小学奥数——抽屉原理题库2(含详细答案)

奥数——抽屉原理题库2（含详细答案）
一．解答题（共40小题）
1．一个体育代表团共有997名运动员，他们着装运动服上的号码数两两不同，但都小于1992． 证明：至少有一名运动员的号码数恰等于另外两名运动员的号码数之和．
2．某校初中二年级共有210名学生，则至少有18名同学是在同一个月里出生的．
3．证明：从1，2，3，⋯，11，12这12个数中任意取出7个数，其中至少有两个数之差
为6．
4．对于任意给定的n 个自然数，其中一定存在若干个数，它们的和是n 的倍数．
5．从1，2，3，⋯，n 中任取10个数，使得其中两个数比值大于
23，小于32
，那么n 的最大值是91．
6．从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的
一个是另一个的整数倍．
7．证明：在121-，221-，321-，⋯，121n --这1n -个数中，至少有一个数能被n 整除
（其中n 为大于1的奇数）．
8．在1，2，3，⋯，90，91这91个自然数中，任取k 个数，使得其中必有两个自然数p 、
q 满足2332q p 剟，试确定自然数k 的最小值并说明理由． 9．证明：如果在边长分别为3和4的矩形中有任意6个点，那么一定可以选出两个点，它
．
10．如果在长度为1的线段上有1n +个点，那么其中必有两点，它们之间的距离不超过1n
． 11．我们把在直解坐标平面内横坐标都是整数的点称为整点．证明：对于平面内任意给定的
五个整点，其中一定存在两个整点，这两个点的连线的中点仍为整点．
12．在边长为1． 13．将59⨯的长方形分成边长为整数的长方形，无论怎样分法，分得的长方形中必有两个
是完全相同的，请你说明理由．
14．从1到100这100个自然数中至少要取出多少个数，才能保证一定存在两个数是互质的．
15．对于平面上给定的25个点，如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1，那么
在这些给定的点中，一定可以找到13个点，这13个点都位于一个半径为1的圆内．
16．证明：在任意给定的100个整数中，一定存在两个数，它们的和或差是100的倍数．
17．将2002张卡片分别标记1，2，3，⋯，2002的数，数字面朝上放在桌上．二位玩家轮
流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止．先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方．请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？
18．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个
完全平立数之差也能被9整除．
19．某夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人必须去一处，
至多去两处游览．求证：至少有332人游览的地方完全相同．
20．设1a ，2a ，3a ⋯，41a 是任意给定的互不相等的41个正整数．问能否在这41个数中找
到6个数，使它们的一个四则运算式的结果（每个数不重复使用）是2002的倍数？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由．
21．一位棋手参加11周(77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这
棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋．
22．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足1u v <…． 23．在1818⨯的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填
法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10．
24．在1，4，7.10⋯，100中任选20个数，其中至少有不同的两组（每组两个数），其和
等于104，试证明之．
25．从连续自然数1，2，3，⋯，2008中任意取n 个不同的数，
（1）求证：当1007n =时，无论怎样选取这n 个数，总存在其中的4个数的和等于4017．
（2）当1006(n n …是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．
26．求证：在小于100的27个正奇数中，必可找到两个数，它们的和等于102．
27．设X 是一个56元集合．求最小的正整数n ，使得对X 的任意15个子集，
只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n ，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．
28．在100个连续自然数1，2，⋯，100中，任取51个数．证明：这51个数中，一定有
两个数，其中一个数是另一个数的倍数．
29．设有22n n ⨯个正方形方格棋盘，在其中任意的3n 个方格中各有一枚棋子．求证：可以
选出n行和n列，使得3n枚棋子都在这n行和n列中．
30．从1，2，3，⋯，3919中任取2001个数．证明：一定存在两个数之差恰好为98．31．有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题．证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．
32．从1，2，⋯，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
33．环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．
34．九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．
35．连接圆周上9个不同点的36条直线染成红色或蓝色，假定由9点中每3点所确定的三角形都至少含有一条红色边．证明有四点，其中每两点的连线都是红色的．
36．一个口袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个．从袋中任意取球，如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同，那么至少要从袋中取出多少个球？
37．把1到3这三个自然数填入1010
⨯的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．
38．有50名同学站在操场上玩游戏，他们彼此间的距离都各不相等．每人手中有一把水枪，游戏规则是：每人都向离自己最近的人打一枪．试证明：每一个人至多挨了5枪．（提示：也就是要证明：假定有一个人至少挨6枪是不可能的）
39．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同．
40．41名运动员所穿运动衣号码是1，2，⋯，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．。