函数图像平移公式
函数移动规律公式
在数学中，函数的移动规律通常涉及到函数图像的平移。
函数图像的移动遵循以下几个基本的规律：1. 水平移动（左移和右移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向左移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x + a) \)；如果图像向右移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x a) \)。
2. 垂直移动（上移和下移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向上移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) + a \)；如果图像向下移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) a \)。
3. 斜率变化（拉伸和压缩）：如果函数\( f(x) \) 的图像在\( x \) 方向上被拉伸或压缩，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来完成。
如果\( a > 1 \)，图像会被拉伸；如果\( 0 < a < 1 \)，图像会被压缩。
新的函数表达式为\( a \cdot f(x) \)。
4. 对称变换：关于y 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于y 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于x 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于x 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于原点对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于原点对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
5. 周期变换：如果函数\( f(x) \) 的图像具有周期性，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来改变周期。
新的函数表达式为\( f(x \cdot a) \)。
这些规律可以帮助我们理解和预测函数图像在各种变换下的移动和变化。
在实际应用中，这些规律对于解决函数图像相关的问题非常有用。
函数图像平移
函数图像平移函数图像平移是数学中一种重要的概念，可以帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系。
在概念上，这种概念指的是将函数曲线的横坐标或纵坐标方向上进行向量平移，而函数图像的曲线形状不变。
在数学中，函数图像的平移是可以进行精确定义和计算的，可以使用函数图像平移定义、计算和推导函数曲线之间的联系。
函数图像平移的定义是：将函数图像沿横轴或纵轴向左右移动一个相应的偏移量，使得曲线的形状保持不变，但曲线的位置发生变化，函数图像的位置或曲线形状将产生相应的改变。
具体地，函数图像的平移可以用x和y的偏移量表示：若平移了dx，则函数关系变为y=f(x-dx)，若只平移了dy，则函数关系变为y=f(x)+dy，若既平移dx又平移dy，函数关系变为y=f(x-dx)+dy。
在函数图像中，偏移量dx和dy可以是正值或负值，正值表示向右平移或向上平移，负值表示向左平移或向下平移。
所以，任何平移的正负值都可以表示函数图像的平移。
例如，在函数图像中，偏移量dx=5，表示图像向右平移5个单位，偏移量dy=4，表示图像向上移动4个单位。
平移是在函数图像中广泛使用的一种概念。
函数图像的平移可以在确定函数曲线与特定函数关系之间存在的联系时发挥作用，例如在计算函数中，可以运用函数图像的平移概念来推导函数的表达式。
函数图像的平移还可以用于分析函数的不同性质，例如函数的局部极大值和极小值等。
在数学中，局部极大值和极小值是指函数曲线在特定点上的曲线斜率为0的点。
为了检测函数的局部极大值和极小值，通常需要用到函数图像的平移概念，因为平移曲线能够改变函数曲线的斜率，从而有助于我们确定函数图像中存在的极值点。
此外，函数图像的平移还可以用于求解函数的对称性。
通常来说，函数的对称性是指对一个特定的原点或轴，函数图像关于该点或轴对称。
通过改变函数图像的位置，可以确定函数图像的对称性，同时可以推导出该函数的表达式。
总的来说，函数图像的平移是一种重要的数学概念，它能够帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系，并有助于推导和求解函数的表达式以及分析函数的不同属性，因此受到了广泛的应用。
函数图像的平移与伸缩
横向伸缩：改变x轴上的距离， 函数值不变
横向和纵向同时伸缩：改变x 和y轴上的距离，函数值不变
伸缩对函数值的影响：伸缩 不会改变函数的值，但会影
响图像的形状和大小
平移与伸缩的规律总结
平移与伸缩的规律
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平移规律：函数图像在x轴方向上平移时，函数解析式中的x值不变， y值会相应地加减平移的单位；在y轴方向上平移时，x值不变，y值 加减平移的单位。
平移后的函数 图像与原图像 在y轴方向上错 开一定距离， 距离等于平移
的单位。
函数图像向下 平移不改变函 数的值域，即 平移后的函数 值仍为原函数
值的范围。
在实际应用中， 向下平移函数 图像可以用于 描述某些物理 现象或数学问 题的变化规律。
函数图像的伸缩
横向伸缩
定义：将函数图像 在水平方向上拉伸 或压缩，保持纵坐 标不变。
平移与伸缩的实例分析
一次函数的平移与伸缩
函数图像平移：y=x+1向右平移2 个单位，得到y=x-1；向左平移2 个单位，得到y=x+3。
函数值的变化：平移不改变函数值， 伸缩改变函数值。
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函数图像伸缩：y=2x缩短为原来的 一半，得到y=x；伸长为原来的2倍， 得到y=4x。
函数图像的平移与伸缩
汇报人：XX
函数图像的平移 函数图像的伸缩 平移与伸缩的规律总结 平移与伸缩的实例分析
函数图像的平移
向左平移
定义：将函数图像沿x轴方向向左移动一定距离 变化规律：左加右减，即y=f(x+h)表示图像向左平移h个单位 数学表达式：y=f(x-h)或y=f(x)+h，表示图像向右平移h个单位 实例分析：以一次函数y=2x为例，向左平移2个单位后得到新函数y=2(x+2)=2x+4
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
计算指数函数的平移和缩放
计算指数函数的平移和缩放指数函数是数学中的重要函数之一，它具有形如f(x) = a⋅bˣ的表达式，其中a和b都是常数，b被称为底数。
在研究指数函数时，我们常常需要考虑平移和缩放对其图像的影响。
一、指数函数的平移平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，它可以通过改变指数函数中的常数项来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其上下平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅bˣ + h。
当h为正值时，函数图像将向上平移，而当h为负值时，函数图像将向下平移。
平移的距离是|h|，也就是h的绝对值。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其上移2个单位，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ + 2。
相比于原来的函数，新函数的图像将整体上移2个单位。
二、指数函数的缩放缩放是指将函数图像进行拉伸或压缩的操作，它可以通过改变指数函数中的底数来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍（k>0），则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ。
当k大于1时，函数图像将被水平拉伸，而当0<k<1时，函数图像将被水平压缩。
缩放倍数是k的倒数，也就是1/k。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其在横轴方向压缩为原来的一半，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ/2 = 2ˣ/4。
相比于原来的函数，新函数的图像将在横轴方向缩短一半。
三、平移和缩放的综合应用在实际问题中，我们常常需要同时考虑指数函数的平移和缩放。
此时，我们可以先进行缩放操作，再进行平移操作。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍，并将结果向左平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ + h。
这里的缩放倍数是k，平移距离是|h|，分别决定了函数图像的水平压缩程度和水平平移距离。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
常见函数放缩公式
常见函数放缩公式函数的放缩（或者称为函数的伸缩）指的是通过对函数的自变量或因变量进行一系列的变换，来改变函数图像的形状、位置或大小。
常见的函数放缩公式包括平移、压缩和反转等操作。
1.平移：平移是指通过添加或减去一个常数来改变函数图像在横轴或纵轴上的位置。
设原函数为f(x)，平移后的函数为f(x-a)或f(x)+a。
其中a为平移距离，负数表示向右平移，正数表示向左平移。
2.垂直放缩：垂直放缩是指改变函数图像在纵轴方向的大小。
设原函数为f(x)，垂直放缩后的函数为c*f(x)或f(cx)。
其中c为放缩因子，当0<c<1时，函数图像被压缩；当c>1时，函数图像被拉伸。
3.水平放缩：水平放缩是指改变函数图像在横轴方向的大小。
设原函数为f(x)，水平放缩后的函数为f(kx)。
其中k为放缩因子，当0<k<1时，函数图像被压缩；当k>1时，函数图像被拉伸。
4.对称与反转：对称与反转是指改变函数图像在横轴或纵轴上的对称性。
设原函数为f(x)，对称后的函数为f(-x)。
函数在横轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(-x,y)也在函数图像上；函数在纵轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(x,-y)也在函数图像上。
5.垂直翻转：垂直翻转是指将函数图像沿纵轴翻转。
设原函数为f(x)，垂直翻转后的函数为-f(x)。
翻转后，函数图像的上方变为下方，下方变为上方。
6.水平翻转：水平翻转是指将函数图像沿横轴翻转。
设原函数为f(x)，水平翻转后的函数为f(-x)。
翻转后，函数图像的左侧变为右侧，右侧变为左侧。
这些常见的函数放缩公式是数学中很重要且实用的概念。
通过对函数进行放缩，我们可以在图像上更方便地观察函数图像的特征，并且可以根据需要调整函数的位置、大小和形状，以满足不同的需求。
一次函数图像的平移
一次函数图象的平移【知识要点】1、直线)0(≠+=k b kx y 与直线)0(≠=k kx y 的位置关系：平行。
①当0b >时，把直线y kx =向上平移b 个单位，可得直线y kx b =+； ②当0b <时，把直线y kx =向下平移b 个单位，可得直线y kx b =+。
2、直线111b x k y +=与直线222b x k y +=（120,0k k ≠≠）的位置关系：①12k k ≠⇔1y 与2y 相交；②12k k ≠且12b b =⇔1y 与2y 相交于y 轴上同一点（0，1b ）或（0，2b ）； ③12k k =且12b b ≠⇔1y 与2y 平行； ④12k k =且12b b =⇔1y 与2y 重合。
3、平移的处理方法：直线y kx b =+与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
4、交点问题及直线围成的面积问题方法：①两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；②复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； ③往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
【经典例题】【例1】①已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。
②已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向下平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。
思考：已知直线1l ：y kx b =+，将直线1l 向上（或向下）平移m (0)m >个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。
【例2】①已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向左平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。
②已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。
函数转换公式范文
函数转换公式范文在函数转换中，最常见的转换包括平移、缩放和翻折。
下面将分别介绍这三种转换以及对应的公式。
1.平移：平移是将函数的图形沿着坐标轴上下左右移动。
平移的公式如下：平移后的函数：y=f(x-a)+b其中，a表示在x轴方向上平移的距离，b表示在y轴方向上平移的距离。
当a为正时，函数图像向右平移；当a为负时，函数图像向左平移；当b为正时，函数图像向上平移；当b为负时，函数图像向下平移。
2.缩放：缩放是通过改变函数的幅度对函数的图形进行变换。
缩放的公式如下：缩放后的函数：y = a * f(bx)其中，a表示纵向的缩放比例，b表示横向的缩放比例。
当a大于1时，函数图像被放大；当a介于0和1之间时，函数图像被缩小；当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩；当b介于0和1之间时，函数图像在x轴方向上被拉伸。
3.翻折：翻折是通过改变函数的符号对函数的图形进行变换。
翻折的公式如下：翻折后的函数：y=-f(x)其中，函数图像关于x轴翻折后，原本在x轴上方的部分会转移到x轴下方；函数图像关于y轴翻折后，原本在y轴右侧的部分会转移到y轴左侧。
除了这三种基本的函数转换方式，还可以通过组合多个转换来实现复杂的变换效果。
例如，先进行平移再进行缩放可以实现图像在坐标系中的任意位置和大小的变换；组合使用平移、缩放和翻折，可以实现更加丰富多样的图像变换。
总结起来，函数转换公式是描述函数图形在坐标系中进行平移、缩放和翻折等变换的数学关系。
函数转换公式的掌握对于研究函数图像的性质和应用具有重要的意义。
在实际应用中，通过对函数进行转换可以更好地理解函数的特点，并根据需要对函数进行调整，以满足相关需求。
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函数图像平移公式
设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：
1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）
个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-
2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式
为)(m x f n y -=+
3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式
为)(m x f n y +=-
4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式
为)(m x f n y +=+
这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”
说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。
例一、 抛物线3422
---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线
的解析式。
解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242
-+-+-=+x x y 即371622
---=x x y 例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为
322+-=x x y 求此抛物线的解析式。
解：所求抛物线可以看成是将抛物线322
+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32
+---=+x x y 即862
+-=x x y 例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式
解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y
例四、 已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742
+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C
2：抛物线重合。
解：设用n y m x ++.,分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2。
于是C 2的解析式又可表示为5)(2)(2++-+=+m x m x n y 即52)1(22
2+--+-+=n m m x m x y 比较系数得4)1(2-=-m 、7522
=+--n m m 解方程组可得1,1=-=n m 由此可知用1,1+-y x 分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2，所以抛物线C 1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位后可与抛物线C 2重合。
例五、 已知把直线23+-=x y 平移后经过点A （－4，2）求平移后所得到的直线解析式、
并说明是向左还是向右平移几个单位得到的。
解：用m x +替换直线23+-=x y 中的x 得到平移后的直线解析式
2)(3++-=m x y 又平移后的直线经过点A （－4，2）
，于是有 2)4(32++--=m ，解之得4=m
所以平移后所得到的直线解析式是103--=x y ，它是将直线23+-=x y 向左平移4个单位得到的。
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