2018年长郡中学高三数学模拟试卷(理科)

合集下载

2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷(一)数学(理科)(附答案)

2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷（一）数学（理科）（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（） A ．B ．C ．D ．2.若，则等于（）A ．BC ．D．3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（） A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的算法，则输出的结果是（）{}|||2A xx =<{}|13B x x =<<A B I {}|21x x -<<{}|23x x -<<{}|23x x <<{}|12x x <<(1)z i i +=||z 1212(0,)+∞3y x =1ln||y x =||2x y =cos y x =A ．B ．C ．D ．5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．6.将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（） A ．B ．C ．D ．7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定24354120316386π-83π-()sin(2)3f x x π=+ϕϕ6π3π512π712π8.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（）A ．6B ．7C ．8D ．99.在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（）A ．B ．C ．D ．10.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（） A ． B ．C ．D ．与关系不确定11.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：{}n a 13a 312a 22a 8967a a a a +=+ABC ∆A B C abc ABC ∆S 222()S a b c =+-tan C =34-43-344322221x y a b-=1F 2F O P 12PF F ∆I I x A 2F PI B e ||||OB e OA =||||OA e OB =||||OB OA =||OA ||OB OMN ∆A B OM ON OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u rx y R ∈P ABNM 12y x y +++12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦R >{}|(,),,D a a x y x R y R ==∈∈r r>111(,)a x y =u r 222(,)a x y =u u r 12a a >u r u u r12x x >12x x =12y y >>①若，，，则； ②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中的系数是，则实数． 14.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为．15.已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今年．（已知） 16.已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为．1(1,0)e =u r 2(0,1)e =u u r 0(0,0)=r120e e >>u r u u r r 12a a >u r u u r 23a a >u u r u u r 13a a >u r u u r 12a a >u r u u r a D ∈r 12a a a a +>+u r r u u r r0a >r r 0(0,0)=r12a a >u r u u r 12a a a a ⋅>⋅r u r r u ur 25(ax 5x 80-a =l C C l C A B ||12AB =P C l ABP ∆14C 14C 14C a x b b a kx b ae -=x k 14C 76.7%2log 0.7670.4≈-()|2018||2017||1||1||2017||2018|f x x x x x x x =-+-++-+++++++……x R ∈2(32)(1)f a a f a -+=-a n 222sin cos22()3cos sin 22x xg x kx x x =-+0x ≥m 3m n +=k三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和． 18.如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值．{}n a {}n b 12a =121n n n a a a +=+1n n b a =-0n b ≠1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 12n nn c b ={}n c n n T ABCD DE ⊥ABCD //AF DE 6DE =2AF=BD M //AM BEF A BE C --19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．20.已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．X n n 1F 2F 22221(0)x y a b a b+=>>(P -2PF y M 2PM MF =u u u u r u u u u r2F x l l 2222x y a b +=+A B C D 11F A F B λ⋅=u u u r u u u r 2,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1F CD ∆S21.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．()x xf x e e-=+e x ()1xmf x e m -≤+-(0,)+∞m a 0[1,)x ∈+∞3000()(3)f x a x x <-+1a e -1e a -xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C AB ||AB =l ()||f x x a =-1a >2a =()4|4|f x x ≥--x |(2)2()|2f x a f x +-≤{}|12x x ≤≤a长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（理科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）∵，∴，由， ∴，化简得， ∵， ∴，即（），而， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴，即，∴（）．（2）由（1）知，，∴，∴，两式相减得，，故． 18.（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，DCBDA ADDBC CB 2-36229213k ≥1n n b a =-1n n a b =+121n n n a a a +=+12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++11n n n n b b b b ++-=0n b ≠+1111n n n n n n b b b b b b ++-=+1111n n b b -=*n N ∈111111121b a ===--1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(1)1n n n b =+-⨯=1(*)n b n N n =∈111n n a n n+=+=*n N ∈2n nnc =1212222n n n T =+++…2311122222nn n T +=+++ (12111)11(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++-=-=-- (2)22n nn T +=-BE K B K KM BD ⊥BD M 123KM DE ==DE ⊥ABCD //AF DE AF ⊥ABCD∴，∴，且．∴四边形为平行四边形，可知，∴平面， ∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．（2）如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，设平面的法向量为，由可得．设平面的法向量为，由可得，因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角余弦值为．AF BD ⊥//FA KM FA KM =FAMK //AM FK //AM BEF 13MK BM ED BD ==M BDB (3,0,0)A (3,3,0)B (0,0,6)E (0,3,0)C (3,3,6)EB =-u u u r (0,3,0)AB =u u u r (3,0,0)BC =-u u u rAEB 11(,,1)n x y =r 1113360,30,x y y +-=⎧⎨=⎩(2,0,1)n =r BCE 22(,,1)m x y =u r 2223360,30,x y x +-=⎧⎨=⎩(0,2,1)m =u r A BE C --1cos |5θ=-=-A BE C --15-19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为．（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，所以，其中0,1,2， (10)设，若，则，；若，则，．所以当或，可能最大，，所以的取值为．20.解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，又，∴，于是，且，解得，， X 30463101(0)30C C P X C ===21463103(1)10C C P X C ===12463101(2)2C C P X C ===03463101(3)6C C P X C ===X 13119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y 3~(10,)5Y B 101032()()()55kkkP Y k C -==k =101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55k k k k k k C P Y k k t P Y k k C ----=-====-1t > 6.6k <(1)()P Y k P Y k =-<=1t < 6.6k >(1)()P Y k P Y k =->=6k =7()P Y k =664107731032()()(6)75532(7)6()()55C P Y P Y C ====1>n 62PM MF =M 2PF OM 12PF F ∆12OM F F ⊥112PF F F ⊥1c =221112a b+=22a =221b c ==∴椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．． ∵，∴，解得．由消得，设，，则设，则， ∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为． 21.解：（1）由条件知在上恒成立，令（），则，所以对于任意成立． 2212x y +=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =+11(,)Ax y 22(,)B x y 221,3,x ty x y =+⎧⎨+=⎩22(1)220t y ty ++-=12221t y y t +=-+12221y y t =-+111122(1,)(1,)F A F B x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r 1112(1)(1)x x y y =+++1212(2)(2)ty ty y y =+++21212(1)2()4t y y t y y =++++22224222411t t t t -=--+=++112,13F A F B ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r 22222131t t -≤≤+211,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(2)210t y ty ++-=33(,)C x y 44(,)D x y 112341||||2F CD S F F y y ∆=⋅-===21t m +=S ==43,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦S m 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦57S ⎡∈⎢⎣⎦1F CD ∆S 57⎡⎢⎣⎦(1)1x x x m e e e --+-≤-(0,)+∞x t e =0x >1t >21111111t m t t t t -≤-=--+-++-1t >因为，∴，当且仅当，即时等号成立．因此实数的取值范围是．（2）令函数，则，当时，，，又，故，所以是上的单调递增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即．与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，试比较与的大小．构造函数（），则，再设，，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减．综上所述，当时，；当时，；111131t t -++≥=-1113111t t -≥--++-2t =ln 2x =m 1(,]3-∞-31()(3)x x g x e a x x e =+--+21'()3(1)x x g x e a x e=-+-1x ≥10x x e e->210x -≥0a >'()0g x >()g x [1,)+∞()g x [1,)+∞1(1)2g e e a -=+-0[1,)x ∈+∞00300(3)0x x e ea x x -+--+<(1)0g <120e e a -+-<12e e a -+>1a e -1e a -(1)ln a e -(1)ln e a -ln 1e e -ln 1a a -ln ()1x h x x =-1x >211ln '()(1)x x h x x --=-1()1ln m x x x =--21'()x m x x-=()m x (1,)+∞()(1)0m x m <='()0h x <(1,)+∞ln ()1x h x x =-(1,+)∞1(,)2e e a e -+∈11a e e a --<a e =11a e e a --=当时，．22.解：（1）由，可得的极坐标方程．（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为（），由，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，于是，，由得，，所以的斜率为或． 23.解：（1）当时，当时，由得，解得；当时，由得无解；当时，由得，解得，故不等式的解集为．（2）令，则由，解得，又知的解集为，所以于是解得．(,)a e ∈+∞11a e e a-->cos x ρθ=sin y ρθ=C 212cos 110ρρθ++=l θα=R ρ∈A B 1ρ2ρl C 212cos 110ρρα++=1212cos ρρα+=-1211ρρ=12||||AB ρρ=-==||AB =23cos 8α=tan α=l 33-2a =26,2,()|4|2,24,26,4,x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()4|4|f x x ≥--264x -+≥1x ≤24x <<()4|4|f x x ≥--4x ≥()4|4|f x x ≥--264x -≥5x ≥{}|15x x x ≤≥或()(2)2()h x f x a f x =+-2,0,()42,0,2,,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩|()|2h x ≤1122a a x -+≤≤|()|2h x ≤{}|12x x ≤≤11,212,2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩3a =。

2018年最新湖南省长郡中学2018届高三分班考试（数学理）精品

2018年最新湖南省长郡中学2018届⾼三分班考试（数学理）精品湖南省长郡中学2018届⾼三年级分班考试数学题（理科）时量：120分钟总分：100分⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1．)()1(10为虚数单位i i -的⼆项展开式中的第七项为（）A ．—210B ．210C ．—120iD ．120i2．⼀个空间⼏何体的三视图及其尺⼨如下图所⽰,则该空间⼏何体的体积是（）A ．37B ．314C ．7D ．143．函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是（） A ．)1,21( B ．)1,1(-eC ．)2,1(-eD ．),2(e 4．已知离⼼率为e 的双曲线17222=-y ax ，其右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合，则e 的值为（） A ．43 B ．23234 C ．34 D ．4235．如图，设D 是图中所⽰的矩形区域，E 是D 内函数x y cos =图象上⽅的点构成的区域，向D 中随机投⼀点，则该点落⼊E （阴影部分）中的概率为（）A ．π2B ．π1C ．21D ．ππ2- 6．执⾏下⾯的程序框图，输出的S 值为（）A ．109B ．187C ．98D ．52 7．为了迎接第⼗届全国中学⽣运动会在长沙举⾏，某中学从6名品学兼优的同学中选出4名去进⾏为期三天的宣传活动，每⼈⼀天，要求星期天有2⼈参加,星期五、星期六各有1⼈参加,则不同的选派⽅案的种数为（）A ．90B ．180C ．240D ．3608．已知集合))1(,1(.:},4,3,2,1{},3,2,1{f A N M f N M 若点定义函数→==、))2(,2(f B 、ABC f C ?)),3(,3(的外接圆圆⼼为D ，且)(R ∈=+λλ，则满⾜条件的函数)(x f 有（）A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，每⼩题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9．由抛物线x y =2和直线x=2所围成图形的⾯积为 .10．集合A B A tx x x B x x A x =≤+-=∈≤≤=I 若},012|{},,21241|{2R ，则实数t 的取值范围是。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三数学实验班选拔考试试题理(含解析)

长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4.已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276 【答案】D 【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5.已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是 A. B.C. D.【答案】C 【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C. 7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11 【答案】B 【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8.若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A 【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，则__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15.已知，，则__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；（2）或.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，· 设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（Ⅰ），，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．（Ⅱ）记商家总利润为元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，∴，解得（舍去负值），∴抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由可得，则，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.【解析】试题分析: （Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．则，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，则，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）．将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设，，∵三点共线，则①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。

湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷(二)理科数学试题(解析版)

炎德英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由，得，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...A. B. C. D.【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。

2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞15．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.1517．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC ＝8，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：B．2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵iz＝﹣1+i，∴z＝，∴，则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞1【解答】解：∵2m＞2n＞1，∴m＞n＞0，∴，m＜，ln（m﹣n）与0的大小关系不确定，πm﹣n＞1．因此只有D正确．故选：D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.151【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的两个数x，y，求x2+y2≤1的概率，∵x∈（0，1），y∈（0，1），对应的平面区域面积为：1×1＝1，而x2+y2＜1对应的平面区域的面积为：π，故由题意可得：＝，解得：π＝3.144，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有＝36（种），故选：C．9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝3；取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥2；∴e＝＝＝≤＝，∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故选：B．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．【解答】解：变量x，y满足条件的可行域如图：目标函数的几何意义是，分母是可行域内的点与坐标原点的距离，分子是直线x﹣y＝u，如图中的红色线，当红色线经过D时目标函数取得最大值．最大值为：＝．故选：C．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin60°×＝，AO1＝＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝6BE，∴DE＝2.5，在△DEO1中，O1E＝＝，∴OE＝＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，最小面积为π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]【解答】解：∵f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x），∴e x[f（′x）+f（x）]＝2x+3，∴e x f（x）＝x2+3x+c，∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1∴f（x）＝（x2+3x+1）e﹣x，∴f′（x）＝﹣（x2+x﹣2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，可得：x＝1时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，∵f（1）＝，f（﹣2）＝﹣e2＜0，f（﹣1）＝﹣e，f（0）＝1＞0，f（﹣3）＝e3＞0∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．故m的取值范围是（﹣e，0]，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是﹣11．【解答】解：∵＝（2x+1）•（1﹣+﹣+﹣+），故它的展开式中的常数项是1﹣12＝﹣11，故答案为：﹣11．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为3．【解答】解：等比数列{b n}满足，∴lna n+1﹣lna n＝lnb n，∴lna2018﹣lna2017＝lnb2017，lna2017﹣lna2016＝lnb2016，……，lna2﹣lna1＝lnb1，∴lna2018﹣lna1＝ln（b1•b2•……b2017）＝ln＝ln1＝0，∴a2018＝a1＝3．故答案为：3．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC＝8，则四边形ABCD的面积为．【解答】解：如图，连接AC，可得∠DCB＝105°在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BC2+BA2﹣2BCBA cos60°＝48．∴AB2＝AC2+BC2，∴∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∠DCA＝∠DAC＝15°．∴tan15°．∴四边形ABCD的面积为12×）+8＝24﹣4．故答案为：24﹣4．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为[﹣1﹣，1+]．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON＝，OM＝1，∴＝+，此时λ+μ＝1+；同理可得：＝+＝﹣﹣，此时λ+μ＝﹣1﹣；∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故答案为：[﹣1﹣，1+]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．∴OC＝，OD＝，CD＝，∵OD2＝OC2+DC2＝10，∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，∴CD⊥PO．∵P A＝PB＝AB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥底面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥面ABCD…（6分）（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．在Rt△OCD中，CM＝＝，在Rt△PCD中，CN＝＝，所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…（12分）19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）100﹣100×10×（0.04+0.02×2）＝20（人）（Ⅱ）由已知条件可知：[20，50）内人数为：100﹣100×10×（0.04+0.02+0.02+0.01）＝10；[20，30）人数为2人，[30，40）人数为3人，[40，50）人数为5人．X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝，所以X的分布列为．（Ⅲ）第五组．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由△BF1F2为等腰直角三角形可得b＝c，直线BF1：y＝x+b被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2，即BF1＝2，所以a＝2，，所以椭圆的方程为．（2）若直线l的斜率不存在，则．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），即则，，，由题意点O为△P AC重心，设P（x0，y0），则，，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△P AC的面积＝＝＝．综上可得△P AC的面积S为定值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．【解答】解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）＝1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）＝f（x）﹣ax3＝x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）＝，令h（x）＝，则h′（x）＝，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）＝0，则x ≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）＝0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a＝，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x＝（）2n，则＜（）2n，∴请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是，∴，∴直线l的极坐标方程是，由，消参数得x2+（y﹣2）2＝4，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．…5分（Ⅱ）将θ＝β分别带入ρ＝4sinθ，，得|OP|＝4sinβ，，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是．…10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考数学(理科)(含答案)

长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}26,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82．已知变量,x y 成负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =+C ．29.5y x =-+D ．0.4 4.4y x =-+3．已知命题()0:,0p x ∃∈-∞，0023xx<，命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan sin x x >，则下列命题为真命题的个数是（）①p q ∨；②()p q ∨⌝；③()p q ⌝∧；④()p q ∧⌝. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知()f x 为奇函数，函数()f x 与()g x 的图象关于直线1y x =+对称，若()14g =，则()3f -=（） A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．47．已知实数,x y 满足1x y ≤+，且11y -≤≤，则2z x y =+的最大值（） A ．2 B ．4 C ．5 D ．68．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．78 B ．83π- C ．83 D ．73π- 9．若函数()()sin 3cos f x x x x ωω=+∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（） A ．13 B ．32 C ．43 D ．2310．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确的是（）A ．平面DMN ⊥平面11BCCB B ．三棱锥1A DMN -的体积为定值C ．DMN ∆可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()()[)()[)11sin 2,2,21,21sin 22,21,22,2n n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n ∈N ），若数列{}n a 满足()()*m a f m m =∈N ，数列{}m a 的前m 项的和为m S ，则10596S S -=（）A ．909B ．910C ．911D ．91212．已知函数()e x a f x x -=+，()()ln 24e a x g x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（）A ．ln21-B ．ln 21--C ．ln 2-D ．ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知60,a a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()21sin 2a ax x dx --+=⎰ ．14．已知向量,a b r r 满足：1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，若c xa yb =+r r r，其中0x >，0y >且2x y +=，则c r 的最小值是．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3nf 的前100项和为．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，在面对角线1A D 上取点M ，在面对角线1CD 上取点N ，使得MN ∥平面11AAC C ，当线段MN 长度取到最小值时，三棱锥11A MND -的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.（1）求,,,a b c d 的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2c =，3C π=.（1）当()2sin 2sin 2sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积；（2）求ABC ∆周长的最大值.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点. （1）求证：1C E ∥面1A BD ；（2）若1AB ⊥面1A DB ，求二面角11B A D B --的余弦值.20．已知数列{}n a 满足14a =，()1*1324n n n a a n n -+=+-∈N . （1）是否能找到一个定义在*N 的函数()12n f n A B n C -=⋅+⋅+（A B C 、、是常数）使得数列(){}n a f n -是公比为3的等比数列，若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由；（2）记123n n S a a a a =++++L ，若不等式23n n S n p ->⨯对任意*n ∈N 都成立，求实数p 的取值范围.21．已知()()2e1xf x axx -=++.（1）当0a ≤时，求证：()1f x ≤；（2）当0a >时，试讨论方程()1f x =的解的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线12cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆22cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.23．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()2122f x x x a a =++---.若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围. （2）已知()21f x x =+，a b ≠，求证：()()f a f b a b -<-.长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10:ACBDC 11、12：AB二、填空题13．2π 14．3 15．5031- 16．1 三、解答题17．解：（1）由题意知0.0650.3b =⨯=，1000.330a =⨯=，10.050.350.30.10.2d =----=，1000.220c =⨯=.（2）三个组共60人，所以第三组应抽306360⨯=人，第四组应抽206260⨯=人，第五组应抽106160⨯=人.（3）X 的所有可以取的值分别为1,2,3()4311327P X ===； ()()21322324424142327C C C C C P X +===（或()()243422142327C P X -===）； ()12134244339C C C P X ===（或()234344339C A P X ===）. 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 18．解：（1）由()2sin 2sin 2sin A B C C ++= 得()()4sin cos sin sin A A A B A B +-=+ 得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，6B π=，433a =，233b =，当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩.解得233a =，433b =，故三角形的面积为123sin 23ABC S ab C ∆==. （2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=. 由()()2243434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到. 19．解：（1）设1AB 与1A B 交于F ，连接DF EF 、， ∵11EF BB CC ∥∥，则EF 与1C D 平行且相等. ∴四边形1EC DF 为平行四边形.∴1C E DF ∥，又DF ⊂面1A DB ，1C E ⊄面1A DB ， ∴1C E ∥面1A BD.（2）以BC 的中点O 为原点，分别以OB OA 、方向为x 轴和z 轴正方向，以1CC 方向为y 轴正方向，建系如图，设CO x =，1AA y =，则有(),0,0B x ，()20,0,4A x -，()1,,0B x y ，()210,,4A y x -，,,02y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴2,,02y BD x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，∴()21,,4BA x y x =--uuu r ，∴()21,,4AB x y x =--uuu r由1AB ⊥面1A DB ，则1110,0B A BA B A BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r.则()22222120,240,x y x y x ⎧-+=⎪⎨⎪-+--=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以面1A BD 的法向量为()11,2,3AB =-uuu r，又设面11A B D 的法向量为(),,n a b c =r ，()12,1,0DB =uuu r，()111,0,3A B =-uuu u r ，110A B n ⋅=uuu u r r ，10DB n ⋅=uuu r r ，所以2030a b a c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3a =，则()3,23,1n =-r，∴13536cos ,484B A n -==-⋅uuu r r . 所以二面角11B A D B --的余弦值为64.20．解：（1）∵()()113n n a f n a f n +-+=-⎡⎤⎣⎦， ∴()()1313n n a a f n f n +=++-，所以只需()()11324n f n f n n -+-=-，∵()()()113222n f n f n A Bn B C -+-=-⋅-+-，∴1A -=，24B -=-，20B C -=， ∴1A =-，2B =，1C =. 即()1221n f n n -=-++∴()()1131n n a f n a f --=-=⎡⎤⎣⎦()1134223n n ---=⨯，∴()112323n n n a f n --=⨯+=⨯1221n n --++.（2）()2121333n n S -=++++-L ()()11223521n n -++++++++⎡⎤⎣⎦L L 2322nnn n =-++∴2322n nn S n n -=-+，由23nn S n p ->⨯，得32222133n n n n nn np -+-<=-.设3223n n n nnb -+=，则()111221113n n n n n b b +++-+-=--+()11222122242333nn n n n n n n n ++----+==，当4n ≥时，()110111211n n n n C C ----=+≥+221111n n n n n C C C -----++++≥L ()221221n n n +-=>- ∴4n ≥时，1n n b b +>.容易验证，当13n ≤≤时，1n n b b +≤， ∴()4min 7381n p b b ==， ∴p 的取值范围为73,81⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 21．解：（1）要证()()21e 11x f x ax x -≤⇒++≤，只要证2e 10xax x ---≥（*）令()2e 1xh x ax x =---，则()e 21xh x ax '=--，而()e 20xh x a ''=->，所以()h x '在(),-∞+∞上单调递增，又()00h '=，所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， ∴()()min 00h x h ==，即()0h x ≥，（*）式成立所以原不等式成立.（2）问题转化为函数()2e 1xh x ax x =---的零点个数.而()e 21xh x ax '=--，()e 2xh x a ''=-.令()0h x ''=，解得ln 2x a =.所以()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增. 所以()()min ln 222ln 21h x h a a a a ''==--，设2m a =，()ln 1g m m m m =--，而()()11ln ln g m m m '=-+=-，则()g x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()max 10g m g ==，即()min 0h x '≤（当1m =即12a =时取等）. 1°当12a =时，()min 0h x '=，则()0h x '≥恒成立. 所以()h x 在R 上单调递增，又()00h =，则()h x 有一个零点；2°当12a >时，ln 20a >，()()min ln 20h x h a ''=<，有()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，且x →+∞时，()e 210x h x ax '=--> 则存在10x >使得()10h x '=，又()00h '=这时()h x 在(),0-∞上单调递增，在()10,x 上单调递减，()h x 在()1,x +∞上单调递增所以()()100h x h <=，又x →+∞时，()2e 10x h x ax x =--->，()00h = 所以这时()h x 有两个零点； 3°当102a <<时，ln 20a <，()()min ln 20h x h a ''=<. 有()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，且x →-∞时，()e 210xh x ax '=-->，则存在20x <使得()20h x '=.又()00h '=，这时()h x 在()2,x -∞上单调递增，在()2,0x 上单调递减，()h x 在()0,+∞上单调递增. 所以()()200h x h >=.又x →-∞时，()2e 10xh x ax x =---<，()00h =.所以这时()h x 有两个零点；综上：12a =时，原方程一个解；当12a ≠且0a >时，原方程两个解. 22．解：（1）当3πα=时，1C 的普通方程为()32y x =-，2C 的普通方程为224x y +=.联立方程组()22324y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得1C 与2C 的交点为()1,3-，()2,0.（2）1C 的普通方程为sin cos 2sin 0x y ααα--=.A 点坐标为()22sin ,2cos sin ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为2sin cos sin x y ααα⎧=⎨=-⎩（α为参数），P 点轨迹的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 故P 点是圆心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆.23．解：（1）()f x 的最小值为232a a --，由题设，得223a a -<，解得()1,3a ∈-.（2）证明：∵()()2211f a f b a b -=+-+2222221111a b a b a b a b a b --+==++++++，又a b a b +≤+=222211a b a b +<+++. ∴22111a ba b +<+++. ∵a b ≠，∴0a b ->.∴()()f a f b a b -<-.。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试理数试题Word版含答案

绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．若复数1aiz i=+（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为1，则z =A ．1B ．2CD ．122．已知集合{}2230,A x x x x =+-≤∈Z ，集合{}ln 2B x x =<，则AB =A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．∅ 3．长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为 A ．25B ．35C ．13D ．234．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41281068,4a a a a a +-=-=，则23S = A ．23B ．96C ．224D ．2765．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为A B C ．2 D 6．下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是 A ．()sin f x x =B ．()31f x x =+C ．()2log f x x =D ．()1212xxf x -=+7．执行如图所示的程序框图，若输入1,0i S ==，则输出的结果为 A ．7B ．9C ．10D ．118．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为－1，则含2x 项的系数为A ．560B ．－560C ．280D ．－2809．某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A ．19296π+B ．25696π+C ．192100π+D ．256100π+10．已知椭圆22:195x y C +=，若直线l 经过()0,1M ，与椭圆交于A B 、两点，且23MA MB =-，则直线l 的方程为 A ．112y x =±+ B ．113y x =±+ C ．1y x =±+D ．213y x =±+11．已知三棱锥S A B C -的每个顶点都在球O 的表面上，,4,15S A A B C A B A B C ⊥==底面S BC A --的正切值为4，则球O 的表面积为A ．240πB ．248πC ．252πD ．272π12．已知函数()()2ln 22f x x x x k x =--++在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，则实数k 的取值范围为A ．9ln 21+105⎛⎤⎥⎝⎦，B ．9ln 21+104⎛⎤⎥⎝⎦， C ．7ln 21+104⎛⎤⎥⎝⎦，D ．7ln 21+105⎛⎤ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三第一次模拟考试数学理

炎德∙英才大联考长郡中学2018届高三模拟考试（一）理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}1 2.已知复数2a iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是A. 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. (),2-∞-D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3.设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =A. 5-B. 3C. 5-或3D.5或-3 4.已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π 5.设()[][]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为A. 423π+B. 32π+C. 443π+D. 34π+6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （(),,0,1a b c ∈）,已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为A. 323B. 283C. 143D.1637.在如图所示的程序框图中，若输出的值为3，则输入的x 的值为A. (]4,10B. ()2,+∞C. (]2,4D. ()4,+∞8.若n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1184，则该展开式中的常数项是 A.270- B. 270 C. 90- D.90 9.若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为 A. 2 B. 152-C. 152D.2-10.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，()()4,0,A P p ，且PA BF 等于A. 4B.92 C. 5 D.11211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.23 B. 43 C. 83D. 412.已知函数()3,0,0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈且10x ≠，存在2x R ∈唯一的且12x x ≠，使得()()12f x f x =，当()()23f a f b =成立时，实数a b +=3+ D.3+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为 . 14.设()52345012345122481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++= .15.已知平面向量,a b 的夹角为120，且1,2a b ==，若平面向量m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = .16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且()()()s in s in s in .a b A B c b C+-=-（1）求A 的大小；（2）若()2cos cos 222x x xf x =⋅+，求()f B 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90A D B C A D C ∠=平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 棱上一点，12,1,2PA PD BC AD CD ===== （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）设PM tMC =，若二面角M BQ C --的平面角的大小为30，试确定t 的值.19.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方程.20.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为()2,12P -是1C 上一点（1）求椭圆1C 的方程；（2）设,,A B Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与1C 相交于不同于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 围成的三角形为等腰三角形.21.（本题满分12分）已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ,且12x x <，已知0λ>，若不等式112x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年长郡中学高考数学试卷（理科）一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．95．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．28．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．参考答案与试题解析一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵si nα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列如下：E（ξ）==1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f （x ）在区间[0，]上的最大值为f （0）=e 0cos0﹣0=1；最小值为f （）=e cos ﹣=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．（13分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．【分析】（1）分别求得a 1=1，a 2=2，a 3=3，b 1=1，b 2=3，b 3=5，代入即可求得c 1，c 2，c 3；由（b k ﹣na k ）﹣（b 1﹣na 1）≤0，则b 1﹣na 1≥b k ﹣na k ，则c n =b 1﹣na 1=1﹣n ，c n +1﹣c n =﹣1对∀n ∈N*均成立；（2）由b i ﹣a i n=[b 1+（i ﹣1）d 1]﹣[a 1+（i ﹣1）d 2]×n=（b 1﹣a 1n ）+（i ﹣1）（d 2﹣d 1×n ），分类讨论d 1=0，d 1＞0，d 1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列；设=An +B +对任意正整数M ，存在正整数m ，使得n ≥m ，＞M ，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n ≥m 时，＞M ．【解答】解：（1）a 1=1，a 2=2，a 3=3，b 1=1，b 2=3，b 3=5，当n=1时，c 1=max {b 1﹣a 1}=max {0}=0，当n=2时，c 2=max {b 1﹣2a 1，b 2﹣2a 2}=max {﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c 3=max {b 1﹣3a 1，b 2﹣3a 2，b 3﹣3a 3}=max {﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n ∈N*，且n ≥2，都有c n =b 1﹣na 1，当n ∈N*，且2≤k ≤n 时，则（b k ﹣na k ）﹣（b 1﹣na 1），=[（2k ﹣1）﹣nk ]﹣1+n ，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n﹣c n=d2﹣a1，+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．。