1.1.2 四种命题的相互关系课件PPT
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高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
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答案 (1)若 ab＝0，则 a＝0 (2)“若 p，则綈 q” (3)若|a|≠|b|，则 a≠b (4)若 a≤－4，则 a≤－3 真命题
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探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
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(3)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面． (4)原命题：若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn<0. 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.
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【跟踪训练 3】 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b ＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”．
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
《1.1.3四种命题间的相互关系》ppt课件
若a+b<0,
则a<-b,b<-a,
又因为f(x)在(-≦,+≦)上是增函数,
所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
即逆否命题为真命题.
所以原命题为真命题.
【补偿训练】已知全集U的两个子集A,B,命题“若x∉A,则x∉B” 是真命题,则下列结论正确的是( A.B C.( A
【解析】(1)由于否命题是“若x2=1,则x=1”,是假命题.
答案:假
(2)由于原命题与其逆否命题等价,故命题p是真命题.
答案:真
(3)逆否命题为:若a2≤b2,则a≤b,由于原命题是假命题,故其 逆否命题也是假命题. 答案:若a2≤b2则a≤b 假命题
【要点探究】 知识点 四种命题间的关系
对四种命题相互关系的三点认识 (1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其 逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互 否”“互为逆否”具有对称性.
【审题】抓信息,找思路
【解题】明步骤,得高分
【点题】警误区,促提升
失分点1:解题时若在①处对原命题的等价命题写错 ,则会导致 本例不得分. 失分点2:本例若对不等式考虑不全面,即忽略②处对参数a的讨 论,漏掉一解,则本例最多得8分. 失分点3:若解题步骤不规范,漏掉③处最后的归纳,则本例最多 得10分
【方法技巧】“正难则反”的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时, 可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命 题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
2018_2019学年高中数学常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件
答案
A
题型三
逆否命题的应用
(1)命题：“已知a，x为实数，若关于 x的不等
例3
式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集为空集，则 a<2”的
逆否命题是________命题(填“真”或“假”)． (2)证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
【解析】
(1)先判断原命题的真假．
【答案】
B
●规律总结 四种命题的真假判断的两种方法 (1)直接判断：利用命题真假判断的方法判断． (2)等价转化：由于互为逆否命题的两命题的真假具
有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化
为先判断原命题和逆 ( 否) 命题的真假，再利用互为逆
否命题的两命题的真假具有等价性即可完成．
◎变式训练
建联系 ―→根据不等式 ax2－2ax－3≤0 对任意 x∈R 恒成立的条件，列出关于参数 a 的不等式(组)， 求解实数 a 的范围
【规范解答】
因为命题“ 对任意 x∈R ， ax2 － 2ax － 3>0 不成立”等 价于对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，(2分) 第一步，通过对条件分析，将所求问题转化为 ax2 － 2ax－3≤0在x∈R上恒成立问题
an＋an＋1 2．原命题为“若 <an，n∈N＋，则{an}为递 2 减数列”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判 断依次如下，正确的是 A．真、真、真 C．真、真、假 B．假、假、真 D．假、假、假
解析 数列．
an＋an＋1 由题知 <an⇔an＋1<an⇔{an}为递减 2
原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和 逆否命题也都是真命题，故选 A.
分)
a<0， 所以 －3≤a≤0，
高中数学 第一章 1.1.2 1.1.3四种命题 四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修11
第二十页，共24页。
练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达成落 实处
1.命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是
A.若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数 C.若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D.若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
(B )
解析 否命题是既否条件又否定结论.故答案为 B.
第二十一页，共24页。
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2.命题“如果 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( D ) A.如果 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－1 B.如果－1<x<1，则 x2<1 C.如果 x>1 或 x<－1，则 x2>1 D.如果 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1 解 析 原 命 题 结 论 “ － 1<x<1” 的 否 定 是 “x≤ － 1 或 x≥1”，原命题条件“x2<1”的否定是“x2≥1”，故逆否命 题是：若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1.
题，并判断它们的真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若 x、y 都是奇数，则 x＋y 是偶数. 解 (1)原命题是真命题.
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
真命题.
第一页，共24页。
填一填·知识(zhī shi)要点、记下疑难点
1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题 叫做 互逆命题 .其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原 命题的 逆命题 . 也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆命 题为“若 q，则 p” .
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1.命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是
A.若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数 C.若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D.若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
(B )
解析 否命题是既否条件又否定结论.故答案为 B.
第二十一页，共24页。
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2.命题“如果 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( D ) A.如果 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－1 B.如果－1<x<1，则 x2<1 C.如果 x>1 或 x<－1，则 x2>1 D.如果 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1 解 析 原 命 题 结 论 “ － 1<x<1” 的 否 定 是 “x≤ － 1 或 x≥1”，原命题条件“x2<1”的否定是“x2≥1”，故逆否命 题是：若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1.
题，并判断它们的真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若 x、y 都是奇数，则 x＋y 是偶数. 解 (1)原命题是真命题.
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
真命题.
第一页，共24页。
填一填·知识(zhī shi)要点、记下疑难点
1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题 叫做 互逆命题 .其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原 命题的 逆命题 . 也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆命 题为“若 q，则 p” .
教育部课题四种命题间的相互关系幻灯片课件
那好同学们仔细观察分析知道反证法是什么东西吗？即反证法 的本质是什么？
原命题：若p，则q，即证原命题为真命题。
反证法：若 q，则 p，即若q，则p为真即逆 否命题：若q，则 p为真，因为原命题与逆否命题同
真同假，所以原命题也是真。
反证法的本质就是原命题与逆否命题同真同假。
反证法：若 q，则p，即若 q，则 p是真命题，即逆否命
题也是真，但原命题与逆否命题同真同假，所以原命题也是真。
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
分析：你觉得正面法即直接法无话可说，你可以采用反证法。 什么是正面法即直接法换个角度理解那就是证明原命题：若p，则q 为真命题。
证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0， 所以 x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 矛盾，矛盾说明原命题成立。
教育部重点课题新教育子课题 《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》
温州市瓯海区三溪中学 张明
1.1.３ 四种命题间的相互关系
一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下 四种情况：
原命题 真 真 假 假
逆命题 若真 若假 若真 若假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.
注意：x=0且y=0的反面是什么。
即证原命题：若p，则q为真命题。
反证法：若 q，则p即若q，则p是真命题。即逆否
命题是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以原命题 也是真命题
习题A组4.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所 对的角也的两条不是直径的相交弦不能平分。
高中数学1.1.2四种命题优秀课件
有相互性，任何一个命题都有逆命题，否命题和逆否命 题.
再见
紧密高考
新课学习
命题方向1 ⇨四种命题的概念
[题目]:写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)假设a>b，那么ac2>bc2.
规律总结
新课学习
『规律总结』 写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否认原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命 题．
新课学习
否命题
互否命题： 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的___条_件__的_否__认____和___结__论_的__否_认____．我们把这样的两 个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做原命题的___否_命__题__． 假设原命题为“假设p，那么q〞，那么其否命题为 “____假_设__¬p_，__那_么__¬q_〞．
新课学习
[标准解答] (1)原命题：假设a是正数，那么a的平方根不等于0； 逆命题：假设a的平方根不等于0，那么a是正数； 否命题：假设a不是正数，那么a的平方根等于0； 逆否命题：假设a的平方根等于0，那么a不是正数； (2)原命题：假设x＝2，那么x2＋x－6＝0； 逆命题：假设x2＋x－6＝0，那么x＝2. 否命题：假设x≠2，那么x2＋x－6≠0； 逆否命题：假设x2＋x－6≠0，那么x≠2. (3)原命题：假设a>b，那么ac2>bc2； 逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b； 否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2； 逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b.
再见
紧密高考
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命题方向1 ⇨四种命题的概念
[题目]:写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)假设a>b，那么ac2>bc2.
规律总结
新课学习
『规律总结』 写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否认原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命 题．
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否命题
互否命题： 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的___条_件__的_否__认____和___结__论_的__否_认____．我们把这样的两 个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做原命题的___否_命__题__． 假设原命题为“假设p，那么q〞，那么其否命题为 “____假_设__¬p_，__那_么__¬q_〞．
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[标准解答] (1)原命题：假设a是正数，那么a的平方根不等于0； 逆命题：假设a的平方根不等于0，那么a是正数； 否命题：假设a不是正数，那么a的平方根等于0； 逆否命题：假设a的平方根等于0，那么a不是正数； (2)原命题：假设x＝2，那么x2＋x－6＝0； 逆命题：假设x2＋x－6＝0，那么x＝2. 否命题：假设x≠2，那么x2＋x－6≠0； 逆否命题：假设x2＋x－6≠0，那么x≠2. (3)原命题：假设a>b，那么ac2>bc2； 逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b； 否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2； 逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b.
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第一章 常用逻辑用语
1．1 命题及其关系 1.1.2 四种命题的相互关系
栏 目 链 接
1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.
2.会利用命题的等价性解决简单问题.
栏
目
链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．四种命题之间的关系：
逆命题，
若q则p
栏
目
链
接
否命题，若 ﹁p则﹁ q
逆否命题， 若﹁q则﹁ p
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2
＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真命题．
方法二 原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m ＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
栏 目
链
所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.
接
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为 真命题．
相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取 x＝1，y＝0)是假命题， 栏
目
所以其逆否命题是假命题．
链 接
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－
6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三 角形是等边三角形”，显然是假命题．
答案：B
变式 训练
2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
解析：方法一 因为 m>0，所以 12m>0，所以 12m＋4>0. 栏
目
所以方程 x2＋2x－3m＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0.
链 接
所以原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为
真命题．
根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；
真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
栏
目
链
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
接
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题． 点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命
题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相 关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．
自测 自评
1．下列说法，不正确的是( B )
栏 目 链 接
自测 自评
2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”
的否命题是(B )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
栏
目
B．若f(x)不是奇函B数，则f(－x)不是奇函数
链 接
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
栏 目
链
即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命 接
题．
点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
题型三 命题的否定与否命题
例3 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它 们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
基础 梳理
2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的___真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 栏
_没_有__关__系__．
目 链
接
例：命题“若 x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它
的逆否命题：
“_若__s_in__x_≠_s_in__y_，__则__x_≠_y____”也是真命题；否命题 “_若__x_≠_y_，__则__si_n__x_≠_si_n__y_____”是假命题，逆命题 “若__s_in__x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y___”也是假命题．
α＝2kπ±π3 (k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若
α＝π3 ，则 cos α＝12”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．
题型二 等价命题的应用
例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函
数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋
b≥0.
栏 目
链
分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证 接
明它的逆否命题．
证明：原命题的逆否命题是“已知函数 f(x)是(－ ∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋ f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若 a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)
是(－∞，＋∞)上的增函数，
自测 自评
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；
栏
目
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
链
接
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数， 则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有
解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则 x＋y≠3；假
命题．
否命题：若 x＋y＝3，则 x＝1且y＝2；假命题．
栏
目
逆否命题：若x＝1且 y＝2，则x＋y＝3；真命题．
链 接
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数
栏 目 链 接
题型一 四种命题真假的判断
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判
断命题的真假．
(1)若x＋y≠3，则x≠1或 y≠2；栏 目链 Nhomakorabea接
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条 件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．
变式 迁移
1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．
(1)当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc；
(2)若 cos α＝12，则 α＝－π3 .
栏
解析：(1)由于原命题与其逆命题“当 c>0 时，若 ac>bc，则 a>b” 目
均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．
链 接
(2)命题“若 cos α＝12，则 α＝π3 ”是假命题，因为，由 cos α＝21得
1．1 命题及其关系 1.1.2 四种命题的相互关系
栏 目 链 接
1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.
2.会利用命题的等价性解决简单问题.
栏
目
链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．四种命题之间的关系：
逆命题，
若q则p
栏
目
链
接
否命题，若 ﹁p则﹁ q
逆否命题， 若﹁q则﹁ p
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2
＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真命题．
方法二 原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m ＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
栏 目
链
所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.
接
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为 真命题．
相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取 x＝1，y＝0)是假命题， 栏
目
所以其逆否命题是假命题．
链 接
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－
6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三 角形是等边三角形”，显然是假命题．
答案：B
变式 训练
2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
解析：方法一 因为 m>0，所以 12m>0，所以 12m＋4>0. 栏
目
所以方程 x2＋2x－3m＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0.
链 接
所以原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为
真命题．
根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；
真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
栏
目
链
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
接
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题． 点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命
题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相 关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．
自测 自评
1．下列说法，不正确的是( B )
栏 目 链 接
自测 自评
2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”
的否命题是(B )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
栏
目
B．若f(x)不是奇函B数，则f(－x)不是奇函数
链 接
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
栏 目
链
即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命 接
题．
点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
题型三 命题的否定与否命题
例3 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它 们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
基础 梳理
2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的___真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 栏
_没_有__关__系__．
目 链
接
例：命题“若 x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它
的逆否命题：
“_若__s_in__x_≠_s_in__y_，__则__x_≠_y____”也是真命题；否命题 “_若__x_≠_y_，__则__si_n__x_≠_si_n__y_____”是假命题，逆命题 “若__s_in__x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y___”也是假命题．
α＝2kπ±π3 (k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若
α＝π3 ，则 cos α＝12”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．
题型二 等价命题的应用
例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函
数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋
b≥0.
栏 目
链
分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证 接
明它的逆否命题．
证明：原命题的逆否命题是“已知函数 f(x)是(－ ∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋ f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若 a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)
是(－∞，＋∞)上的增函数，
自测 自评
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；
栏
目
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
链
接
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数， 则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有
解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则 x＋y≠3；假
命题．
否命题：若 x＋y＝3，则 x＝1且y＝2；假命题．
栏
目
逆否命题：若x＝1且 y＝2，则x＋y＝3；真命题．
链 接
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数
栏 目 链 接
题型一 四种命题真假的判断
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判
断命题的真假．
(1)若x＋y≠3，则x≠1或 y≠2；栏 目链 Nhomakorabea接
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条 件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．
变式 迁移
1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．
(1)当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc；
(2)若 cos α＝12，则 α＝－π3 .
栏
解析：(1)由于原命题与其逆命题“当 c>0 时，若 ac>bc，则 a>b” 目
均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．
链 接
(2)命题“若 cos α＝12，则 α＝π3 ”是假命题，因为，由 cos α＝21得