导数在不等式中的应用

合集下载

利用导数证明或解决不等式问题

利用导数证明或解决不等式问题
导数在解决不等式问题中起着非常重要的作用，利用导数可以轻松地证明和解决各种
不等式问题。

本文将通过一些具体的例子，来展示导数在不等式问题中的应用。

我们来看一个简单的例子：证明当x>0时，e^x\geq1+x。

我们可以利用导数来证明这
个不等式。

我们计算e^x和1+x的导数，分别为e^x和1。

然后我们发现e^x-1\geq x，这意味着在x>0时，e^x\geq1+x。

这样就利用导数证明了这个不等式。

除了证明不等式，我们还可以利用导数来解决不等式问题。

我们要求解不等式
x^2-5x+6>0。

我们可以通过求解x^2-5x+6的导数来判断x^2-5x+6的增减性。

首先求导得
到2x-5，然后令2x-5=0，解得x=\frac{5}{2}。

这说明在x<\frac{5}{2}时，x^2-5x+6<0，而在x>\frac{5}{2}时，x^2-5x+6>0。

不等式x^2-5x+6>0的解集是x<\frac{5}{2}或
x>\frac{3}{2}。

浅析导数在不等式证明中的应用

浅析导数在不等式证明中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它可以证明许多数学定理，也是很多学科研究的基础。

比如，在做不等式证明时，导数会保证证明的连贯性和有效性。

误差分析和最优化问题是数学研究中常常遇到的问题，解决这些问题的关键在于找到较好的函数，以便评估结果的可靠性。

一个函数对于给定的变量可以描述为一个函数模型，那么我们可以利用导数来推测变量之间的关系，其中，导数也可以证明不等式定理。

在不等式领域，可以借助导数分析函数的变化情况，找出函数拐点或者极值，以证明不等式定理。

此外，导数也可以用来证明概率采样的中心极限定理，以及熵的最小值定理。

更重要的是，导数还有助于优化不等式的解，例如证明梯度下降优化算法最优解是全局最优解，以此来满足最优性原理要求。

总之，导数是研究数学问题中一个不可缺少的重要概念，它在不等式证明中的作用是非常重要的。

特别是，根据导数的微分性质，可以衡量函数变化的快慢，从而有效解决不等式证明问题。

导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用摘要本文归纳、介绍了用导数证明不等式的几种证明思路和证明方法.使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题.关键词导数; 不等式; 函数在数学学习中,不等式是证明定理与公式的工具,不等式的证明又蕴涵着许多数学做题的技巧.其证明方法有很多且难易不同,所用技巧也不相同.结合对微分学的学习发现导数在不等式的证明中有着广泛的应用.本文我们就导数在不等式证明中的应用作以下五方面的归纳,分别介绍具体的证明思路和证明方法.1 利用函数单调性证明不等式该方法使用于某区间I 上成立的函数不等式,一般地,证明区间I 上的不等式()()f x g x >时,可以选择()()()F x f x g x =-作为辅助函数.对()F x 求导，判断()F x '是大于0或小于0,判定()F x 的单调性,从而证明不等式.定理 [1]1 设函数)(x f 在区间I 上可导,则)(x f 在I 上递增（递减）的充要条件是()0(()0)f x f x ''><.例1 设0>x ,证明不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-成立. 证明令2)1ln()(xx x x f +-+=,显然.0)0(=f 当0>x 时,有 01111)(2>+=+-+='xx x x x f从而)(x f 在),0(+∞内严格递增,又)(x f 在0=x 处连续,所以,当0>x 时,.0)0()(=>f x f即 .2)1ln(2x x x ->+ （1）设)1(2)1ln()(2x x x x x g ++-+=,则0>x 时,0)1(2)1(2)1(2111)(2222<+-=+-+⋅+-+='x x x x x x x x g 所以)(x g 在),0(+∞内递减,又)(x g 在0=x 处连续,故0>x 时,有0)0()(=<g x g即 )1(2)ln(2x x x x +-<（2）由（1）、（2）可知,当0>x 时,有)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-. 注构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的.为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形.2 利用函数的极值证明不等式此法使用范围也是在某区间上成立的不等式,这里所作的辅助函数()F x 比较的不是函数的端点,而是极值和最值.定理]1[3 设函数)(x f 在点0x 连续,在某邻域),(00δx U 内可导,)1(若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则)(x f 在点0x 取得极小值.)2(若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则)(x f 在点0x 取得极大值.定理]1[4 设函数)(x f 在0x 的某邻域),(0δx U 内一阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .)1(若0)(0<''x f ,则)(x f 在0x 取得极大值. )2(若0)(0>''x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.例3 证明：121-p ≤p p x x )1(-+≤1.,10≤≤x 1>p .分析由待证不等式建立辅助函数,当)(x f 在定义域内可导时,只须解方程()0f x '=得出稳定点,再对每个稳定点应用定理3或定理4判定是否为极值点,求出极大（小）值,再借助函数的单调性证明不等式成立.证明引入辅助函数)(x f =ppx x )1(-+,则有])1([)(11----='p p x x p x f ,求得稳定点21=x , 又0)1()[1()(]22>-+-=''--p p x x p p x f故21=x 是)(x f 在)1,0(的唯一极值点,且有极小值121)21(-=p f ,而1)1()0(==f f 为)(x f 在]1,0[上最大值,于是有121-p ≤p p x x )1(-+≤1.例4 设12ln ->a 为任一常数,试证：当0>x 时，xe ax x <+-122. 证明当0>x 时,取2()21xf x e x ax ≡-+-.因0)0(='f ,所以只要证明当0>x 时022)(>+-='a x e x f x,或0)(min 0>'>x f x令 02)(=-=''xe xf ,解得稳定点 2ln =x 当2ln <x 时,0)(<''x f 2ln >x 时,0)(>''x f所以,2ln =x 是)(x f 的最小值点.即有 a f x f x 22ln 22)2(ln )(min 0+-='='>02)2ln 1(2>+-a 故当0>x 时,xe ax x <+-122成立.注利用最值证明不等式,如果函数()()()F x f x g x =-在I 上不是单调函数,要证在I 上有()()f x g x ≥成立,不妨证明()F x 在I 上的最小值0()0F x ≥；要证在I 上有()()f x g x ≤成立,不妨证明()F x 在I 上的最大值0()0F x ≤.4 利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论.定理]6[5 )(x f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--. 例5 利用)(x f ln x =-(0)x >是凸函数,证明：1212nnx x x λλλ≤ 1122n n x x x λλλ+++ .其中0i x >,0i λ>,11nii λ==∑.证明因为)(x f ln x =-(0)x >是凸函数,所以詹森不等式11()()nni iiii i f x f x λλ==≤∑∑成立.即 1122ln()n n x x x λλλ-+++ ≤1122[ln ln ln ]n n x x x λλλ-+++1122ln()n n x x x λλλ-+++ ≤1212ln()n n x x x λλλ-亦即 1122ln()n n x x x λλλ+++ ≥1212ln()n n x x x λλλ从而 1212nnx x x λλλ≤ 1122n n x x x λλλ+++注如果)(x f 是I 上凸（凹）函数,那么由定义,对于I 上的任意两点1x ,2x 总有12121212()()()()()(())2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥, 所以只需证明)(x f 在I 上是凸（凹）函数即可证上述不等式.6 利用两导数的不等性证明不等式使用该方法，可以有待证不等式建立两个再端点值相等的函数，比较两函数导数的大小，应用下面定理证明不等式.定理]4[7设函数(),()f x g x 满足:（1）在区间[,]a b 上可导;（2）在半开区间(,]a b 上有,()()f x g x ''>; （3）()()f a g a =, 则,在[,]a b 上,有()()f x g x >.证明设()()()F x f x g x =-,则在[,]a b 上,有()()()0F x f x g x '''=->因而，()F x 是(,]a b 上的增函数另一方面,()()()0F a f a g a =-=,且lim ()()0x a F x F a +→==,故()F x 在[,]a b 上递增且()0F a =于是,当(,]x a b ∈时,(,]x a b ∈,即()()f x g x >.此定理具有明显的几何意义:如果曲线(),()y f x y g x ==,都过一点(,())M a f a ,且当a xb <≤时,曲线()y f x =的切线斜率大于曲线()y g x =的切线斜率,则曲线()y f x =必在曲线 ()y g x =的上方.类似地可以得到定理]3[8 设函数(),()f x g x 满足: （1）在区间[,]a b 上可导;（2）在半开区间[,)a b 上,有()()f x g x ''<; （3）()()f b g b =, 则, 在[,]a b 上,有()()f x g x >.例8 证明3sin 6x x x ->. (0)x <证明设3(),6x f x x =- ()sin g x x =,显然(0)(0)f g =,对(),()f x g x 求导得，2()12x f x '=-,()cos g x x '=为在(,0)-∞上判断()f x '与()g x '的大小,在求一次导数,得()f x x ''=-，()sin sin()g x x x ''=-=-因0x <，即0x ->，故sin()x x ->-.又因为(0)(0)1f g ''==,在(,0)-∞上应用定理7即知()()f x g x ''<,再在(,0)-∞上应用定理7,知()()f x g x >，即3sin 6x x x -> (0)x <.以上介绍了六种应用导数证明不等式的方法,并且举例说明了其证明思路及方法,体现了导数在证明不等式中的应用,关于文献[5]、[7]、[8]、[10]中给出的方法对于知识理论研究具有十分重要的价值.证明不等式的方法有很多种,在这里只介绍了其中的六种方法,对于文献[9]中的介值性的应用，其用来证明不等式的应用还有待于研究.在证明不等式中，通常需要根据待证不等式构造辅助函数,然后借助导数知识分别利用相应的方法去证明,许多情况下可以应用多种方法综合地进行证明.参考文献[1] 华东师范大学数学系.编数学分析上册[M]. 北京: 高等教育出版社,2001,119-156.[2] 裴礼文.数学分析内容、方法与技巧[M].（上）北京: 高等教育出版社,1993,170-205.[3] 邵剑等.大学数学考研专题复习[M]. 北京: 科学出版社,2001,300-309.[4] 周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报,2000,39(3):107-111.[5] 赵朋军.用导数证明不等式[J].商洛师范专科学校学报,2005,19(1):96-98.[6] 刘绛玉,郝香芝,陈佩宁.不等式的证明方法[J].石家庄职业技术学院学报,2001,16(6):39-41.[7] 刘恒群.用导数研究不等式[J].宁夏工学院学报,1997,9(1):63-64.[8] 梁俊平.导数在不等式证明中的应用[J].龙岩师专学报,1997,15(3):167-170.[9] 苏农.关于导数的介值性的简单应用[J].高等数学研究,2006,9(5):55-56.[10] 尚肖飞,贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原教育学院学报,2002,20(2):35-37.。

导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用齐雨萱高中数学学习中，不等式是研究各项数学问题的基础工具，不等式证明是一种常见数学题型，也是同学们较为头疼的数学题型之一，要想提高自身的不等式证明准确率和效率，就必须充分掌握运用导数理论展开科学解题，导数理论证明不等式是最为高效和基本的一种解题方法，合理利用导数工具进行不等式实践证明，能够有效将不等式证明过程从困难转化为简单，帮助自身建立起更好的数学自信心，并提高数学解题综合能力。

本文将对导数在不等式证明中的应用展开分析与探讨，为不等式证明过程提供一定借鉴与参考。

1 合理运用导数单调性证明不等式在实践计算函数某个区间导数最大值或者小于0时，可以通过合理运用导数单调性展开科学高效证明。

首先，必须准确计算出该函数在此区间中表现出来的递减或者递增过程，这样才能够顺利证明不等式问题。

在日常证明数学不等式过程中，要学会结合不等式的不同特点，合理运用不同形式构造出对应的函数，同时科学采用导数工具去证明出实际构造出函数的单调性，这样一来就能够根据函数单调性特征去完成对该不等式的有效证明，提高整个证明解题过程的效率。

通过去科学准确判断出函数单调性，就可以比较出区间大小，同时在该区间中融入不等式，有效将不等式与函数结合在一起，除此之外，要正确认识到利用导数单调性进行证明不等式能够为自身提供极为实用的解题思路，无论是多复杂的曲线，往往只需要经过两个步骤就可以实现对不等式题目的高效准确证明。

这两个解题步骤是先将不等式与函数有机结合起来，接着准确判断出该函数在对应区间的单调性。

比如，当遇到这个问题时，已知X〉0,证明X-X2/2-1N （1+X）〈0，我们在证明这个不等式的时候，可以合理利用导数单调性去进行有效证明。

在相应单调区间内，通过判断函数是递减还是递增去得出该不等式是否成立。

证明解题步骤如下所示：假设函数f(X)=X-X2/2-1N（1+X）(X〉0),则f （X）=X-X2/2，当X〉0时，f（X）〈0，这样我们就能够准确判定出f（X）在X〉0区间中该函数是一种递减的发展趋势，X=0可以去除函数的最大值，通过f（X）〈f(0)有效证明出f（X）〈0成立，并且也能够准确证明出X-X2/2-1N（1+X）〈0是成立的。

导数在证明不等式中的有关应用

导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。

具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。

例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。

通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。

因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。

因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。

进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。

因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。

2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。

其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。

考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。

如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。

这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。

我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。

因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。

根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。

例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。

导数在研究不等式中的应用举例

导数在研究不等式中的应用举例陕西张磊导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线,常见的题型有四种.基本方法:构造函数,利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1 比较两个函数值大小(尤其比较两抽象函数)(1) 设函数f(x) , g(x)在(a ,b)上可导,且f′(x)>g′(x) ,则当a<x g(x) (B) f(x)+ g(a)> g(x)+ f(a)(C) f(x)< g(x) (D) f(x)+ g(b)> g(x)+ f(b)解构造函数F(x)= f(x) − g(x) ,则F′(x)=f′(x) −g′(x)>0 ,故函数F(x)在区间[a ,b]上递增 ,又a<x f(x)恒成立,又常数a ,b满足a>b>0 ,则下列不等式一定成立的是( )(A) bf(a)>af(b) (B) bf(a)<af(b) (A) af(a)>bf(b) (A) af(a)<bf(b)解构造函数F(x)=f(x)x ,则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2>0 , 故函数F(x)=f(x)x在区间(0 ,+∞)上递增,又a>b>0 ,从而f(a)a >f(b)b,即选A2 求解不等式(3) 设f(x) , g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 ,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )(A) (−3 ,0)∪(3 ,+∞) (B) (−3 ,0)∪(0 ,3)(C) (−∞ ,−3)∪(3 ,+∞) (D) (−∞ ,−3)∪(0 ,3)解构造函数F(x)= f(x)g(x),则F(x)= f(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 , 故函数F(x)在R上递增,又f(x) , g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数且g(-3)=0结合题意提供的信息作出大致图像如图示,不难得到不等式解集为D3 含参不等式恒成立问题解不等式恒成立问题的基本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求得参数的取值范围;也可分离变量构造函数,直接把问题转化为函数最值问题.(4)已知函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e为自然对数的底数),g(x)=x2−bx−2①求函数f(x)的解析式②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求实数b取值范围.解: ①依题, 函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线的斜率k=2,即f ′(e)=2又f ′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,得a=1,∴f(x)= xlnx②对一切x ∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,∴ 3 xlnx ≥x 2−bx −2在x ∈(0 ,e]上恒成立.即b ≥x −3lnx − 2x 在x ∈(0 ,e]上恒成立, (分离变量法)令h(x)= x −3lnx − 2x x ∈(0 ,e]则h ′(x)=(x−1)(x−2)x 2 由h ′(x)=0 得x=1或x=2 ∴x ∈(0 ,1)时h ′(x)>0 h(x)单调递增;x ∈(1 ,2)时h ′(x)<0 ,h(x) 单调递减 x ∈(2 ,e)时, h ′(x)>0 , h(x)单调递增∴h(x)极大值=h(1)=-1,而h(e)=e −3−2e −1<-1∴h(x)max=h(1)=-1∴b ≥h(x)max=-1故实数b 的取值范围为[-1 ,+∞)(5) 已知函数f(x)=ax+b x +2−2a (a>0)的图像在点(1 ,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.① 求a ,b 满足的关系式② 若f(x)≥2lnx 在[1 ,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 解 ① f ′(x)=a −bx ,根据题意f ′(1)=a −b=2 ,即b=a −2 ② 由①知, f(x)=ax+a−2x +2−2a令g(x)= f(x)−2lnx= ax+a−2x +2−2a −2lnx ,x ∈[1 ,+∞), 则g(1)=0 ,g ′(x)=a − a−2x − 2 x =a (x−1)(x−2−a a )x , 当0<a<1时 , 2−a a >1 若1<x<2−a a,则g′(x)<0 , g(x)在[1 ,2−aa) 上为减函数所以g(x)< g(1)=0 , f(x)≥2lnx在[1 ,2−aa)上恒不成立当a≥1时,2−aa≤1 ,当x>1时, g′(x)>0 , g(x)在[1 ,+∞)上为增函数,又g(1)=0 ,所以f(x)≥2lnx综上所述,所求a的取值范围是[1 ,+∞)4 利用导数证明不等式对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.(6) 设函数f(x)=x+a x2+blnx ,曲线y=f(x)过 P(1 ,0),且在点P处的切线斜率为2(i) 求a ,b的值 (ii) 证明f(x)≤2x−2解 (i)f′(x)=1+2ax+bx 由已知条件得{f(1)=0f′(1)=2即{1+a=01+2a+b=2解得 a=-1 b=3(ii)由(i)知f(x)=x−x2+3lnx 设g(x)= f(x)−(2x−2)=2−x−x2+3lnx 则g′(x)=-1−2x+3x =−(x−1)(2x+3)x当0<x<1时g′(x)>0 ;当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0 ,1)上单调递增,在(1 ,+∞)内单调递减 ,,而g(1)=0故当x>0时 , g(x)≤0 ,即f(x)≤2x−2解题心得:利用导数证明不等式成立,重点是构造适当的函数,利用导数的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式.(7) 已知f(x)=12x2+lnx ,求证:在[1 ,+∞)上,f(x)的图像总在g(x)=23x3的图像的下方.解析: 本题等价于证明:当x≥1时,不等式12x2+lnx<23x3恒成立构造函数F(x)=12x2+lnx−23x3 ,则F′(x)=x+1x−2x2=(1−x)(1+x+2x2)x因为x≥1 所以F′(x)≤0 故F(x)在区间[1 ,+∞)上是减函数,从而F(x)≤ F(1)=-16<0 ,即12x2+lnx<23x3故在[1 ,+∞)上f(x)的图像总在g(x)=23x3的图像的下方.通过以上几例可以看出,构造辅助函数是用导数方法求解或求证不等式问题的关键,只要函数构造的恰当,求解及推证的过程就会特别的简单、明快.。

导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。

不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。

其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。

导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。

不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。

本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。

这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。

对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。

一、利用导数的定义证明不等式定义设函数()f f x =在点0x 的某领域内有定义,若极限()()00limx x f x f x x x →-- 存在则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x令 0x x x =+∆，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则上式可改写为所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x∆∆的极限。

这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数()'0f x 则为f在0x 处关于x 的变化率。

以下是导数的定义的两种等价形式：（1）()()()0'00limx xf x f x f x x x →-=-（2）()()()0'00lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆例1: 设()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =+++，并且()sin f x x ≤，证明：1221n r r nr +++≤证明 ()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =++，可得出()00f =，因为 ()'12cos 2cos2cos n f x r x r x nr nx =+++, 则 ()'1202n f r r nr =+++ 又由导数的定义可知所以 ()'01f ≤，即可得 1221n r r nr +++≤.例2、已知函数()21ln 2f y y y =+，求证: 22211,ln 32y y y y >>+. 分析令()2221ln 32h y y y y =--，(1,)y ∈+∞，因为()1106h =>, 要证当1x >时，()0h x >,即()()10h x h ->,只需证明()h y 在(1,)+∞上是增函数。

第15讲-导数在不等式中的应用(讲义版)

第15讲-导数在不等式中的应用一、经典例题考点一构造函数证明不等式【例1】已知函数f (x )＝1－x －1e x，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2.规律方法 1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，有f (a )≤f (x )≤f (b )，②∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则∀x ∈D ，有f (x )≤M (或f (x )≥m ).2.证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决.考点二利用“若f (x )min >g (x )max ，则f (x )>g (x )”证明不等式【例2】已知函数f (x )＝x ln x －ax .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1>1e x ＋1－2e 2x 成立.规律方法 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题. 2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f (x )min >g (x )max 恒成立.从而f (x )>g (x )，但此处f (x )与g (x )取到最值的条件不是同一个“x 的值”.考点三不等式恒成立或有解问题角度1 不等式恒成立求参数【例3－1】已知函数f (x )＝sin xx(x ≠0).(1)判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性； (2)若f (x )<a 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，求实数a 的最小值.规律方法 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a ≥f (x )(或a ≤f (x ))的形式，通过求函数y ＝f (x )的最值求得参数范围. 角度2 不等式能成立求参数的取值范围【例3－2】已知函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R ). (1)若f (x )在区间[1，2]上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)函数g (x )＝(1－a )x ，若∃x 0∈[1，e]使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数a 的取值范围.规律方法 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ； a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max . 2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x 1∈A ，任意x 2∈B 使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )max ≥g (x )max ；(2)任意x 1∈A ，存在x 2∈B ，使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )min ≥g (x )min . [方法技巧]1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题.2.恒(能)成立问题的转化策略.若f (x )在区间D 上有最值，则 (1)恒成立：∀x ∈D ，f (x )>0⇔f (x )min >0；∀x ∈D ，f (x )<0⇔f (x )max <0.(2)能成立：∃x ∈D ，f (x )>0⇔f (x )max >0； ∃x ∈D ，f (x )<0⇔f (x )min <0.3.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.4.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.二、课时作业1．函数f （x ）的定义域为R ，()13f -=，对任意x ∈R ，()3f x '<，则()36f x x >+的解集为（） A ．{}11x x -<- C ．{}1x x <- D ．R2．下列三个数：33ln ,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>3．设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，对任意的x ∈R 有()()2f x f x x --=，且在[0,)+∞上'()1f x >.若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的范围是（） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．[1,2]D ．[1,3]-4．若关于x 的不等式1ln x axe x x -≥+恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[),e +∞B ．,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 5．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,1B ．[)1,+∞C ．()()0,11,+∞D ．()0,∞+6．定义在上的函数()xxg x e ex -=++，则满足()()213g x g -＜的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,2-C ．()2,+∞D ．()1,2-7．已知函数()()()2lnx x b f x b R x+-=∈，若存在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（） A ．32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．94⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．（﹣∞，3）D．(∞-8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（）A ．()()201520150f ef >，()()10f ef > B ．()()201620160f e f >，()()10f ef < C ．()()201720170f e f <，()()10f ef >D ．()()201820180f e f <，()()10f ef <9．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．关于函数()332,02cos ,0x x x f x x x ⎧-+=⎨≤⎩＞，有下述四个结论：①()f x 是周期函数． ②()f x 在[],1π-上单调递增．③()f x 的值域为(],2-∞． ④若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点，则()2,4m ∈．其中所有正确结论的序号是（） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11．已知函数()()2ln 3,2121,1x x g x x x x ⎧-+-<≤-=⎨--+>-⎩，且()()()()2211122221422g m m g m m -++>+-，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,4B ．()2,14C ．()4,14D ．()4,+∞12．如果关于x 的不等式3210x ax -+≥在[]1,2-上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A．2a ≤B ．2a ≤C ．1a ≤D ．0a ≤13．函数()(2)1(1)x f x a x e x a =+--<，若存在唯一整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（）．A ．2,13e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,13e ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 14．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（）A ．2eB ．eC ．1D ．1215．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x （12x x <），则（）A ．1()0>f x ，21()2f x >-B ．1()0f x <，2()12f x <-C ．1()0f x <，21()2f x >-D ．1()0>f x ，2()12f x <-16．对于任意正实数,x y ，都有()2ln ln y xx y x e a⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（） A ．(]0,1 B ．(]1,e C ．1,e e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦17．（多选题）已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef <，2000(2020)(0)f e f ，2(1)(1)f e f >-C ．()()10f ef <，2(1)(1)f e f <-D ．()()10f ef >，2000(2020)(0)f e f >18．（多选题）若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（） A ．()()2f a f a -C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>19．（多选题）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（） A ．12BC ．2e D20．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()15f =，则不等式()14f x x≤+的解集为______.21．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．22．函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，()2f x '>，则f(x)＞2x ＋4的解集为____．23．设函数()1ln xf x x aea -=+-，a R ∈.（1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当()0,x ∈+∞时，()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值.25．已知函数()1()ln ,f x x b x b R x=--∈，27()4g x x =-，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴垂直；（1）求b 的值；（2）求证：()()2ln 2.g x f x ≥-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

导数在不等式中的应用
刘春和尼尔基第一中学 162850
内容摘要：导数在研究函数性质的问题当中起着十分重要的作用,尤其是在处理函数性质和不等式有关的综合性问题当中,导数往往扮演着重要的角色,需要利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。

关键词：导数；不等式；证明
不等式与等式一样，在数学问题中都是非常重要的课题，不等式的研究范围更广，难度更大，不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法，随着新教材中引入导数，这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径，并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现，但现行教材对这一问题没有展开研究，使得学生对这一简便方法并不了解。

利用导数证明不等式思路清晰，方法简捷，操作性强易被学生掌握。

下面介绍利用单调性、恒成立、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。

一利用函数的单调性证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。

因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。

即把证明不等式转化为证明函数的单调性。

具体有如下几种形式：
1.直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。

2．把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。

例1：x>0时,求证；x －ln(1+x)＜0
证明：设f(x)= x －ln(1+x) (x>0), 则()x f '=x
+-111 ∵x>0,∴()x f '<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，
所以x>0时,f(x)<()00=f ,即x －ln(1+x)＜0成立。

例2：已知b>a>e, 求证:a b b a > (e 为自然对数的底)
证：要证a b b a >只需证a b b a ln ln > 即证：alnb －blna<0.
设f(x)=xlna －alnx (x>a>e)；则()x f '=lna －
x a , ∵a>e,x>a ∴lna>1,x
a <1,∴()x f '>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增. ∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna －alnb>alna －alna=0；即blna>alnb
所以当b>a>e 时a b b a >成立。

二利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。

导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。

从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。

例3、求证：n ∈N*,n ≥3时，n 2 >2n+1
证明：要证原式，即需证：n 2－2n －1>0,n ≥3时成立
设f(x)=x 2－2x －1(x ≥3),则()x f '=x 2ln2－2(x ≥3),
∵x ≥3,∴()x f '≥32ln3－2>0
∴f(x)在[3，+∞ )上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(3)=32－2×3－1=1>0
所以，n ∈N*,n ≥3时，f(n)≥f(3)>0, 即n ≥3时,n 2－2n －1>0成立. 故n ∈N*,n ≥3时，n 2 >2n+1。

例4 已知()x x x f -=331，当[]1,1,21-∈x x 时，求证：()()3
421≤-x f x f 。

证明：(),12'-=x x f []1,1-∈x 时，()0'≤x f ，
∴()x f 在[]1,1-上递减。

故()x f 在[]1,1-上的最大值为()321=
-f ；函数的最小值为()321-=f ，即()x f 在[]1,1-上的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-32,32。

所以，当[]1,1,21-∈x x 时，()321≤
x f ，()3
22≤x f 。

即()()()()3432322121=+≤+≤-x f x f x f x f 。

三．利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m<f(x))恒成立，于是m 大于f(x)的最大值（或m 小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。

因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。

例 5 已知函数()9
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=x x a x f ()R a ∈，对()x f 定义域内任意的x 的值，()27≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

解：函数()x f 的定义域为()+∞,0，由()27≥x f 对一切()+∞∈,0x 恒成立，知39327=≥+x x
a 对于一切()+∞∈,0x 恒成立。

即 x x x a -≥33对()+∞∈,0x 恒成立。

设 ()x x x x h -=33，则()x x h 3233'-=，由()0'=x h ，解得9
943=x 。

当()0'
>x h 时，解得99403<<x ，当()0'<x h 解得9943>x 。

所以函数()x h 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+994,03上递增，在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,9943上递减。

故()x h 的最大值为949943=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛h ，所以94≥a 。

总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。

这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。

参考文献：
1《现代数学与中学数学》张奠宙、邹一心上海教育出版社。

1990.9 2《导数在数学中的应用》窦宝泉数学通讯。

2003.12
3《导数应用在解题中的应用》吴建华西南林学院2002.6
4《发挥新教材中的导数应用》石东才数学教学通讯2003.10。