平方根与立方根及实数知识点总结
人教版七年级实数平方根与立方根
平方根与立方根 知识点一：算术平方根1．定义一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的__________．2．表示方法a 的算术平方根记为__________，读作“根号a ”，a 叫被开方数．3．算术平方根的性质①正数a a②0的算术平方根是00=__________；③负数没有算术平方根．④a a 是非负数，即a ≥0a a ≥0．【例1-1】求下列各数的算术平方根.①10 ②25 ③6449 ④0.01 ⑤23【例1-2】设3-a 是一个数的算术平方根，那么（ ）.A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【例1-3】算术平方根等于它本身的数有__________．【例1-4】13-m 的算术平方根是2，16-+n m 的算术平方根是3，求n m 29+的算术平方根.举一反三1. 16的算术平方根是________．2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；①S a =；①S 是a 的算术平方根；①a 是S 的算术平方根.正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①3. 12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．4. 已知，()132++-=b a y ，当b a ,取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时，求a b 的非算术平方根.知识点二：平方根1. 平方根的概念一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的________或二次方根．【注意】在这里，a 是x 的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a ≥0．2. 平方根的性质①一个正数a 有_______个平方根，其中一个是“a ”，另一个为“a -”，它们互为相反数； ②0的平方根是0；③负数没有平方根．3. 开平方的概念求一个数a 的平方根的运算，叫做__________．4. 利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x 的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如m x =2或()()02≥=+m m b ax ，然后利用平方根的定义得到m x ±=或m b ax ±=+，进而得到原方程的解．5．平方根与算术平方根的区别①定义不同；②个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同，正数a 的平方根表示为a a a ；④取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．【例2-1】25的平方根是（ ）.A ．5B ．-5C ．5±D ．±5【例2-2】 下列说法正确的（ ）. ①2-是2的一个平方根；②4-的算术平方根是2；③16的平方根是±2；④0没有平方根.A ．①②③B ．①④C ．①③D ．②③④【例2-3】求下列各式的值： ①144 ②81.0- ③196121±④256【例2-4】 求下列各式中的x ．x 2=17 0491212=-x 【例2-5】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）. A ．32+a B ．32+-a C ．32+±a D ．3+±a举一反三1. ()20.7-的平方根是（ ）A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.492. 下列说法中正确的是（ ）A ．81的平方根是3±B ．1的立方根是±1C ．11±=D ．5-是5的平方根的相反数3. 计算.=412___________ =±169___________ =-2894___________ 4. 求下列各式中x 的值. ()16142=-x ()011242=-+x5. 已知9的算术平方根是a ，b 的平方是25，求ab 的值．知识点三：立方根1．立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的__________或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．2. 表示方法：一个数a 的立方根，用符号3a 表示，读作：“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数．注：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．3．开立方求一个数的立方根的运算，叫做__________． 性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；33a a -= ③3333()a a =a ．开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．4．平方根和立方根的区别和联系①被开方数的取值范围不同 在a a 是非负数，即a ≥03a 中，被开方数a 是任意数．②运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．【例3-1】 -64的立方根是（ ）.A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【例3-2】 下列计算中，错误的是（ ）.A 30.125B 3273644-=-C 3313182=D ．3821255-=-【例3-3】若83-=a ，则a =__________．【例3-4】已知，一个正数的平方根是12-a 与a -2，求a 的平方的相反数的立方根.【例3-5】 已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的立方根是4，求b a +的平方根．举一反三 1. 33(1)- ）.A ．－1B ．0C ．1D ．±1 2. 求下列各式的值：（130.001 （23343125- （3）327191--．3. 求下列各式中的x .012583=+x ()2733=+x4. 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.5. 已知12+x 1362-+y x 的立方根是2．（1）求y x ,的值；（2）求xy 3的平方根．知识点四：非负性的运用非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
八年级上数学实数平方根与立方根
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
根据实数知识点总结,解释实数的平方根和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释实数的平方根
和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释实数的平方根和立方根的概念
实数是指包括有理数和无理数在内的所有数，它们可以在数轴
上表示。
在实数中，平方根和立方根是两个重要概念。
平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
我们用符
号√来表示平方根。
例如，对于正数a来说，√a表示一个非负数x，使得x² = a。
如果一个数是负数，那么它没有实数的平方根。
平方
根运算是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的平方根。
例如，
√9 = 3，因为3的平方等于9。
立方根是指一个数的立方等于给定数的解。
我们用符号³√来表
示立方根。
类似地，对于正数a来说，³√a表示一个实数x，使得x³= a。
类似于平方根，如果一个数是负数，它也没有实数的立方根。
立方根运算也是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的立方根。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
需要注意的是，实数的平方根和立方根可能是有理数或无理数。
例如，√4 = 2和³√27 = 3是有理数，因为它们可以写成整数的比例。
然而，√2和³√5是无理数，因为它们不能表示为有理数的比例。
总结起来，实数的平方根和立方根是数学中重要的概念。
它们
可以帮助我们计算和理解现实生活中的各种问题。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
第3讲 实数的有关概念及性质
第3讲 实数的有关概念及性质【学习目标】掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质【教学重难点】算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质考点1：平方根知识点与方法技巧梳理：1．平方根：一个数x 的平方等于a ，即x2＝a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根． 2．平方根的表示方法：①当a ≥0时，a 的平方根记为±a（特别地，0＝0）； ②当a ＜0时，a 没有平方根． 3．平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a，另一个是－a，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根．【例1】判断下列说法是否正确： （1）25的平方根是±5（ ） （2）|－9|的平方根是3（ ） （3）－8是64的平方根（ ） 【变式】填空：（1）0.04的平方根是_________．（2）若a 是x 的一个平方根，则x 的另一个平方根是_________． （3）若a2＝(－7)2，则a ＝_________． （4）平方根是它本身的数是_________． 【例2】求下列各数的平方根：（1）1.44 （2）2249（3）10－4 （4）|－3116| （5）292－202【变式】求下列各数的平方根：（1）2.89 （2）3625（3）0.000001 （4）|－24164| （5）852－362考点2：算术平方根知识点与方法技巧梳理：1．算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a； ②特别地，0的算术平方根是0．2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a≥0．3．（1）(a)2＝a （a ≥0）；（2）a2＝| a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）a （a ＝0）－a （a ＜0）【例1】判断下列说法是否正确：（1）361＝±19；（ ） （2）27是(－27)2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ）【变式1】下列说法错误的是（ ）A ．4是16的平方根B ．1的平方根是1C ．(－3)2的平方根是±3 D ．10－100的算术平方根是10－50 【变式2】填空：（1）49的平方根是_________，225的算术平方根是_________． （2）若a 2＝m ，则a ＝_________． （3）(a)2＝_________（a ≥0）； a 2＝_________．（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．（5x ＋11的平方根是_________，算术平方根是_________． （6）a2的算术平方根是_________，(3－π)2的算术平方根是_________．（73b +＝0，则20172017a b +＝_________．（8）若4a ＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是__________． 【例2】求下列各数的算术平方根：（1）179（2）(－35)2 （3）8－2 （4）64（5）0.01 （6）262－102【变式】求下列各数的算术平方根：（1）3625（2）－(－19)3 （3）14－4 （4）81（5）1210- （6）372－122考点3：平方根和算术平方根的运用 知识点与方法技巧梳理：1．开平方：①求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数．开平方和平方互为逆运算． ②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算． ③平方与开平方互为逆运算．2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 【例1】计算：（1）(－7)2（2）(5.7)2【变式】计算：（1）1 40.64－1 5100（2） 2.56×25 64【例2】利用平方根解方程：（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x －1)2＝49【变式】利用平方根解方程：（1）25(x2＋2)＝86 （2）(3x －2)2＝(－7)2【例3】若|2x ＋3|＋4x －y＝0，求x 、y 的值．【变式】已知|3a －2|＋2a ＋3b＝0，求a ＋b 的值．考点4：无理数知识点与方法技巧梳理：无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．【例】在①0，②10，③－π5，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）A ．47B ．225C ．3πD ．4925考点5：立方根知识点与方法技巧梳理：1．立方根的概念：如果x3＝a ，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根） 2．立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是44；0；③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－22=-．任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 【例1】下列说法正确的是（ ）A －2B ．1的立方根是±1C ．若x ＜0xD ．0没有立方根【变式】下列说法正确的是（ ）A ．－4没有立方根B ．8的立方根是±2C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是【例2】求下列各数的立方根： ①－216 ②0.125 ③61164- ④9【变式】求下列各数的立方根：①343 ②－0.216 ③－1558④3(11)-考点6：立方根的运算知识点与方法技巧梳理：1．开立方：①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．2．=②3a=③a=第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．【例1】求下列各式的值：【变式】求下列各式的值：①【例2】0.30.03，则x∶y＝_________．【变式1】a__________m=．【例3】利用立方根解方程：①27x3＝－64 ②(－3＋x)3＝216＝－5 ④64(x＋1)3＋125＝0【变式】利用立方根解方程：①334364x-＝0 ②(4x＋3)3＝－8－6 ④1000－27(x－2)3＝0考点7：实数知识点与方法技巧梳理：1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同． 【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：2，1311，8，π2，－2，－7.77，00.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：正实数集合：{____________________________________________________…}；分数集合{____________________________________________________…}．【例2【变式A ．－1和0之间 B ．0和11和2之间D ．2和3之间【变式2】比较下列各组数的大小：（1（2）－π______－【变式3】3－－【例4】实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系为____________． 【变式】如图，在数轴上表示2、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为____________．【家庭作业】1a __________m =__________；2．若正数A 的平方根是3x －2和x －6，求x A 的算术平方根．3．已知有理数a 、b 满足a2＋2b ＋2b ＝17－42，求a ＋b 的值．4．已知实数a 、b 满足条件b ．（1）求a 、b 的值；（2）求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)ab ab a b a b ++++++++++的值． C 0 A B有理数集合 无理数集合。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共6页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.例5．求下列式子中的x28x2-63=0．【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=722．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±第2页共6页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训D. ±3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4．的平方根是（）A.B.C.D.5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________7．求x值：（x﹣1）2=258．已知，则a﹣b的值是__________ ．9．观察数表：第3页共6页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求的值．例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
平方根与立方根及实数知识点总结
平方根与立方根及实数知识点总结（总4页）(5) Vk44 ,(6) -v36 ,“平方根”与“立方根”知识点小结 一、 知识要点1、 平方根：⑴、定义：如果x2=a,则x 叫做a 的平方根，记 作“ 土而”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反 数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“亦”。
2、 立方根：⑴、定义：如果戸=（7,则x 叫做a 的立方根，记 作“需”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根 是0；负数有一个负的立方根。
3、 开平方（开立方）：求一个数的平方根（立 方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、 规律总结：1、 平方根是其本身的数是0；算术平方根 是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是 0 和±1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都 有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相 同。
3、石本身为非负数，即長有意 义的条件是4、 公式：（1）（亦）2=a （a$0） ； （2）畅=一扬（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若儿个非负数之和等于 0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广， 务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根 ⑴64；⑵（3；⑶访；⑷存 例2求下列各式的值（1） 土阿；（2） -<16 ；（4）7M）7-例3.求下列各数的立方根：（1）343；（2） -2—；⑶27二.巧用被开方数的非负性求值•大家知道，当a$0时，a 的平方根是土、方， 即a 是非负数.例4、若>12-x -y/x-2 - y = 6,求yx 的立方根.练习：已知y = Vm + l2x-l+2,求0的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当时，a 的平方根是土y[u 9而(+V^) + (―) = 0.四. 巧解方程例6、解方程(1) (x+1) 2=36 (2)27(x+l)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道^>0,即a=0时其值最小，换句话说石的最小值是零.例4、已知：y= Ja-2 +J30 + 1),当a、b 取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时，求W的非算术平方根.练习①已知Jx—3 +卜一3| + (远+ 2)，=0,求xyz 的值。
八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
加速度学习网 我的学习也要加速平方根和立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网 整理一、本节学习指导平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
加速度学习网 我的学习也要加速例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.加速度学习网 我的学习也要加速例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
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“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点 1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作
“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作
（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方
根，这个立方根的符号与原数相同。
3
有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴
)2=a （a ≥0）
=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2
)3(-； （3）49
15
1
； ⑷ 2
1(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
25
9
； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）49
25
±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 10
2
27
-； ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x
的立方根.
练习：已知,21221+-+
-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，
而.0)()(=-++a a
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的
平方的相反数的立方根.
练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
②已知
互为相反数，求a ，b 的值。
六、实数
1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
①按属性分类： ②按符号分类
2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算． 3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、
等．
思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数，那么
－1在哪两
个整数之间？
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)下列各数：
3
3
5，π，0.28，04，3.14159，
0.121121112，3-，
22
7
．其中无理数有（ ）个 七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较
2
3
和3的大小
二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
1
5-和1的大小
四、求商法 比较53
4
和11的大小
练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和5
4
3；
④7-
和－2.45。
八、解答题（每题4分，共8分） 1、当2
1
≤
a 时，化简|12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2
)1(+-b a
b
10
a -1。