清欠考试--2009-2010第二学期《集合论与数理逻辑》答案

南京邮电大学 2009/2010 学年 第 二 学期 《 集合论与数理逻辑 》清欠考试

标 准 答 案

一、填空题 (每空2分，共20分)

1．设{2,,{3},4},{{},3,4,1}A a B a ==，请在下列集合中间填入适当的符号：{}a ∈ ;{,4,{3}}B a ⊂⊆或 A 。 2．设集合{1,2,3},{2,3},{3,4}A B C ===，则

A B A C ⨯-⨯= {1,2,2,2,3,2<><><>

B C ⊕= {2,4}

3．设{1,2,3,4,2,2}f =<><><>，{4,2,2,5,3,1}g =<><><>，则 f g = {1,5,3,2,2,5}<><><>

1()f g -= {5,1,2,3,5,2}<><><>

4．公式P Q →的逆换式是 Q P → 。

5．集合{}A a =的幂集()A ρ为 {,{a}}Φ 。

6．))())()(((x R z Q y P z y x →→∀∃∃中y ∃的作用域是 P (y )Q (z →

。 7．设N 为自然数集合，R 为实数集合，则[]K N < []K R 。

二、判断题，正确的打√，错误的打×。(每题2分，共20分)

1．“这朵花多好看啊！”是命题。 ( × )

2．如果A B A C ⋂=⋂，则B C =。 ( × )

3．设{,,}A a b c =，则A 上的二元关系{,,,,,,,}R a c b b b c c c =<><><><>具

有传递性。 ( √ )

4．空集是任何集合的子集。 ( √ )

5．关系{,|,,10}f n m n m N n m =<>∈+<是函数。 ( × )

6．凡是陈述句都是命题。 ( × )

7．五个连接词的运算优先次序为,,,,⌝∨∧→ 。 ( × )

8．任何一个谓词公式都与一个前束范式等价。 ( √ )

9．如果关系R 与S 都是自反的，则R S ⋃也是自反的。 ( √ )

10．设R 是集合A 上的一个关系，若R 满足自反性、反对称性和传递性，则R 称

为等价关系。 ( × )

三、解答题 (每小题10分，共50分)

1．将下列命题用公式符号化。

（1）小李既聪明又用功。

（2）天下雪，那么我不去看电影。

（3）他可能是100米或400米赛跑的冠军。

（4）除非天气好，否则我是不会去公园玩的。

解：（1）P ：小李聪明；Q ：小李用功，有：P Q ∧ （2.5分）

（2）P ：天下雪；Q ：我去看电影，有：P Q →⌝ （2.5分）

（3）P ：他是100米的赛跑冠军；Q ：他是400米冠军，有：P Q ∨ （2.5分）

（4）P ：天气好；Q ：我去公园玩，有：P Q ⌝→⌝ （2.5分）

2．请用真值表法求命题公式P Q ⌝→的主析取范式。

解：真值表如下： （6分）

主析取范式为：()()()P Q P Q P Q ∧∨∧⌝∨⌝∧ （4分）

3．用谓词表达式写出下列命题。

（1）并非每个实数都是有理数。

（2）某些机器人会说话。

（3）有些液体能溶解任何金属。

解：（1）()R x ：x 是实数；()Q x ：x 是有理数，有：

()(()())x R x Q x ⌝∀→ （3分）

（2）()R x ：x 是机器人；()T x ：x 会说话，有：

()(()())x R x T x ∃∧ （3分）

（3）()P x ：x 是液体；()Q x ：x 是金属；(,)T x y ：x 能溶解y ，有；

()(()()(()(,)))x P x y Q y T x y ∃∧∀→ （4分）

[评分细则]：有表达不完整的酌情给分。

4．设集合{,,}A a b c =，A 上的关系{,,,}R a c b c =<><>，求R 的自反闭包()r R 和对称闭包()s R 。

解：

c

a (){,,,,,,,,,}A r R R I a c

b

c a a b b c c =⋃=<><><><><> （5分） (){,,,,,,,}C s R R R a c b c c a c b =⋃=<><><><> （5分）

5．右图为{,,,}A a b c d =上某偏序关系R 的关系图：

（1）写出关系R 的二元序偶的表达形式。

（2）画出偏序集对应的哈斯图。 （3）有子集{,}B a c =，求B 的上界、上确界、下界和下确界。

解：（1）

{,,,,,,,,,,,,,,,}R a a b b c c d d d a d b b a b c =<><><><><><><><> （4分）

（2）

（3分）

（3）上界：无；上确界：无；

下界：b,d ；下确界：b （3分）

四、证明题 (10分)

请用推理理论证明(),,P Q Q R R P ⌝∧⌝⌝∨⌝⇒⌝。

解：（1）R ⌝ P

（2）Q R ⌝∨ P

（3）Q ⌝ T （1）（2）I

（4）()P Q ⌝∧⌝ P

（5）P ⌝ T （3）（4）I [评分细则]：表达思路正确的酌情给分。