，过F 作FN AB ⊥于N ， 四边形ABCD 是菱形，60B ∠=︒， 180120BCD B ∴∠=︒-∠=︒，//AB CD ， 1809090AEP ∴∠=︒-︒=︒，由折叠的性质得60EPF B ∠=∠=︒，BF PF =，1(18090)452BEF PEF ∠=∠=︒-︒=︒，904545EFN BEF ∴∠=︒-︒-︒=∠， EN FN ∴=， EP CD ⊥， 90DPE ∴∠=︒，180906030CPF ∴∠=︒-︒-︒=︒，1901203030PFC CPF ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠， 2CP CF ∴==，112CM PC ==， 223PM FM CP CM ∴=- 23BF PF ∴==，在Rt BFN ∆中，906030BFN ∠=︒-︒=︒， 132BN BF ∴==， 2222(23)(3)3FN EN BF BN ∴==-=-=， 在Rt BFN ∆中，22223332EF EN FN =+=+=． 故答案为：32．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分） 18．（6分）计算：0(2)|9|tan303π---︒．【分析】根据零指数幂的计算法则、二次根式化简、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：0(2)|9|tan303π---︒3319=++ 10=．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是关键．19．（6分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数； （2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．【分析】（1）用最喜欢冰球的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数；（2）先算出喜欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用360︒乘百分比可得圆心角；（3）用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：615%40÷=（名)，4030%12⨯=（名)，答：参加这次调查的学生总人数是40名，选择“冰壶”的学生人数是12名；（2）43603640︒⨯=︒，答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是36︒；（3）根据题意得：406124120054040---⨯=（名)，答：最喜欢“短道速滑”的学生有540名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20．（6分）如图，在ABC∆中，AC BC AB=>，36C∠=︒．（1）在线段BC上求作一点D，使得ABC DBA∆∆∽；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若2AB=，求BC的值．【分析】（1）以A为圆心，AB为半径画弧交BC于D即可；（2）由ABC DBA∆∆∽，得36DAB C∠=∠=︒，则2AD CD AB===，再根据ABC DBA∆∆∽，得DB ABAB BC=，代入可得BD的方程，从而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）ABC DBA∆∆∽，36DAB C∴∠=∠=︒，AC BC=，72CAB∴∠=︒，36CAD DCA∴∠=∠=︒，AD CD∴=，又72BDA CAB∠=∠=︒，2CD AD AB∴===ABC DBA∆∆∽，∴DB AB AB BC=∴222DBDB=+，2240 DB DB∴+-=，解得：51DB =-（负值舍去），51BC BD CD ∴=+=+．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程是解题，等腰三角形的性质与判定等知识，准确画出图形是解题的关键．四.解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，直线y x b =+与反比例函数(0)k y x x=>的图象相交于点(1,)A m ，与y 轴相交于点(0,2)B ，点(,0)C n 在x 轴的正半铀上，且四边形ABCD 是平行四边形．（1）求k ，m 的值．（2）若点D 也在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，求点C 的坐标．【分析】（1）将B 点坐标代入直线解析式，求出b ；再将A 点代入直线解析式求出m ，最后将A 点坐标代入反比例函数解析式即可；（2）根据ABCD 是平行四边形，所以将C 点按照B 到A 的平移方向和平移的距离进行平移即可得到D 点坐标，代入反比例函数解析式即可．【解答】解：（1）把点(0,2)B 代入y x b =+，得2b =，∴直线的表达式为2y x =+，把点(1,)A m 代入2y x =+，得3m =，(1,3)A ∴，将(1,3)A 代入反比例函数的解析式，解得3k =，3k ∴=，3m =．（2）由（1）知点B 向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点A ， 四边形ABCD 是平行四边形，∴点C 向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点D ，(,0)C n ，(1,1)D n ∴+，将D 点坐标代入3y x=， 13n ∴+=，2n ∴=， (2,0)C ∴．【点评】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，利用平行四边形的性质用C 点坐标表示D 点坐标是解决本题的关键．22．（8分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y （个)与销售单价x （元)之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销出量y （个)与销售单价x （元)之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w （元)，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设函数关系式为y kx b =+，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；（2）由每天销售利润=每个遮阳伞的利润⨯销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设函数关系式为y kx b =+，由题意可得：2602824030k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：10540k b =-⎧⎨=⎩， ∴函数关系式为10540y x =-+；（2）由题意可得：2(20)(20)(10540)10(37)2890w x y x x x =-=--+=--+，100-<，∴当37x =时，w 有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．23．（8分）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，对角线AC，BD交于点E，O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE AF=．（1）求证：BD平分ABC∠．（2）若3AF=，5BF=，求BE的长．【分析】（1）由圆周角的定理可得90ADB ACB∠=︒=∠，由等腰三角形的性质可得F AEF BEC∠=∠=∠，由余角的性质可得结论；（2）通过证明ADF BAF∆∆∽，可得AF DFBF AF=，可求DF的长，即可求解．【解答】（1）证明：AB是直径，90ADB ACB∴∠=︒=∠，AF是O的切线，90BAF∴∠=︒，AE AF=，F AEF BEC∴∠=∠=∠，90F ABF CEB CBE∠+∠=∠+∠=︒，ABF CBE∴∠=∠，BD∴平分ABC∠；（2）解：90F DAF F ABF∠+∠=∠+∠=︒，ABF DAF∴∠=∠，又F F∠=∠，ADF BAF∴∆∆∽，∴AF DF BF AF=，∴353DF =，95DF ∴=， AE AF =，AD EF ⊥，95DE DF ∴==， 9975555BE ∴=--=． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形全等是解题的关键．五.解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，点E 为正方形ABCD 边AD 上一动点（不与A 、D 重合）．连接BE 交AC 于点F ，PQ 经过点F ，分别与AB 、CD 交于点P 、Q ，且PQ BE =．（1）求证：BE PQ ⊥；（2）求证：FP FE =；（3）若2CQ =，求2AC AF -的长．【分析】（1）过点Q 作QG AB ⊥于点G ，交BE ，AC 于点H ，M ，得四边形BCQG 是矩形，证明Rt QGP Rt BAE(HL)∆≅∆，然后根据三角形内角和定理即可解决问题；（2）证明()ABF ADF SAS ∆≅∆，可得BF DF =，ABF ADF ∠=∠，然后证明FD FQ =，利用线段的差即可解决问题；（3）先证明()PBF HQF ASA ∆≅∆，可得FP FH =，所以FH FE =，然后证明()HMF EAF AAS ∆≅∆，可得FM AF =，所以2AM AF =，利用等腰三角形的性质由2CQ =，可得CM 的长，进而可以求2AC AF -的长．【解答】（1）证明：如图，过点Q 作QG AB ⊥于点G ，交BE ，AC 于点H ，M ， 四边形ABCD 是正方形，90ABC BCD BAD ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BCQG是矩形，∴==，GQ BC AB=，PQ BE∴∆≅∆，Rt QGP Rt BAE(HL)PQG EBA∴∠=∠，∠=∠，QHF BHGQFH BGH∴∠=∠=︒，90∴⊥；BE PQ（2）证明：AC是正方形ABCD的对角线，=，∴∠=∠=︒，AB AD45BAC DAC=，AF AF∴∆≅∆，ABF ADF SAS()∠=∠，∴=，ABF ADFBF DF∴∠=∠=∠，ABF ADF PQGFQD PQG∠=︒-∠，∠=︒-，90FDQ ADF90∴∠=∠，FDQ FQD∴=，FD FQ∴==，FD FQ FB=，PQ BE∴-=-，PQ FQ BE FB∴=；FP FE（3）解：BE PQ⊥，BFP QFH∴∠=∠=︒，90∠=∠，FB FQ=，ABF PQG()PBF HQF ASA ∴∆≅∆，FP FH ∴=，FP FE =，FH FE ∴=，//QG AD ，HMF EAF ∴∠=∠，FHM FEA ∠=∠，()HMF EAF AAS ∴∆≅∆，FM AF ∴=，2AM AF ∴=，MQ CQ ==，2CM ∴==，22AC AF AC AM CM ∴-=-==．2AC AF ∴-的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质求线段的长是解题的关键．25．（10分）如图，抛物线2122y x bx =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）若点A 的坐标为(1,0)-．①求抛物线的表达式；②点P 在第一象限的抛物线上运动，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当PFH ∆为以PF 为腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．（2）抛物线2122y x bx =-++的顶点在某个y 关于x 的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②分两种情况讨论：①FP FH =，易证FPH FHP BHQ BCO ∠=∠=∠=∠，所以tan tan 2APQ BCO ∠=∠=，即2AQ PQ =，从而可解出P 的坐标和H 的坐标，即可求解； ②PF PH =，CFA PFH PHF BHQ FCO ∠=∠=∠=∠=∠，在Rt ACF ∆中，可求CF 长度，进而求出F 坐标；（2）抛物线的对称轴为x b =，当x b =时，222112222y b b b =-++=+，进而求解． 【解答】解：（1）①将点A 的坐标代入抛物线表达式得：1022b =--+， 解得：32b =， 即抛物线的表达式为：213222y x x =-++；②由B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：122y x =-+， 设PH 与x 轴的交点为Q ，213(,2)22P m m m -++，则1(,2)2H a m -+， 2213112)(2)22222PH m m m m m ∴=-++--+=-+． 若FP FH =，则FPH FHP BHQ BCO ∠=∠=∠=∠，tan tan 2APQ BCO ∴∠=∠=，2AQ PQ ∴=， 即112()2a +=-， 解得3a =或1-（舍去），此时(3,2)P ，1(3,)2H ．∴点F 的纵坐标为115(2)224+=， 15224x ∴-+=， 解得：32x =， ∴点F 的坐标为3(2，5)4； 若PF PH =，过点F 作FM y ⊥轴于点M ，PFH PHF ∴∠=∠，CFA PFH ∠=∠，QHB PHF ∠=∠，CFA QHB ∴∠=∠，又(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C ，22(41)25AB ∴=+=，222215AC =+=，2222420BC =+=，222AB AC BC ∴=+，90ACF BQH ∴∠=∠=︒，ACF BQH ∴∆∆∽，12CF AC ∴==， FM y ⊥轴，//FM x ∴轴，CMF COB ∴∆∆∽， ∴MF CF OB BC=，∴4MF = 1M F ∴=，12CM ∴=， 3(1,)2F ∴； 综上所述，点F 的坐标为3(2，5)4或3(1,)2；（2）抛物线的对称轴为x b =，当x b =时，222112222y b b b =-++=+， 即顶点在2122y x =-+上运动， 即函数的表达式为：2122y x =-+．【点评】本题是二次函数综合题，考查两点式求抛物线解析式，二次函数的最值，三角形相似的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握二次函数的性质以及分类讨论思想的运用．。