【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质2-5 word版含答
1．已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 12
13，则( ) A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a 答案 C
解析 由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－13 <1，log 213<log 21＝0，log 12 13>log 12 12
＝1, 故选C. 2.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x
<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) 点击观看解答视频
A ．(－2,1)
B ．(－4,3)
C ．(－1,2)
D ．(－3,4)
答案 C 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ， ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.
3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )
答案 B
解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1，x <1，故选B. 4．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.
答案 10
解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12
. 由lg x ＝12
，得x ＝10 12 ＝10. 5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ e b ＝192e 22k ＋b ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧ e b ＝192e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y
＝e
33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×192＝24(小时)．。
[精品]2018高考数学(文科)习题第二章函数的概念及其基本性质241和答案
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1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为() 点击观看解答视频A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0f，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b2a，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈时有最大值2，则a 的值为________．点击观看解答视频答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t4，所以a ＝3t8.故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝a|x－1|的图象，由图知，当a＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a<0时，两图象没有交点，故必有a>0.若曲线y＝－x2－3x(－3≤x≤0)与直线y＝－a(x－1)(x≤1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0得a＝1(a＝9舍去)，因此当0<a<1时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点；若曲线y＝x2＋3x(x>0)与直线y＝a(x－1)(x>1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0可得a＝9(a＝1舍去)，因此当a>9时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。
2018版高考数学文江苏专用一轮复习练习 第二章 函数概
第9讲函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).量是均匀的，故为一次函数模型．答案①2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．答案①3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.答案 205．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 166．A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是，B 的速度是，经过________h ，AB 间的距离最短．解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2＝1 856t 2－11 600t ＋1452(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案 2587．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号． 答案 108．(2016·四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200， ∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝(lg 2＋lg 10)－(lg 1.3＋lg 10)lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元． 答案 2019二、解答题9．(2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2·62－x 2，∴SA 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263x (36－x 2)． 由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)．由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值，故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为y x (万元)．则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．能力提升题组(建议用时：30分钟)11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于120，说明理由．解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依题意x＝0.2a，所以P＝mxy＝xk(ax＋5)＝0.2ak(0.2a2＋5)＝ak(a2＋25)≤a3(a2＋25)＝13⎝⎛⎭⎪⎫a＋25a≤13×⎝⎛⎭⎪⎫2a×25a＝130<120.P 不可能大于120.法二 依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25). 假设P >120，则ka 2－20a ＋25k <0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)<0，不等式ka 2－20a ＋25k <0无解，假设不成立．P 不可能大于120.12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20≤x ≤180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解 (1)当20≤x ≤180时，由⎩⎨⎧ a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，得⎩⎨⎧ a ＝90，b ＝3 5. 故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x <180，0，x ≥180.(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 126 000x x ＋1，0<x ≤20，9 000x －3005·x x ，20<x <180，0，x ≥180，当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，又f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000.当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000.当x ≥180时，f (x )＝0.综上，当x ＝80元时，总利润取得最大值240 000元．13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5 千米，BC ＝8 千米，CD ＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/时．(1)若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．解 (1)由题意得AD ＝12 千米，⎪⎪⎪⎪⎪⎪126－16v ≤14， 解得649≤v ≤647，故乙的速度v 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫649，647. (2)设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于乙先到达D 地，故16v <2，即v >8.①当0<v t ≤5，即0<t ≤5v 时，f (t )＝(6t )2＋(v t )2－2×6t ×v t ×cos ∠DAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36t 2. 因为v 2－485v ＋36>0，所以当t ＝5v 时，f (t )取最大值 ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36×⎝ ⎛⎭⎪⎫5v 2≤25，解得v ≥154. ②当5<v t ≤13，即5v <t ≤13v 时，f (t )＝(v t －1－6t )2＋9＝(v －6)2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1v －62＋9. 因为v >8，所以1v －6<5v ，(v －6)2>0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值， 所以(v －6)2⎝ ⎛⎭⎪⎫13v －1v －62＋9≤25，解得398≤v ≤394. ③当13≤v t ≤16，即13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－v t )2因为12－6t >0,16－v t >0，所以f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16上单调递减， 所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－6×13v 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－v ×13v 2≤25，解得398≤v ≤394. 因为v >8，所以8<v ≤394.综上所述，v 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤8，394.。
2018高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质2-9-1 word版含答案
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )点击观看解答视频A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意可得：y min ＝－3＋k ＝2.解得k ＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C.2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝1＋p1＋q －1，故选D.3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A．10元B．20元C．30元 D.403元答案 A解析依题意可设S A(t)＝20＋kt，S B(t)＝mt.又S A(100)＝S B(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是S A(150)－S B(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A.4. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)答案53 9解析 由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝ 252－152＝20 m ．过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ，连接AN (如图)，则∠PAN ＝θ，tan θ＝PN AN.设NC ＝x (x >0)，则BN ＝20－x ， 于是AN ＝AB 2＋BN 2＝ 152＋20－x2＝x 2－40x ＋625， PN ＝NC ·tan30°＝33x ， 所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33625x 2－40x＋1，令1x ＝t ，则625x 2－40x＋1＝625t 2－40t ＋1，当t ＝4125时，625t 2－40t ＋1取最小值925， 因此625x 2－40x＋1的最小值为925＝35，这时tan θ的最大值为33×53＝539⎝⎛⎭⎪⎫此时x ＝1254.5．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．点击观看解答视频解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x2(5≤x ≤20), 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3000t 2.故f (t )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2. 当t ∈(5,102)时， g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )>0，g (t )是增函数；从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解 (1)由题意知抛物线的最高点为(2＋h,4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a 2＋4. 当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2,3)代入y ＝a 2＋4，整理得ah 2＝－1'①. 由题意，方程a 2＋4＝0在区间内有一解．由①得，y ＝f (x )＝a 2＋4＝－1h22＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f 5＝－1h23－h 2＋4≥0f6＝－1h24－h2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43.沿着公园小径散步，这儿，那儿，立着不少人物雕塑。
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2-
2．4 二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝________ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝________ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝________ (a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ＝________； (2)顶点坐标：________；(3)开口方向：a ＞0时，开口________，a ＜0时，开口________；(4)值域：a ＞0时，y ∈________，a ＜0时，y ∈________；(5)单调性：a ＞0时，f (x )在________上是减函数，在________上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-b 2a 上是________，在⎝ ⎛⎭⎪⎫-b2a ，＋∞上是________．3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的________，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的________．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的________或二次函数的________处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表所示．自查自纠1．(1)ax 2＋bx ＋c(2)a (x -h )2＋k(3)a (x -x 1)(x -x 2)2．(1)-b 2a (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a，4ac -b 24a (3)向上 向下(4)⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤-∞，4ac -b 24a(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ，＋∞ 增函数 减函数3．根 端点值 4．端点 顶点已知函数f (x )＝x 2-2x ＋3在区间上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．C ．(-∞，2]D ．解：由题可知f (0)＝3，f (1)＝2，f (2)＝3，结合图象可知1≤m ≤2.故选D .f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋4 B ．f (x )＝2x 2＋2x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋x ＋1 D ．f (x )＝x 2＋2x ＋1解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．f ′(x )＝2ax ＋b ，所以a ＝1，b ＝2， f (x )＝x 2＋2x ＋c .Δ＝4-4c ＝0，所以c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 故选D .设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()解：由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.因为abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝-b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝-b2a ＜0，B 错误．故选D .若方程x 2-11x ＋30＋a ＝0的两个不等实根均大于5，则实数a 的取值范围是________．解：令f (x )＝x 2-11x ＋30＋a .对称轴x ＝112，故只要⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f （5）>0 即可，解得0<a ＜14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________.解：f (3)＝3，则9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝-3a -9.f (x )≥x 恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋b -x ≥0恒成立．所以x 2＋ax ＋b ≥0恒成立，所以a 2-4b ≤0，将b ＝-3a -9代入得(a ＋6)2≤0，a ＝-6.所以b ＝9，a ＋b ＝3.故填3.类型一 求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝-1, f (-1)＝-1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝-1，a -b ＋c ＝-1，4ac -b 24a＝8， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为y ＝-4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x -m )2＋n (a ≠0)，因为f (2)＝f (-1)， 所以抛物线对称轴为x ＝2＋（-1）2＝12，所以m ＝12，又根据题意，函数有最大值为8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122＋8. 因为f (2)＝-1，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-122＋8＝-1.解之得a ＝-4. 所以f (x )＝-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122＋8＝-4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝-1，即g (x )＝f (x )＋1的两个零点为2，-1，故可设f (x )＋1＝a (x -2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max ＝8，即4a （-2a -1）-a24a ＝8，解之得a ＝-4，所以所求函数解析式为f (x )＝-4x 2＋4x -2×(-4)-1＝-4x 2＋4x ＋7.【点拨】由条件f (2)＝f (-1)及f (x )的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x ＝12，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，-1看作函数g (x )＝f (x )＋1的两个零点，利用零点式求g (x )的解析式，再求f (x )的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫-32-x 对x ∈R 恒成立，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式． 解：由x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32-x 知，f (x )的对称轴为x ＝-32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＝49，则二次函数f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，49， 故设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)．解法一：设方程f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两根为x 1，x 2，x 1＋x 2＝-3，x 1x 2＝94＋49a，则|x 1-x 2|＝（x 1＋x 2）2-4x 1x 2＝-49×4a＝7，解得a ＝-4，所以f (x )＝-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49， 即f (x )＝-4x 2-12x ＋40.解法二：设f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由两实根之差的绝对值为7得x 1＝-32-72＝-5，x 2＝-32＋72＝2，将x 1或x 2代入f (x )＝0得a ＝-4.从而得到f (x )＝-4x 2-12x ＋40.类型二 二次函数的图象一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D.对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而-b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.故选C .【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)，再结合题设条件就不难解答了．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)＝0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解：因为函数y ＝f (x )图象的对称轴为x ＝-12，f (0)＝a >0，所以y ＝f (x )的大致图象如图．由f (m )<0结合图象可知-1＜m ＜0， 则0＜m ＋1＜1，故f (m ＋1)>0. 故选C .类型三 二次函数的最值设函数f (x )＝x 2-2x -1在区间上有最小值g (t )，求g (t )的解析式．解：f (x )＝x 2-2x -1＝(x -1)2-2.①当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝-2. ②当t >1时，f (x )在区间上是增函数，则最小值g (t )＝f (t )＝t 2-2t -1；③当t ＋1<1，即t <0时，f (x )在区间上是减函数，则最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2-2.所以g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2，t ＜0，-2，0≤t ≤1，t 2-2t -1，t ＞1.【点拨】求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”(见“名师点睛”)．本题考查含有两个参数的二次函数的最值问题，属于“动轴定区间”问题，首先根据已知条件判断二次函数对称轴与所给区间的关系，再依据函数单调性、不等式的性质，结合分类讨论的数学思想进行解答．f (x )＝-x 2＋ax ＋12-a 4在区间上的最大值为2，求a 的值．解：f (x )＝-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22＋12-a 4＋a24.①当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，在区间上f (x )max ＝12-a 4＋a24＝2，则a ＝3或a ＝-2，不合题意． ②当a2＞1，即a ＞2时，在区间上f (x )max ＝f (1)＝3a 4-12＝2⇒a ＝103.③当a2＜0，即a ＜0时，在区间上f (x )max ＝f (0)＝-a 4＋12＝2⇒a ＝-6.综上知，a ＝103或a ＝-6.类型四 二次方程根的分布已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （-1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <-12，m ∈R ，m <-12，m >-56.所以-56<m <-12.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|-56＜m ＜-12.(2)由抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝（2m ）2-4（2m ＋1）≥0，0<-m <1.⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m >-12，m >-12，m ≥1＋2或m ≤1-2，-1<m <0.所以-12<m ≤1- 2.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|-12＜m ≤1-2.【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(-3，-2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围．解：由题意知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0， 所以c ＝-1-2b ，记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x -b -1，则⎩⎪⎨⎪⎧g （-3）＝5-7b ＞0，g （-2）＝1-5b ＜0，g （0）＝-1-b ＜0，g （1）＝b ＋1＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＜57，b ＞15，b ＞-1，b ＞-1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 因此b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57.类型五 二次函数的综合应用已知f (x )＝m (x -2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x-2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(-∞，-4)，f (x )g (x )<0. 求实数m 的取值范围．解：当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，故m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．3．二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结构特点和a ，b ，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x 2＝±2py 理解a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (-1)＝a -b ＋c 等．1．函数f (x )＝2x 2-mx ＋3，当x ∈时是减函数，则f (1)等于( )A ．-3B ．13C ．7D ．5解：由题意知f (x )的对称轴x ＝m4，要使f (x )在上是减函数，则m4＝-2，所以m ＝-8，所以f (1)＝2＋8＋3＝13.故选B .2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解：当a ＝0时，f (x )＝bx ＋c ，无法满足f (0)＝f (4)＞f (1)，故a ≠0，f (x )为二次函数．由f (0)＝f (4)得y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝-b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.又f (0)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0.故选A .3．二次函数f (x )＝ax 2-2ax ＋c 在区间上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．∪解：二次函数f (x )＝ax 2-2ax ＋c 在区间上单调递减，则a ≠0，图象对称轴为x ＝1，所以a >0，即函数图象的开口向上，且f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.故选D .4．(2016·北京西城期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2-x ，则当x ∈时，f (x )的最小值为( )A ．-116B ．-18C ．-14D ．0解：由f (1)＝2f (0)得f (0)＝12f (1)＝0，所以当x ∈时，f (x )＝x 2-x .设x ∈，则x ＋2∈，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2-(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，所以当x ＝-32时，f (x )取最小值为-116.故选A .5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx -1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则a -b 的取值范围是( )A ．(-∞，-1)B ．(-1，＋∞)C ．(-1，1)D ．(-2，＋∞)解：易知x 1x 2＝-1a<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b -1<0，f （2）＝4a ＋2b -1>0，a ＞0，如图，作出点(a ，b )对应的平面区域，易知点A (0，1)使得目标函数z ＝a -b 取得最小值，由于边界为虚线，故有z >-1.故选B .6．(2016·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22-b 24，最小值为-b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋b 22-b 24，t ≥-b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为-b 24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A .7．(2015·衡水模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间上满足：①恒有解，则实数a 的取值范围为________； ②恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解：①f (x )>a 在区间上恒有解，则a <f (x )max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈，当x ＝3时，f (x )max ＝15，故a的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间上恒成立，则a <f (x )min ，又因f (x )＝x 2＋2x 且x ∈，当x ＝1时，f (x )min ＝3，故a 的取值范围为a <3.故填(-∞，15)；(-∞，3)．8．设f (x )与g (x )是定义在同一区间上的两个函数，若函数y ＝f (x )-g (x )在上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f (x )＝x 2-3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在上是“关联函数”，则实数m 的取值范围为________．解：由题意知，y ＝f (x )-g (x )＝x 2-5x ＋4-m 在上有两个不同的零点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝m 与y ＝x 2-5x ＋4(x ∈)的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈时，y ＝x 2-5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-94，-2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-94，-2时，函数y ＝m 与y ＝x 2-5x ＋4(x ∈)的图象有两个交点．故填⎝ ⎛⎦⎥⎤-94，-2.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞-2x 的解集为(1，3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求函数f (x )的解析式．解：依题意可设f (x )＋2x ＝a (x -1)(x -3)，且a ＜0.于是f (x )＝a (x -1)(x -3)-2x ＝ax 2-(2＋4a )x ＋3a .由f (x )＋6a ＝0，得ax 2-(2＋4a )x ＋9a ＝0. 所以Δ＝(2＋4a )2-36a 2＝0⇒5a 2-4a -1＝0. 解之得a ＝1(舍)或a ＝-15.所以f (x )＝-15x 2-65x -35.10．已知函数f (x )＝ax 2-2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )-mx 在上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x -1)2＋2＋b -a . 当a >0时，f (x )在上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a ＋2＋b ＝5，4a -4a ＋2＋b ＝2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a ＋2＋b ＝2，4a -4a ＋2＋b ＝5 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-1，b ＝3. (2)因为b <1，所以a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2-2x ＋2.g (x )＝x 2-2x ＋2-mx ＝x 2-(2＋m )x ＋2，因为g (x )在上单调，所以2＋m 2≤2或2＋m2≥4.所以m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(-∞，2]∪上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，-3]B ．D ．上是减函数，则1-a ≥4，即a ≤-3.故选A . 2．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2-3x -4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解：二次函数y ＝x 2-3x -4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝-254，在x ＝32处取得，所以由函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是-4时，对应的自变量的值是x ＝0或x＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4这个范围，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.故选B .3．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax -2＝0在区间上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235，1D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-235解法一：令f (x )＝x 2＋ax -2，而f (0)＝-2，故只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0， 解得-235≤a ≤1.解法二：由a ＝2x-x 在区间上单调递减知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235，1.故选C .4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是()解：若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′(x )＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f (x )的对称轴为y 轴，排除B.故选C .5．(2016·江南十校联考)已知函数f (x )＝a sin x -12cos2x ＋a -3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-32，0 B ． C ．(0，1]D ．解：化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a -3a，令t＝sin x (-1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a -3a(-1≤t ≤1)，问题转化为g (t )在上恒有g (t )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧g （-1）＝1-3a≤0，g （1）＝1＋2a -3a ≤0，解得0<a ≤1.故选C . 6．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m -2)x 2＋(n -8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D.812解：(1)当m ≠2时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝8-n m -2.①若m ＝0时，f (x )＝-x 2＋(n -8)x ＋1，8-n -2≤12，n ≤9，mn ＝0；②若0<m <2时，m -2<0，f (x )的图象是开口向下的抛物线，则8-n m -2≤12，所以2n ＋m ≤18，由⎩⎨⎧22mn ≤18，2n ＝m得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤92，m ≤9，mn ≤812(舍去)；③若m >2时，m -2>0，f (x )的图象是开口向上的抛物线，则8-nm -2≥2，所以2m＋n ≤12，由⎩⎨⎧22mn ≤12，2m ＝n 得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤3，n ≤6，mn ≤18.(2)当m ＝2时，一次函数f (x )＝(n -8)x ＋1单调递减，则n <8，mn ＝2n <16.综上，mn ≤18.另解：导数法．故选B .7．已知函数f (x )＝-x 2＋2ax ＋1-a 在x ∈时有最大值2，则a 的值为________．解：f (x )＝-(x -a )2＋a 2-a ＋1， 当a >1时，y max ＝f (1)＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝f (a )＝a 2-a ＋1； 当a <0时，y max ＝f (0)＝1-a .根据已知条件有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2-a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1-a ＝2， 解得a ＝2或a ＝-1.故填2或-1.8．(2016·盐城模拟)若关于x 的不等式2-x 2>|x -a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．解：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2-x 2，g (x )＝|x -a |的图象，如图所示．y ＝2-x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x -a |是与x 轴交于(a ，0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2-x 2(x <0)的图象都在折线下方，则当a ≥2时不等式2-x 2＞|x -a |无负数解．当a ＜2时，由2-x 2＝x -a 得x 2＋x -a -2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝-94，此时y ＝x -a 与y ＝2-x 2(x <0)相切，则当a ≤-94时，不等式亦无负数解，故-94<a <2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-94，2. 9．若函数y ＝lg(3-4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2-3×4x的最值及相应的x 的值．解：要使函数y ＝lg(3-4x ＋x 2)有意义，应有3-4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，所以M ＝{x |x <1或x >3}．f (x )＝2x ＋2-3×4x ＝4×2x -3×(2x )2，令2x＝t ，因为x <1或x >3，所以t >8或0<t <2. 所以y ＝4t -3t 2＝-3⎝ ⎛⎭⎪⎫t -232＋43(t >8或0<t <2)，由二次函数性质可知， 当0<t <2时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-4，43； 当t >8时，f (x )∈(-∞，-160)． 当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，y max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．10．(2016·聊城模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (-1＋x )＝f (-1-x )；②函数y＝f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点．(1)求f (x )的解析式； (2)若不等式πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2-tx在t ∈时恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)因为由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)图象的对称轴是直线x ＝-1，所以-b2a＝-1，b ＝2a .因为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点，所以ax 2＋(b -1)x ＝0有两个相同的实根，所以Δ＝(b -1)2＝0，即b ＝1，所以a ＝12.所以f (x )＝12x2＋x .(2)因为π>1，所以πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2-tx等价于f (x )>tx -2，即12x 2＋x >tx -2在t ∈时恒成立⇔函数g (t )＝xt -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在t ∈时恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＜0，g （-2）＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ＋4＞0，x 2＋6x ＋4＞0， 解得x <-3-5或x >-3＋5，故实数x 的取值范围是(-∞，-3-5)∪(-3＋5，＋∞)．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 且图象过点(0，0)．(1)求f (x )的解析式．(2)是否存在实数m ，n (m <n )使得函数f (x )的定义域和值域分别是和？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设f (x )＝a (x -1)2＋12，由f (0)＝0，得a＝-12，故f (x )＝-12(x -1)2＋12，即f (x )＝-12x 2＋x . (2)f (x )＝-12(x -1)2＋12在R 上的最大值是12.若存在合要求的m ，n ，则f (x )在上的最大值是2n ， 所以2n ≤12，即n ≤14<1，所以⊆(-∞，1]，从而是函数f (x )的单调递增区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝-12m 2＋m ＝2m ，f （n ）＝-12n 2＋n ＝2n ，m ＜n ，所以m ＝-2，n ＝0.。
2018版高考数学文理通用新课标一轮复习教师用书：第二
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；分段函数.(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12， 所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(3)用1x 代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，通过换元的方法可得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)． 答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋ C.12D.120[解析] (1)因为f (－2)＝2－2＝14，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－ 14＝12，故选C. (2)因为2<log 25<3，所以3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋log 25＋1)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫12 22log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫12 2log 5＝14×15＝120，故选D. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[解析] (1)f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a >0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.(2)当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.[答案] (1)A (2)(－∞，8][方法技巧]求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 2，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1 C.14D.12解析：选C 由题意得f (－1)＝1－2－1＝12，则f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 2．[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12B ．－12C ．1D ．－1解析：选B f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12. 3．[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.4．[考点二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.5．[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．解析：由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.答案：－1或16．[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D y ＝|f (x )|的图象如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2,0]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[log 23,2] C ．[1，log 23]D ．[1,2]解析：选B ∵f (x ＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2.∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2.∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23,2]．3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题7．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2 017)＝________.解析：根据题意，f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2f (1 016)＋1，f (1 016)＝f (15＋1 001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝21＋1＝1，则f (2 017)＝2f (1 016)＋1＝21＋1＝1.答案：18．(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－349．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．解析：①当x >0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x >1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x <0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )>2的解集为{x |x <－3或x >1}．答案：{x |x <－3或x >1} 三、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值本节主要包括2个知识点：1.函数的单调性；函数的最值.突破点(一)函数的单调性1．单调函数的定义2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[解析] (1)当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)C (2)B [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) 比较函数值或自变量的大小[例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，∴b >a >c . [答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.[答案] B [方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.[答案] (1)D (2)D[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．2．[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )解析：选C 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．解析：由题意，y ＝f (x )为奇函数且f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 又y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 于是⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫12或⎩⎪⎨⎪⎧log 19x <0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫－12，即⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，log 19x >12或⎩⎪⎨⎪⎧log19x <0，log 19x >－12，解得0<x <13或1<x <3.答案：⎝⎛⎭⎫0，13∪(1,3) 4．[考点二·应用(三)]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．解析：由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.答案：⎣⎡⎭⎫32，25．[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 令x 1＝x 2＝x 0,1－ax 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0<x 1<x 2≤a ，则x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减． 同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．1．(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．[解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， ∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴2<2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎤2，103. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)2 [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，785．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f (x )的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称， ∴点(－5,0)，(－3,0)必在f (x )的图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－5)＝(1－25)(25－5a ＋b )＝0，f (－3)＝(1－9)(9－3a ＋b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －b ＝25，3a －b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝15.∴f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15) ＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5) ＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5) 令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4， 则y ＝－(t ＋3)(t －5) ＝－(t 2－2t －15)＝－(t －1)2＋16.故当t ＝1时，f (x )max ＝16. 答案：16[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增，故选B.4．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，故当x ＝－6时，f (x )取最大值－27.当x＝－2时，f (x )取最小值－23.答案：－27 －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)解析：选A 依题意得f (3)＝f (1)，且－1<1<2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)<f (1)＝f (3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0，解得17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．5．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D ∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2017·豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2.答案：(－∞，－2) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1. 第三节函数的奇偶性及周期性突破点(一) 函数的奇偶性1．函数的奇偶性2.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．本节主要包括3个知识点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的周期性；函数性质的综合问题.。
【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质课时撬分练2-1 wo
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.已知集合A ＝，集合B ＝，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. 函数f (x )＝lnx ＋31－2x的定义域是( )点击观看解答视频A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝lnx ＋31－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7. 5．已知函数g (x )＝1－2x ，f ＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43 答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x 1－x ≤43.7．已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( ) A ． C ．[5，3) D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]．10．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解 当x ∈，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ；当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].12．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为函数y ＝log 12x 2－1的定义域是( )A ．B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 12x 2－1≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x∈．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎨⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．15．若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .②①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 0<x <c ，2－xc 2＋1c ≤x <1满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1. 点击观看解答视频解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ， 由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得 当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。
2018高考一轮江苏数学文练习第2章 热点探究课1 函数的
热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12； 当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34， 故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1， 又由图可知12＜f (c )＜1， 故1＜1f (c )＜2， ∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.] ☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7 [由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，且f (x )为偶函数，故f (x )在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y ＝f (x )与y ＝1有7个交点，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________．f (－25)＜f (80)＜f (11) [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________．(0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2(e x ＋m )e x －1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2(e －x ＋m )e －x －1＝－x 2(e x ＋m )e x －1，即1＋m e x ＝e x ＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x －2， 即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6， 解得1≤x ≤4；当x －1<0，即x <1时，21－x －2≤6， 解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .]10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1，∴f (x )＝2x－12x ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ，x ＞1，12x －2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32， 当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－32.要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x . (1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x 4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x ) ＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)． 令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0，则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12. (2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0. 故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x ＋m2x ＋1＋n(其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集．[解] 证明：(1)f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x ＋m 2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x ＋(2mn －4)·2x ＋(2m －n )＝0，∴⎩⎨⎧ 2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－2或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2.(3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴f (x )>－14， ∴2x <3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f (ln x )＋f (ln x )|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .] 3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． [解] (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立．①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|， 令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎨⎧ －x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a 2≤0，即a ≥0时， (－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a 2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a 2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎨⎧ 0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎨⎧ 0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2. ④当－a 2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.综上：h (x )max ＝⎩⎨⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。
2018高考一轮江苏数学文练习第2章 第4课 函数的概念及
第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第4课函数的概念及其表示[最新考纲]1．函数与映射(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫作函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法． 3．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫作分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) [由题意知⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0， 解得x ≥32且x ≠3.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]4．(2017·苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，(x ≤2)，－x －2m ，(x >2).若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．8或－83 [当m >0时，2－m <2<2＋m ， 由f (2－m )＝f (2＋m )得 3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，解得m ＝8.当m <0时，2＋m <2<2－m ， 由f (2＋m )＝f (2－m )得 －(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83.综上所述m ＝8或－83.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎨⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．又∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． 又∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]________．(2)(2017·徐州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[变式训练1] (1)(2017·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．(2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【导学号：62172018】(1)(0,1)∪(1,2) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式． (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.【导学号：62172019】(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t－1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1 求分段函数的函数值(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2017·无锡期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(3－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (11)＝________. (1)9 (2)2 [(1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.(2)f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)， f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)， ∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.] ☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·南京二诊)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(1)3或－3 (2)12 [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东高考改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a的取值范围是________．(1)(－∞，8] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [(1)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．课时分层训练(四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·南通第一次学情检测)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．(－1,1)∪(1，＋∞) [由题意可知，⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x ≠0，即x >－1且x ≠1.]2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝x 2，g (x )＝|x |； ④f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x .③ [在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同．] 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是________．(填序号)① ② ③ ④图4-1② [①中，定义域为[－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，当x ＝0时有两个y 值与之对应．]4．(2017·徐州质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________. x ＋1 [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.]5．(2017·如皋中学高三第一次月考)函数y ＝－x 2－2x ＋8的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 【导学号：62172020】[0,2] [由－x 2－2x ＋8≥0得－4≤x ≤2.即A ＝{x |－4≤x ≤2}． 由y ＝－x 2－2x ＋8＝－(x ＋1)2＋9可知0≤y ≤3， 即B ＝{x |0≤x ≤3}． ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．]6．(2016·全国卷Ⅱ改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是________．(填序号)①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x ；④y ＝1x. ④ [函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．] 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.【导学号：62172021】－74 [由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.]8．(2017·南京质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －2)，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.【导学号：62172022】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．a ≤2 [f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.]二、解答题11．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：62172023】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ， 故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)①③ [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x (x ＋1)2 [设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.]3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． [解] (1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎨⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12.4．如图4-2所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从B 点开始沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若P 点运动的路程为x ，△P AB 的面积为y .图4-2(1)写出y ＝f (x )的解析式，指出函数的定义域；(2)画出函数的图象并写出函数的值域． [解] 如图所示，(1)①当P 在BC 上运动时，如图①所示，易知∠B ＝60°，y ＝12×10×(x sin 60°)＝532x,0≤x ≤4. ②当P 在CD 上运动时，如图②所示， y ＝12×10×23＝103，4<x ≤10. ③当P 在DA 上运动时，如图③所示， y ＝12×10×(14－x )sin 60° ＝－532x ＋353，10<x ≤14. 综上所得，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧532x ，0≤x ≤4，103，4<x ≤10，－532x ＋353，10<x ≤14.(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示．由图可知，函数y ＝f (x )的值域为[0,103]．。
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2-
2．7 函数的图象1．作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象．(2)图象变换法．2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x-a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到．②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)-b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．(2)对称变换①y＝f(-x)，y＝-f(x)，y＝-f(-x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于________、________、________对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m-x)，则y＝f(x)的图象关于直线________对称．(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的__________；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的___________．(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．自查自纠2．(1)①y＝f(x＋a) 右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图象大致是()解：因为log a2<0，所以0<a<1，由f(x)＝log a(x ＋1)的单调性可知A，D错误，再由定义域知B选项正确．故选B.为了得到函数y＝2x-3-1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点( )A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解：y ＝2x――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x -3――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x -3-1.故选A .(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2-e |x |在的图象大致为()解：函数f (x )＝2x 2-e |x |在上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为f (2)＝8-e 2，0<8-e 2<1，所以排除A ，B 选项；当x ∈时，f ′(x )＝4x -e x有一个零点(f ′(0)f ′(1)<0)，设为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f (x )为减函数，当x ∈(x 0，2)时，f (x )为增函数．故选D .函数f (x )是定义在上的偶函数，其在上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x<0的解集为________． 解：在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f （x ）cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f （x ）cos x为偶函数， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2，-1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2，-1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.(2016·东北三校)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1-x ）＋1，-1≤x <0，x 3-3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是，则实数a 的取值范围是________．解：先作出函数f (x )＝log 2(1-x )＋1(-1≤x <0)的图象，再研究f (x )＝x 3-3x ＋2(0≤x ≤a )的图象．令f ′(x )＝3x 2-3＝0，得x ＝1(x ＝-1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1，f (1)＝0，令x 3-3x ＋2＝2⇒x ＝0或3(-3舍去)，所以f (x )＝x 3-3x ＋2(0≤x ≤a )的图象如图所示，要使f (x )的值域是，则1≤a ≤ 3.故填．类型一 作图分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2-2|x |-1； (4)y ＝x ＋2x -1. 解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，-lg x ，0＜x ＜1 图象如图(1)．(1)(2)(2)将y ＝2x的图象向左平移2个单位，得y ＝2x ＋2的图象如图(2)．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1，x ≥0，x 2＋2x -1，x ＜0. 其图象如图(3)．(3)(4)(4)因y ＝1＋3x -1，先作出y ＝3x的图象，将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x -1的图象，如图(4)．【点拨】(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx(m >0)的函数等是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图象：(1)y ＝sin|x |； (2)y ＝x ＋2x ＋3. 解：(1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，故作出其图象如图所示．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1-1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝-1x向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，故作出其图象如图所示．类型二 识图(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0解：由f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2及图象可知，x ≠-c ，-c ＞0，则c ＜0；当x ＝0时，f (0)＝b c2＞0，所以b ＞0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝-b a＞0，所以a ＜0.故a ＜0，b ＞0，c ＜0.故选C .【点拨】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．本题主要是通过函数解析式判断其定义域，通过定义域判断c 的正负，通过特殊点的位置判断a ，b 的正负．(1)(2016·成都模拟)函数y ＝2x|cos2x |22x-1的部分图象大致为()(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1 则y ＝f (1-x )的图象是()解：(1)依题意，注意到当x ＞0时，22x-1＞0，2x |cos2x |≥0，此时y ≥0；当x ＜0时，22x-1＜0，2x|cos2x |≥0，此时y ≤0，结合各选项知A 正确．故选A .(2)画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (-x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f (-(x -1))＝f (-x ＋1)的图象，可知C 正确．故选C .类型三 用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于x的方程x 2-5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解：原方程即a ＝-x 2＋5x -3.分别作出函数y ＝-x 2＋5x -3＝-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522＋134(1＜x＜3)和y ＝a 的图象，得当a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.【点拨】①将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；②通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．已知函数y ＝|x 2-1|x -1的图象与函数y ＝kx -2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解：y ＝|x 2-1|x -1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞1或x ＜-1，-x -1，-1≤x ＜1.作出该函数的图象，如图中实线所示．y ＝kx -2恒过点(0，-2)，根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时两函数图象有两个交点．故填(0，1)∪(1，4)．1．涉及函数图象问题的试题形式主要有： ①知图选(求)式； ②知式选(作)图；③图象变换；④图式结合等．对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”．2．识图与用图(1)识图对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期等．3．图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．1．函数y＝5x与函数y＝-15x的图象关于( ) A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解：y＝-15x＝-5-x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成-x，-y得到，故两者图象关于原点对称．故选C.2．(2015·郑州模拟)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数可能为()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(-|x|) D．y＝-f(|x|)解：y＝f(-|x|)＝⎩⎪⎨⎪⎧f（-x），x≥0，f（x），x＜0.故选C.3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝-f(x＋1)的图象大致为()解：先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝-f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝-f(x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C.4．(2016·河北高三模拟)为了得到函数y＝log2x-1的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点( )A．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位解：y ＝log 2x -1＝log 2(x -1)12＝12log 2(x -1)，由y ＝log 2x 的图象纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x -1)的图象，也即y ＝log 2x -1的图象．故选A .5．(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是()A ．{x |-1＜x ≤0}B ．{x |-1≤x ≤1}C ．{x |-1＜x ≤1}D ．{x |-1＜x ≤2}解：在此坐标系内作出y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图．满足不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的x 范围是-1＜x ≤1，因此不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |-1＜x ≤1}．故选C .6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2-x 2，x ∈[-1，0），x 2＋2，x ∈[0，1）， 且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间上的所有实根之和为( )A ．-5B ．-6C ．-7D ．-8解：由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2（x ＋2）＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )，g (x )在区间上的图象如图所示，可知函数f (x )，g (x )在区间上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为-3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为-4-t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间上的所有实根之和为-3＋(-4-t )＋t ＝-7.故选C .7．若函数f (x )＝（2-m ）xx 2＋m 的图象如图，则实数m的取值范围是________．解：因为函数的定义域为R ，所以x 2＋m 恒不等于零，所以m >0.由图象知，当x >0时，f (x )>0，所以2-m >0⇒m <2.又因为在(0，＋∞)上函数f (x )在x ＝x 0(x 0>1)处取得最大值，而f (x )＝2-mx ＋mx，所以x 0＝m >1⇒m >1.综上，1<m <2.故填(1，2)．8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1，x ≤0，f （x -1），x ＞0， 若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．解：x ≤0时，f (x )＝2-x-1，0<x ≤1时，-1<x -1≤0，f (x )＝f (x -1)＝2-(x -1)-1.故x >0时，f (x )是周期函数，作出y ＝f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实根，则函数y＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.故填(-∞，1)．9．已知函数f (x )＝x |m -x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数y ＝f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m -4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x -4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x -4）＝（x -2）2-4，x ≥4，-x （x -4）＝-（x -2）2＋4，x ＜4. y ＝f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是．(4)从y ＝f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(-∞，0)∪(4，＋∞)．10．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(-x ，2-y )在h (x )的图象上，即2-y ＝-x -1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1-a ＋1x2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1-a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x-a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 解：当0<x <1时，f (x )＝[x ]x-a ＝-a ， 1≤x <2时，f (x )＝[x ]x -a ＝1x -a ，2≤x <3时，f (x )＝[x ]x-a ＝2x-a ， …f (x )＝[x ]x -a 的图象是把y ＝[x ]x的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32.故选A .。
2018高考数学(文科)习题第二章函数的概念及其基本性质提分训练22和答案
………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.函数f (x )＝ln x 2( )A ．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增C ．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数且在(－∞，0)上单调递减 答案 B解析 函数f (x )的定义域为x ≠0，当x >0时，f (x )＝ln x 2＝2ln x ，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (－x )＝ln (－x )2＝ln x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．故选B.2．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得2x －5x ≤2－y －5y ，即f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧a －x ＋4a x ，log a x x是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧3a －1<00<a <13a －1＋4a ≥log a1，解得17≤a <13.4. 定义在R 上的偶函数f (x )在已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )点击观看解答视频A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案 B解析 f (x )＝x 2－cos x 为偶函数，f ′(x )＝2x ＋sin x ，x ∈(0，π)，f ′(x )>0，f (x )在(0，π)递增，所以有f (0)<f (0.5)＝f (－0.5)<f (0.6)，故选B.6．已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧log 2－x ＋1，－1≤x <0x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．C ．D ．[3，2]答案 B解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.∴当x ＝1时，f (x )在0≤x ≤a 上有最小值f (1)＝0. 又f (3)＝2.∴1≤a ≤ 3.故选B.7．若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4D.π6答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即0>tan α≥－1，α∈若函数f (x )＝1a －1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则实数a 的值为________．答案25解析 因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.9．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 答案 (－∞，－1]，解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，上是增 函数．10．若函数f (x )＝x 3＋3x 对任意的m ∈，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析 由题意可知f (x )为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f (mx －2)＋f (x )<0可变形为f (mx －2)<f (－x )，∴mx －2<－x .构造关于m 的一次函数g (m )＝x ·m －2＋x ，m ∈，可得当m ∈时，g (m )<0恒成立，若x ≥0，g (2)<0，若x <0，g (－2)<0，解得－2<x <23.11．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 当a >1，须使y ＝ax 2－x 在上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12a ≤3，9a －3>0，解得a >1.当0<a <1，须使y ＝ax 2－x 在上单调递减，且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a ≥4，16a －4>0，此时无解．综上，可知a 的取值范围是(1，＋∞)．能力组13.对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞上为增函数，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，916C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞ 答案 B解析 由函数y ＝x ＋ax 的图象知，函数y ＝x ＋a x在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以有a ≤34，故选B.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋3)＝f (x －1)，若对于任意的a ，b ∈，都有f a －f ba －b>0，则( )A ．f (－26)<f (1)<f (80)B ．f (1)<f (－26)<f (80)C ．f (－26)<f (80)<f (1)D ．f (80)<f (1)<f (－26) 答案 D解析 由f (x ＋3)＝f (x －1)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的函数．对于任意的a ，b ∈，都有f a －f ba －b>0，所以函数f (x )在上是单调递增的．因为f (－26)＝f (－28＋2)＝f (2)，f (80)＝f (0)，f (0)<f (1)<f (2)，所以f (80)<f (1)<f (－26)．15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2) >f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＝x ＋2－4，x ≥0，4x －x 2＝－x －2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.16. 已知函数f (x )＝x ＋ax(x ≠0，a ∈R )．点击观看解答视频(1)当a ＝4时，证明：函数f (x )在区间．解法二：f′(x)＝1－ax2＝x2－ax2.(1)证明：当a＝4时，∵x∈．。