22.9平面向量的减法
22.9平面向量的减法(二)
练习
完量加法的运算（作图）法则： 1、三角形法则，（起点和终点重合） 2、多边形形法则（首尾依次相连接） 3、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
二、向量减法的运算（作图）法则： 1、三角形法则（共起点，尾相连） 2、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
以共起点为起点的对角线向量，就是a，b的和向量； 与被减向量共终点的对角线向量，就是a，b的差向量。
回顾
一、向量加法的运算（作图）法则： 1 三角形法则，（起点和终点重合） 2 多边形形法则（首尾依次相连接）
二、向量减法的运算（作图）法则： 三角形法则（共起点，尾相连）
三、向量减法与加法的关系 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
1
22.8（2） 平面向量的加法
2
举例
1、已知：□OACB,设OA=a，OB=b，试用向量a，b，
3
举例
2、已知：向量a、b，用向量加法的平行四边形法则 作向量a+b，再作向量a-b。
a b
4
举例
3、在一段宽阔的河道中,河水以40米/分的速度向东 流去.一艘小艇顺流航行到A处,然后沿着北偏东100方
向以12千米/时的速度驶往北岸,请用作图方法指出小 艇实际航行的方向.
北岸 NG
河
100
道n
AmM 南岸
7
作业
练习册 22.8（2）
8
表示下列向量：
（1）OC
（2）AB
B
C
b
Oa
A
向量加法的平行四边形法则：
两个不平行向量，求它们的和向量时，可在平面内 以任共取起一点点为为起公点共的起对点角作线两向个量向，量就与是之相a，等b，的以和这向两量个； 与向被量减为向邻量边共作终平点行的四对边角形线，向然量后，以就所是取的a，公b共的起差点向为量。 起点作这个平行四边形的对角线向量，这一对角线向 量就是和向量.
22.9平面向量的减法(2)
教学目标：
1．理解向量的减法; 2．知道利用向量加法与减法的互逆关系导出向量减法的三 角形法则; 3．理解向量减法的三角形法则.
教学重点、难点：
理解向量减法是加法的逆运算，会进行向量的减法运算 会用向量减法的三角形法则求出两个向量的差向量.
教材分析
向量的减法是加法的逆运算，所以所有的减法可以看作 是加法运算.学生需在理解向量加法的基础上才能理解减去一 个向量，等于加上这个向量的相反向量这句话.一般情况下学 生只需掌握两个向量的差向量是以某个点为公共起点作出这 两个向量，以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点 的向量.
B
E
C
FE、 BD、 DA、 DB、 AD、AB、 BA
2. 如图，已知向量 a、 b， 求作： (1) a b ； (2) a b .
OB a b
CA a b
2. 如图，已知向量 a、 b ，求作： a b .
b
D
OD a (b)
CA a b
a b a (b)
b
例题3
在一段宽阔的河道中， 河水以40米 / 分的速度向 东流去.一艘小艇顺流航行到 A处，然后沿着北偏 东10方向以 12千米 / 时的速度驶往北岸，请 用作 图方法指出小艇实际航 行的方向 .
作业布置
习题22.9（2 ）
通过本节课的学习你有什么收获？ 学习本节课你有什么感受？请同学们畅所欲言.
学情分析
利用图形进行向量的学习，由“看图说话”逐步上 升为“读文画图”，关于向量加法的意义，可解释为 “向量的合成，重点应放在使学生掌握有关法则上.
1. 如图，D、E、F分别是ABC三边的中点，
22.9平面向量的减法
22.9平面向量的减法一、知识归纳:1向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.彳j 呻 4减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： a_b=a ・（_b ）. 2. 向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.3. 向量加法的平行四边形法则4 4如果a , b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点 为公共起点作两个向量与 a , b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以 所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 4 4a ,b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.4.另外一个对角线向量，即是 a , b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点二、练习A i.C^ -C A= _________T 2.BC —BA —AD =3. DE T T T -CE - DC + AB =T T T T5. BC - BA + DA + AD = ________ .—t —f —t6. AB - AD - DC = ______ .T T T T7. AB -CD +BD — AC = _________T T9.平行四边形 ABCD 中, CD - DA =10.平行四边形 ABCD 中, T T T AC - AD +CB =4. A B + BA - BC = 8.平行四边形ABCD 中,T T AB _ DA= ________ T TAB - AD= _________T 4 —j 4 4 4AB = a , BC —b .试用向量a 和b 表示向11.如图，多边形 ABCDEF 是正六边形，设 T —t — 量 OA , OC , OE . BA EOT T T T T T13.已知：向量a、b、c，求作：a-b-c.三、练习BTTTT —f —i —i —i1.已知：向量a、b、c、d，求作：a - b • c - d2.已知：在△ ABC中, AD是BC的中线。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
22.9平面向量的减法
22.9 平面向量的减法 教学目标：1、通过探究活动，使学生理解向量减法的意义，经历引进向量减法的过程；2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的混合运算；3、渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化，相互联系的辩证思想；教学过程： 一、复习我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量 已知→a 、→c ，求作→b ，使得→b =→a +→c作法：在平面内任取点A 作向量→AB =→a ，作向量→BC =→c ，则向量→AC =→b二、引入新课1、由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，向量是否有减法运算？如何定义向量的减法运算？回忆一下，我们小时候是怎么学习数的减法的？例如要计算15-8=？首先应该先考虑的是8加上哪个数等于15。
因为8+7=15，所以15-8=7. 那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算如果→a +→x =→b ，则叫做→b 与→a 的差向量，记作→→-a b ，其中→b 是被减向量，→a 是减向量。
2、如何作出两个向量的差向量？例1、已知→b 、→a ，求作→c ，使得→c =→→-a b 分析：因为→c =→→-a b ，则由向量减法的定义，应该有→a +→c =→b ，观察图1，不难发现图1中的→c 即是→b 与→a 的差，请同学们的作法，说出作图的步骤，并作出正确的图形。
作法：在平面内任取一点A 作向量→AB =→a ，再作向量→AC =→b ，则向量→BC 即是所求的→c 我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则。
比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：●向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量； ●和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点。
3、我们在学习数的减法的时候曾经讲过减法是加法的逆运算，即减去一个数等于加上这个数的相反数，那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？先请同学回忆相反向量的定义。
平面向量的减法运算
平面向量的减法运算
平面向量的表示
平面向量可以通过坐标表示形式来表示。
假设平面向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，向量B的坐标表示为(Bx, By)，则平面向量A 的减法运算可以表示为：
A -
B = (Ax - Bx, Ay - By)
示例
例如，如果平面向量A的坐标表示为(3, 4)，向量B的坐标表示为(1, 2)，则平面向量A减去向量B的结果为：
A -
B = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
注意事项
在进行平面向量的减法运算时，需要注意以下几点：
1. 向量的减法运算是按照对应坐标进行计算，即分别减去相应
的x坐标和y坐标。
2. 减法运算结果是一个新的向量，其中x坐标为原向量的x坐
标之差，y坐标为原向量的y坐标之差。
3. 平面向量的减法运算不改变向量的方向，只改变向量的大小。
结论
通过平面向量的减法运算，我们可以得到一个新的向量，该向
量具有原向量的方向，并且大小为原向量之差的绝对值。
这种运算
在平面几何中具有重要的应用，能够帮助我们求解各种几何问题。
通过以上的介绍，我们了解了平面向量的减法运算及其基本性质。
希望这份文档对您有所帮助！。
平面向量的加减法 ppt课件
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
12
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
平面向量的减法运算课件
即: a b = a (b)
r
求两个向量差的运算叫做向量的减法
a
rrrrBiblioteka 2.已知向量rra,
b
,如何作出 向量
a - br?r
r b
r
3.差向量 a - b 的方向与原来两个向量 a
向有什么关系?如何用一句话来表达?
, b的方r
b
OaA rr
ab
向量减法的角形法则： 共起点,箭头指向被减向量
B
uuur r r
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
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|O D | |A D |sin6 0o3333 所 2021/3/9|a b | 3 ， 以 |a b | 23 3 2
return
21
数学使人聪颖
数学使人严谨
数学使人深刻
数学使人缜密
数学使人坚毅
2021/3/9
数学使人智慧 22
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
bd
a
c
2021/3/9
11
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
2021/3/9
12
例2：选择题
（ 1） A BB CA D D
(A )A D (B )C D (C )D B (D )D C
（ 2） A BA CD BC
(A )A D (B )A C (C )C D (D )D C
2021/3/9
13
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
2021/3/9
14
例3：,OCc, 证明： bcaOA
D
b
c
O
A
a
C
B
证明 bc ： D AOC OC CB OB
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
走进新课
已知：两个力的合力为 F 其中一个力为 F 1
求：另一个力 F 2
2021/3/9
F F2
F1
4
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
aba(b)
2021/3/9
5
定 义 ： 求 两 个 向 量 差 的 运 算 叫 向 量 的 减 法 。 表 示 ：aba(b),
说明：
１、与 b 长度相等、方向相反的向量，
叫做 b 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量的和是零向量
2.2.2向量的减法
2021/3/9
1
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
2021/3/9
6
练习
（1） (a) ____a __
(2)a (a) __0___ (a) a _0 _____
(3)如果a, b互为相反的向量，那么
a ___ _b __, b ___a___, a b ___0___
2021/3/9
7
已知a,b,根据减法的定义，作如出a何 b呢？
由向量的加减法知
AC a
b，DB
a
b
C
故|
AC||
a
b
|，| DB||
a
b|
D
因为 DAB12O0，所以 DAC60O
O
12`0o b
A
B a
所以 AD是 C 正三角|形 AC|， 3则
由 于 菱 形 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 , 所 以 A O D 是 直 角 三 角 形 ，
解:原式 (OABO )(OCCO ) (OAOB )0BA
2021/3/9
Come on!
17
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
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18
作业: P101 3. 4(1).(3).(5).(7)
a
b
B
b
ab
b O a
A
方 法 C： 平 移 向 量 a ,b ,使 D 它 们 起 点 相 同 ， 那 么
b 的 终 点 指 向 a 的 终 点 的 向 量 就 是 a b .
2021/3/9
8
二、向量减法的三角形法则
1 在 平 面 内 任 取 一 点 O A
2 作 O A a ,O B b
3 则 向 量 B A a b
.a
O
ab
B
b
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同
2、差向量的终点指向被减向量的终点
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9
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
a
b
ab
AC
B
2.共线反向
a
b
ab
B
AC
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10
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
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练 习 、 如 图 ,已 知 向 量 A B a ,A D b ， D A B 1 2 0 o ， 且 |a | |b | 3 ， 求 |a b |和 |a b |
C
O
D
`
120o
b
B a
A
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20
解：以AB、AD为邻边作平行四边AB形CD，
由于| AD|| AB|3，故此四边形为菱形
bcaO BAB O BBA OA
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练习1
1.如图，a已 ,b,求 知作 ab.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
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练习2
(1)化A 简 B AC BD CD
解 :原 C 式 B B D C C D C D 0 D
(2)化O 简 AO CBO CO
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