离散趋势的统计描述
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
统计描述(离散趋势的描述)
大家好
27
正态分布
大家好
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正态分布:又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。
设想当原始数据的频数分布图的观
察人数逐渐增加且组段不断分细时，图
2-4中的直条就不断变窄，其顶端则逐
渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形
态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，
近似于数学上的正态分布。在处理资料
体 方 差 。
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2．正态分布的特征
（ 1） 在 直 角 坐 标 上 方 呈 钟 型 曲 线 ， 两 X 端 与轴 永 不 相 交 ， 且 以
X为 对 称 轴 ， 左 右 完 全 对 称 。
（ 2） 在 X处 ， f(X)取 最 大 值 ， 其 值 为 f()1X2；越 远 离 ， f(X)值 越 小 。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X)2
N
大家好
16
1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一
大家好
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应用一：观察指标单位不同
某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差为 4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，试比较
其变异度？
S 4.71
C1V 12.130 10% 03.8% 3
C2V S22..2 2 269 10% 01.0 1% 4
大家好
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应用二：均数相差较大时
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
描述数据离散趋势的常用统计量
描述数据离散趋势的常用统计量
很多时候，我们需要分析数据之间的关系，或者希望从重要数据中挖掘出有用
的信息。
而离散趋势就恰恰可以满足这样的需求。
那么，我们又该如何描述离散趋势呢？
一般而言，当涉及离散趋势描述时，常使用的统计量有极差(Range)、均值(Mean)、中位数(Median)、众数(Mode)、四分位距(Quartile Deviation)、变异系数(Variance)等。
例如，极差可以描述一组数据分布的宽度，它通过将数据中最大值与最小值进
行差值可以获得，它对于对立信息的分析非常有用，例如评价用户的活跃度。
均值又称均数，它表达的是一组数据的平均值，即所有数据的加权平均值，它非常有用，可以在不同变量之间考察有关关系。
而中位数表示的是数据中第50%的值，可用来剔除偏离的异常值，以便对正常
数据进行更为合理的分析。
众数指的是在一一定数据集中重复出现次数最多的值，它揭示了相同变量值出现的比例，有助于我们认识用户偏好。
四分位距描述的是一组数据大小关系，即四分位点，经常被用来反映大量用户数据的分布情况，例如分析一个网站的用户阅读量分布情况。
变异系数也就是标准差，用来描述一组数据变化的幅度，可用于评估指定网站的流量波动情况，对正常及异常活动的检测是必不可少的。
总结而言，我们描述离散趋势的常用统计量，可以用来衡量用户行为特征，从
而为流量分析提供重要参考依据，进而改善用户体验，实现业务竞争优势。
卫生统计学--离散趋势的统计描述(衡量离散程度的指标、正态分布及应用、医学参考值范围)
课后习题：
3、将一组计量资料整理成频数表的目的（ ） A、化为计数资料 B、便于计算 C、提供原始数据 D、为能够更精确的检验 E、描述数据的分布特征
4、6人接种流感疫苗一个月后，测定抗体 滴度为1:20、1:40、1:80、1:80、1:160、 1：320，求平均滴度应选用的指标是（ ）
表2-7 282名正常人尿汞值（ g/L ）测量结果
尿汞值
频 数f
累计频数 f
累计频率（%）
0～
45
45
16.0
8.0～
64
109
38.6
16.0～
96
205
72.7
24.0～
38
243
86.2
32.0～
20
263
93.3
40.0～
11
274
97.2
48.0～
5
279
98.9
56.0～
2
281
99.6
统计学方法是（ ）
A、用均数评价 B、用中位数评价 C、用几何均数评价D、用变异系数评价 E、用医学参考值范围评价
2.用于计算变异系数 3.用于计算标准误 4.结合均值与正态分布的规律，估计参考值范
围
第一节 衡量离散程度的指标 （五）变异系数(coefficient of variation)
变异系数常用于比较度量单位不同或均数相 差悬殊的两组(或多组)资料的变异程度。
S CV 100%
X
例题：某地7岁男孩身高的均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重 均数为22.29kg，标准差为2.26kg, 比较其变异度？
随机变量X N（，2）
拓展
Z X
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
离散数据的变化趋势分析
离散数据的变化趋势分析
离散数据的变化趋势分析主要包括以下几个方面：
1. 统计分析：离散数据可以通过统计分析方法，如计算均值、中位数、标准差等来获得数据的集中趋势和离散程度，进而了解数据的变化趋势。
2. 时间序列分析：对于具有时间属性的离散数据，可以使用时间序列分析方法，如趋势分析、周期分析和季节性分析等，来揭示数据的长期和短期变化趋势，以及周期性和季节性的影响。
3. 数据可视化：通过绘制折线图、柱状图、散点图等图表，将离散数据以图形的形式展示出来，可以直观地看出数据的变化趋势和规律。
4. 时间序列模型：对于具有较强时间相关性的离散数据，可以使用时间序列模型进行预测和分析。
常用的时间序列模型包括移动平均模型、指数平滑模型和ARIMA模型等。
5. 指标分析：对于某些特定的离散数据指标，可以通过比较不同时间点的指标数值，来判断数据的变化趋势和变化幅度。
在进行离散数据的变化趋势分析时，需要根据数据的属性和特点选取适当的方法和工具进行分析，以充分理解数据的变化规律和趋势。
5,数据的离散趋势及描述
能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
离散趋势的统计描述
离散趋势的统计描述离散趋势是描述数据分布时考虑数据离散程度的统计量。
它反映了数据在离散分布上的分散程度，即数据点之间的差异性。
在统计学中，离散趋势的统计描述包括极差、方差、标准差、百分位数和四分位数等。
首先，极差（Range）是离散趋势中最简单的测量指标。
它是最大值与最小值的差值，反映了数据的全局分布范围。
然而，极差对极端值非常敏感，容易受到异常值的干扰，因此常常会受到极值的干扰。
其次，方差（Variance）是离散趋势的重要指标之一。
它是各个数据与均值偏差的平方的平均值。
方差的计算过程中涉及到每个数据点与均值的差异，因此可以有效地描述数据的分散性。
方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据的分布越集中。
然而，方差的单位和原数据的单位平方相同，不是直观易懂的量纲，因此通常使用标准差作为方差的平方根来度量。
标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，也是离散趋势的常用度量。
标准差描述了数据相对于均值的分散程度，是离散趋势的最具代表性的统计量之一。
标准差越大，数据的分布越分散；标准差越小，数据的分布越集中。
标准差的单位与原数据的单位相同，而且在计算中是有限的和正数，因此更加直观和易于解释。
另外，百分位数（Percentile）和四分位数（Quartile）是描述离散趋势的重要统计量。
它们是将数据按照大小进行排序后，将数据分为若干个部分的量。
百分位数表示数据中有百分之p的数据小于或等于此数值，例如中位数就是50%分位数。
四分位数将数据分为四个部分，分别是上四分位数（数据小于最大小于或等于四分之一的数值）、中位数和下四分位数（数据小于四分之三的数值）。
四分位数的计算可以通过计算百分位数获得。
四分位数可以较好地描述数据的整体分布情况和数据的离散程度。
在实际应用中，离散趋势的统计描述可以根据具体问题选择合适的指标进行计算和分析。
极差可以用来初步了解数据分布的范围。
方差和标准差可以用来衡量数据的波动程度，分析数据集的稳定性和可靠性。
集中趋势和离散趋势的描述
402 330 232 118 27 11 3 1123
第三节 离散趋势的描述
描述数据变异大小的常用统计指标： 描述数据变异大小的常用统计指标： 极差 四分位数间距 方差与标准差 变异系数
极差（ 一、 极差（Range） ） 即一组变量值的最大值与最小值之差。 即一组变量值的最大值与最小值之差。 三组同龄男孩的身高值(cm) 例 三组同龄男孩的身高值(cm)
QR = 67.7 − 39.2 = 28.5
四分位数间距可以看成居中的一半变量值的 极差(数据两端各去除了25%的数据) 极差(数据两端各去除了25%的数据)。可表示为 25%的数据 QR=28.5(39.2~67.7)天。 天
三、方差与标准差 1.方差（ 1.方差（variance）也称均方差（mean square 方差 ）也称均方差（ deviation），反映一组数据的平均离散水平。 ），反映一组数据的平均离散水平 ），反映一组数据的平均离散水平。 总体方差
适用条件： 适用条件： 1.适用于各种分布类型的资料 1.适用于各种分布类型的资料 2.特别适合大样本偏态分布资料或者 2.特别适合大样本偏态分布资料或者一端或两端 特别适合大样本偏态分布资料或者一端或两端 的资料。 无确切数值的资料 无确切数值的资料。
中位数的计算 n为奇数时
M=X
n为偶数时
(
一、算术均数（mean） 算术均数（mean） 简称均数，可用于反映一组呈对称分布 简称均数，可用于反映一组呈对称分布的 呈对称分布的 变量值在数量上的平均水平或者说是集中位置 的特征值。 的特征值。 适用条件：算数均数适用于对称分布 适用条件：算数均数适用于对称分布，特别 对称分布， 是正态分布资料。 正态分布资料。 资料
( X − µ )2 ∑ N
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离散趋势的统计描述
学习目标
Ø能说出离散趋势的常用描述指标
Ø能说出标准差、变异系数、四分位数间距的适用条件能选用恰当的指标描述数值变量
Ø极差与四分位数间距Ø方差与标准差
Ø变异系数
1.极差与四分位数间距
Ø极差——全距：R=最大值－最小值
Ø四分位数间距：Q=P75－P25P 75
P
25
最小值最大值
2.方差与标准差
12
--∑=n X X S ）
（样本标准差12
2--∑=n X X S ）（样本方差
标准差的意义
当几组资料均数相近、度量衡单位相同时，标准差大表示变量值的变异程度大。
X 对称分布的计量资料
S
3.变异系数
用于比较度量衡单位不同或均数相差悬殊的几组资料的变异程度。
%100⨯=X
S CV
指标共性区别
极差
①用于数值变量
②描述离散趋势
③数值越大，离散程度越大小样本
四分位数间距偏态分布
方差与标准差对称分布
变异系数单位不同或均数相差较大
小结。