2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试数学试题卷(理科)(解析版)

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【高三数学试题精选】2018届高三数学理科质量监测试题4(长春市附答案)

2018届高三数学理科质量监测试题4（长春市附答案）
5 c 长春市普通高中2
c 是奇函数，最小值为 D 是偶函数，最小值为
7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A B
c D
8二项式的展开式中，项的系数为
A B c 15 D -15
9据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数（单位万）服从正态分布，则日接送人数在6万到68万之间的概率为（）
A B c D
10球面上有A,B,c三点，球心到平面ABc的距离是球半径的，且，则球的表面积是
A B c D
11已知是双曲线的两个焦点，P是双曲线c上的一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线c的渐近线方程为
A B c D
12已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围为
A B c D
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共5不等式选讲
（1）已知函数，若不等式的解集为，求的值；
（2）已知实数，且，求证
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

吉林省长春市2018届高三数学上学期第五次月考一模试题理201801150195

2018届高三年级第一次模拟（第五次月考）考试数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）(1)若集合lg2,1M x y N x x，则M Nxx（A）(0,2)（B）0,1（C）1,2（D）,12i（2）在复平面内，复数z的共轭复数的模为12i（A）25（B）（C）（D）552555（3）下列命题中，为真命题的是（A）,使得.x R ex001（B）x.sin xsin2(x k,k Z)（C）x R,2x x2.（D）若命题p：，使得0010，x2xx R则p：x R,x2x10.（4）执行如图所示的程序框图，输出的T＝（A）29 （B）44 （C）52 （D）62（5）设等差数列的前n项和为，若，则a S S S48,820a a aa n n13141516（A）12 （B）8 （C）20 （D）160.91a0 3c 2log 2a ,b ,c4 .b（6）已知，，则的大小关系是26（A ） a b c （B ） c a b （C ） c b a（D ）b c a12 222（7）若则的大小关系 Sx dx Sdx S e dx1, 2, 3 ,,x, S S S112131x（A ）（B ）SSSSSS123213（C ）（D ）SSSSSS231321- 1 -x 2 0（8）设变量 x , y 满足约束条件 x y 3 0 ，则目标函数 zx 6y 的最大值为2x y 3 0（A ）3 （B ）4（C ）18（D ）401（9）设函数，则使得 f (x )f (2x 1)成立的 x 的取值范围是f (x) exx221（A ）,1 31（B ）,1,31 1（C ）,3 31 1（D ）, , 3 3（10）若抛物线 y 2 4x 的焦点是 F ,准线是l ,点 M( 4,m)是抛物线上一点,则经过点 F 、 M且与l 相切的圆共（A ） 0 个（B ）1个（C ） 2 个（D ） 4 个（11）在正四棱柱中,，动点分别在线段ABCD A B C DAA 1 4, AB BC 2P ,Q 11 1 1C 1D , ACPQ上，则线段长度的最小值是2 2 23 4（A ）（B ）（C ）（D ）3332 5 3xx f (x) eaxx（12）已知有两个零点，下列说法正确的是12（A ）a e（B ） xx122（C ） x 1 x 21（D ）有极小值且xxxx122 0第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分．）x y 22（13）若双曲线 1 的左、右焦点分别为25 16F 1, F 2 ，点 P 在双曲线上，且 PF，则 13P F2等于1（14）设为第二象限角,若 tan( ) ,则 2sincos ________4 2（15）2,2上随机地取一个数 k ，则事件“直线 y =kx 与圆(x - 5)2 + y 2 = 9 相交”发生的概率为2 1（16）已知 O 是 ABC 外心，若 AO ABAC ，5 4- 2 -则cos BAC三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知cos2C cos2A3．a c b222（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若B,S83，求b．3（18）（本小题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1．（Ⅰ）求证：平面DAF平面CBF；（Ⅱ）当AD的长为何值时，二面角D FE B的大小为60．（19）（本小题满分12分）aa中，．已知数列a11,a1n n N*nna3n（Ⅰ）求的通项公式；a an nn（Ⅱ）数列b满足b31a，数列的前项和为，nb n Tn n nn n n2n若不等式对一切n N*恒成立，求的取值范围．1Tnn n12（20）（本小题满分12分）x y322椭圆C：（1a b0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为a b2222．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A,B，点P是直线x2上的动点，直线PA与椭圆另一交点为M，直线PB与椭圆另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)lnx ax.- 3 -（Ⅰ）讨论f(x)的单调性;（Ⅱ）当函数f(x)有两个不相等的零点x,x时,证明: x x e2.1212请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆：＝4 cos与直线：＝(∈R)交于两点．C l A,B14（Ⅰ）求以AB为直径的圆C的极坐标方程；2（Ⅱ）在圆任取一点，在圆上任取一点，求的最大值．C M C N MN12（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f x x22x1．（Ⅰ）求不等式f x1的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f x t t2在0,1上无解，求实数t的取值范围．32- 4 -数学试题（理科）答案一． BADA,CBBC,ADCB103 二．13. 13 14. 15.16.108三．17. 【解】 1 2（Ⅰ）由正弦定理得：sin cos 2 C sin cos 2 A 3 sinACB22 21cos C1 cos A 3 即sin Asin C sin B2 2 2∴sin A sin C sin A cos C cos A sin C 3sin B即sin A sin C sin(A C ) 3sin B∵sin(A C ) sin B∴sin A sin C 2sin B 即 a c 2b ∴ a ,b ,c 成等差数列。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中20怡届高三质量监测(三〉数学试题卷(理科)耆生硕知： t 各试空分试聰砂答題卡,構分150井,石试时间】20分钟.2. 淬聴乩在斟SF 抬宼位据匕境写学检.班纽社名和准警证号.3. 希有答案必皱耳在务朗左上，打龙试总上无效. 4号试黠忆製需上殳界轉卡一一、谨择題:本鏈共M 小题，每小眩空井"吞每小赵给出的四个选项中、只商一项是符合题目毀滾的一 (t > 设集 fr.l^{x||x|<l), B = {x\x(x-3)<U}.刪 dURz(A)卜IQ U) (0.1)(C) (-13><D> (1,3)(2> 若埶数工=则|=|=[-i迅行运兀跑的摆辿們式仃纵横:老种瞄式(如图所示).如吟松位数时*輝阿拉时汁数样.把朴牛数旳的数码从圧到右抑列，«H 他栽码的序式胡徑覘* 釧町个仏百肯、力中t ［网做虫紬粘卜位.丁世・十万何用槌式展叮；•以此芟他例俎H66用S7并盂小祖肚二II 丄「刚翳71用券尊可劇为 2 占丄 Tl (B) HT X X I (C) i T± ■ (D> TIT 丄 1F_J5)榔ift 眈/(.¥)'Sin(2.i h 3)的用傑向f I T ft <J 个讯位曙f i!函数耳(灯二COS 2x 的 r 3 牌傑.測凸的ffl 诃门打；T S JT1 1,7 1?肚 l A )一 CID 二 fC>心—— 12J2 12 12 数学试独艸科〉詭1贞(搖4就)(B) 0CD)迈(3) 中国有个名旬“运磬桂犍Z 中.决胖『咐之外■・其中的“溥”療您赴描<*hf P 经)中记朝的算靜.古代川订为廉址行计 ■ KSA#几寸长的小竹棍摆机平血LI II 01 Illi hli T T nr >± X = ms痢数 /(x) = l + /+—为til 图所不程用Hi 图是为r 求出满足2"-^ >28抑扯小偶如、那么唯白框中的迥旬及巌后输岀的”悄分別是(A) n = n + l ^1 6(BJ M = “ + 2和 6 (CJ H = rt 4-1 S (D) n = n + 2^ml_«j(7} (T 本用间的W 摆放在恪架时同一栏上「變求屮、乙第本肝必坝摆做张幅攔• W* 丁两点书謝须相邻，则小岡的建旗方汎有I )种.(A) 24CB )36 «：1 48(8> 某几何縊的濒用如图所同；(单册cm ),则劇L 何体的体扔E 帕趴cm >是<A) 4^3 〔B 〉罗厉(C )2血 (D)語(9) LABlA^flC 的内的对边分别为，b * Ci 齐 2/fttwi /?兰fjgs ( + c ix>s A・ h-2 ・则△屛賦曲紂的城人Fi 圧<M I⑹ J3 <C)2(D )4(IQ) |2扫1边怏为2的竽追決形MC ・0为肚的中点・以』£>为析腿将4仏「折诫zm, ant 凡乩GDIB 点的球的泯面机为 (A) 2JT口昇 M(C) 4ffCD)Ml) 口甜悠曲线三-亠 "的左后柄忙建点仃劭为幷利巧•种儿和支卜一存症一nr rtv -\点尸淌址丹；丄怦；，何冷△丹•出的圍舉为L 则谀取曲冀的禺心率为(A)—【1口 — <C> 2 <Di 32 2(12)已知定又域为H 的甫H/QO 的用乂择ii 点亿I)，H 对*wR ，都有广⑴八2. /(1QU 313T -11) < 3- log 7；： | T 为CA )似心) &B )(-oo,0}U<OJ) (C) Y 」)3 (-LO>U(0J)G'r 试趣连t 理斟】苹2 1「人4 i ；CSC' -1A =2" ft'訂/畔上/二、填空砸：本SLh 4小題，旬小趣5分.“0（IJ）设实fltxj需足釣束策林・4一丫一$心0*聊二二” + 2y們最大值为x + V 5L °i456y口m涯Ift点圈井折町知=y』』x找性机羌. 为㈱确fjo.i）,畠/（盘）耳2,则实数“的联恒盘国虽lag, Jr J：>O P(15)（15）乜殛长为2的弄蝮白柳△#放屮…讨为斜边/R的屮0,点P为该平记内-动啟苦冈卜2・M（S4'PS + 4XPC*/*A7）的眾小值屋______________•三、解答麵：共期分解答应舄生女字说明、证明过程或演算歩骤一第17-21掘为必考建, 毎个试强考生都叠须作答.第2篁苗趣为选考题*考生根揣要求件答•<-）必考题：共60分.（17）Ct耶题満分俺和仪进列｛叫｝的4沖项和为乙+吐忆二用"，在正项巒说戳列｛和也爲-吋（1）求｛叫｝和仏讣的期琨企式;< JD址1打二务求麹列｛□｝的li沏顶和匚-（18）（本小题満分门分）树立和躅行41録朮育山就是金血阚山・甲排人与自然和躅共牛"'射理念越来拯怎入人心.已圧威了全代门応穆叮*造祖方41的肚性劭环一据此旅H站推! 11T关严卞奁文明翅设进展愴况的确杳.大凰的蟒计截霍憲明・雾与谓査舟中关注此问趣的约占闕需刀!从需与调査的人郡中册应出200人■笄谒这200人按年岭分第I 组P5J5），閉2 ^｛25,35）.谊J犯［3翼45）「第4疑［4畀55）・笫3姐［5黑祐“再到的频率分布口方團如團所示i< \）求左的th（ri）現在熨从年龄鞍小的第b 2t 3蛆中用务层抽样的方世抽胞门人・再从这门人中樂机抽取J人迥订何卷英許・求在f I组巴帔拯到［人的刑覆F.^3 坦褫扯到2人的魄率；（IU）苕从所有参与调査的人中址意选出J A-记关注"诜丈明”的人数为片I 求X的分布対与期卑.灶学试軀隹f；T i!h u：（K- 4 ）（旳〉（:本小题満分门分）在如图瞬示的儿忖悴屮，PA.1平面A BCD t E.F卧訓杲im AD, PH的中点・PA -AB = \（I）求证:EF#平面DO1；（II j求平面EFX7与平面/YX?所或锐二面角的金径值.rio> ｛本小题満分M分）托平删倒处坐栋承4 E油【関q的方用为"7口於虫・阀匚的方程^（i+ty+Z^b动岡卍与BIG内切切.< ［）诜动訂関心厂的比迹E的厅楼：（ID巴知理-2』）制02,（1｝为甲面内的两个宦点*过（14）点的氏战丿与轨迹E空于川』B两点、求0ii® APBQ的鈕大值.CD （本小趣滿分订労）已知隅議/"（工）冃”-4工*5-耳，（1〕若/'（刃在R上垦单魁递增喀咯求"的取遠范凤（It） ^g（T）-^/（X）.当Q1时.若竄斗）乜（对"童（冊卜眞中^! < ftf < Jj -求i吐Jf t + x2< 2m（-）進考降垄】0处请考生在22、工3题中任选一题柞答一如果务傩*则按所做的第一12计*<22）（本申題満分苗分）选^4-4:坐标系与参賞方程选讲在氏期坐标JfiQ巾.以坐悔亂虫为楼血，X轴正半输为极挡建宜极劭标氛*曲啦；："畑話— R「“如?"H ）求G弓匚；交点的極磋标；〔II）设点a在G」：・觅=亍囲・欢动点尸的极坐标方翟（23）（本小麓潘分4份）选捲1黛不等武逸讲己知函数f （工）=|纠*|2x*3| + m・meR.〔I ）当耐=—2时.求不等式/（i）^3的解能：£ ［［）讨卜滋F（F,0h都有一广（工）$工+二怔戍立+求椭的眾值施阴■耽学试啦養！呷孑门第斗旬｛扛4亟）长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分) 1. C 2. A 3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B10. D11. B12. B简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查集合的运算 .【试题解析】C A 二{x| -1 ：：： x :：: 1}, B 二{ x| 0 ：：： x ：： 3}, AUB =(一1,3).故选 C. 2. 【命题意图】本题考查复数 . 【试题解析】A z =i,|z|=1.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题 . 【试题解析】C 由算筹含义.故选C.4.【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质【试题解析】D 由函数是偶函数，排除 A ，C ,当x ・(0, —)，tanx .0.故选D.25.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识 .【试题解析】C 由题意知，a = -一 • k 二，k • Z .故选C.126. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识 . 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7.【命题意图】本题考查计数原理的应用 . 【试题解析】A 由题意知A 2A 3A ； =24.故选A.8.【命题意图】本题主要考查三视图问题 .【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用【试题解析】B 令F(x) = f(x)+2x ，有L(x)=f(x 七刃，所以F(x)在定义域内单调递增，由 f(1)=1，得 F® =f) 2 3 ，因为 f(log 2 |3x —1|) v3—log 出 |3x —1|9.V=4E 」2G 」°W .故选B.3 3【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识 .【试题解析】B 由题意知B=60，由余弦定理,2ac =a2c 一 4 — 2ac - 4，有 ac 空 4，故 S2 2ac = a c - 4，故1acsin B 乞、3 .故选 B.210.11.【命题意图】本题主要考查球的相关问题 .【试题解析】 D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为故其外接球的半径为 5，其表面积为2【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 1+1+3二、一 5，5二.故选D.【试题解析】B 由双曲线可知S PFF=m 2-1 = 3,m 2= 4，从而』.故选B.2等价于 f （log 2|3x -1|） 2log 2|3x -1|：：：3，令 t=log 2|3x -1|，有 f （t ） 2t ：：：3，则有t ：1，即 log 2 |3x-1| ：：：1,从而 0 ：：：| 3x _ 1| ：：： 2，解得 x ：： 1,且 x 严 0.故选 B. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.715. （_：：,_1]U[4, ：：） 16. 48-32、、2简答与提示： 13. 【命题意图】本题考查线性规划问题 . 【试题解析】由可行域可确定目标函数在（1,4）处取最大值9.14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 x=3.2代入回归方程为y? = x ・1可得y -4.2，贝U 4m = 6.7 , 解得m= 1.675，即精确到0.1后m 的值约1.7. 15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识1【试题解析】当X _0,（—）x_2,x _-1，当x 0 竄_4x_，故（：：〒]4lh ： .216. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识【试题解析】由题意可知其最小值为48 - 32-、2.三、解答题17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和2【试题解析】解：（1） Q S n = n 2 -n ，令n =1 , q =0a . =Sn -S n 」=2 n -1 , n — 2a n =2 n-1 又 Q 数列仏？为等比，b 2 二 a 2=2 , b 4 二 a 5=8—=q = 4，又各项均为正• q = 2 , - bn = 2°4b 2(2)由(1)得：c n 二 n-1 -2nT n =0 2-1 23-1 23 L n-12n=1 222 23L n-1 2n2T n 二 1 232 24Ln - 2 2n n-1 2n 1-T n =222324L 2n - n-1 2n 1T n = n -2 2n 14 18. （本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识【试题解析】解：（1）由 10 0.010 0.015 a 0.030 0.010 =1，得 a = 0.035,（2）第1, 2, 3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1, 2, 3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1 , 2, 3组抽取的人数分别为 2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ,汁""1尹 1-2n 1n 1=2-n-12-4C ；CP AB G 32P(A) " C2C1O - C |C ；0C 2则 P B|A 二21 50(3)从所有参与调查的人中任意选出4概率为P , X 的可能取值为0,54 3 1.P X =0 二咖--)3：5 125 1人，关注“生态文明”的 1，2, 3.14 1 4 2 12Px" 话 19. 2 4 2 4 1 48 343P X =2 二C 3(y (1-匸) ，P X =3 二C 3(匚) 5 5 125 5想象能力、推理论证能力和运算求解能力 • 【试题解析】答案：(1 )取PC 中点M ，连接DM ,MF64 125本题考查学生的空间1丁 M ,F 分别是 PC, PB 中点，二 MF 〃CB MF =^CB ，， 21E 为 DA 中点，ABCD 为矩形，.DE/CB’DE -^CB ，2.MF // DE, MF = DE ，.四边形DEFM 为平行四边形.EF // DM , EF -平面 PDC ， DM 二平面 PDC ，. EF // 平面 RDC(2PA_平面ABC ，且四边形 ABCD 是正方形，.AD, AB, AP 两两垂直, 原点，AP AB AD x, y, z A-xyz 则 P 1,0,0 , D 0,0,1,C 0,1,1, E(0,0,设平面EFC 法向量为m =(x, y,z)，1 1 1；),F(；,；,°) 2 2 21 1 11 1 EF 十，，)，FC =(, ,1)EF n = 0则一11，取 m = 3,-1,2y z = 0召2 T T则设平面 PDC 法向量为 n 2=(x,y,z)， PD= (-1,0,1)，PC =(-1,1,1)，即 \FC n =0PD n 2 PC n 2 4 T cos ： n 1,=0 -0_ x + z = 0 -* 「x + y + z = 0，取宀1。

高考最新-长春数学(理) 精品

长春、沈阳、大连、哈尔滨四市 2018—2018学年度高三年级第一次联考数学试卷（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将各题正确选项填涂在答题卡上） 1．=+--3)2)(1(i i i（）A ．i +3B ．i --3C ．i +-3D ．i -32．直线1l 的方程为12+-=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y =对称，则直线2l 经过点（）A ．（－1，3）B ．（1，－3）C ．（3，－1）D ．（－3，1）3．已知数列}{n a ，“对任意的),(,n n a n P N n 点*∈都在直线23+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α、β、γ，直线l 、m ，且l m m l ==⊥⊥βγαγγα ,,,，给出下列四个结论：①γβ⊥；②α⊥l ；③β⊥m ；④αβ⊥.则其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i 24+=， j i 43+=，则△OAB 的面积等于（）A ．15B ．10C ．7.5D ．56．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边. 设B=2A ，则ab的取值范围是（）A ．（－2，2）B ．（0，2）C ．（2，2）D ．（3,2）7．不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-200)1)(1(x y x y x 表示的平面区域是一个（）A ．三角形B ．梯形C ．矩形D ．菱形8．已知8)(xa x -展开式中的常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为（）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或289．设A 、B 是非空集合，定义},|{B A x B A x x B A ∉∈=⨯且，已知 B A x y y B x x y x A xx⨯>-==-==则)},0(122|{},2|{2等于（）A ．),2(]1,0[+∞B ．),2()1,0[+∞C ．[0，1]D ．[0，2]10．若点P 在曲线43)33(323+-+-=x x x y 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A ．)2,0[πB ．),32[)2,0[πππC ．),32[ππD ．]32,2()2,0[πππ 11．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点，F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m 、n ，则mnnm +等于（）A ．2aB ．4aC ．a21 D ．a4 12．定义在区间[2，4]上的函数m x y mx (3)(-=是常数）的图象过点（2，1），则函数)(x F )()]([2121x f x f ---=的值域为（）A ．[2，5]B ．),1[+∞C ．[2，10]D ．[2，13]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为 .14．已知椭圆的方程为x y m m y x 22),0(116222=>=+直线与该椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为 .15．直线x y m x ==,将圆面422≤+y x 分成若干块. 现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的涂法，则实数m 的取值范围是 . 16．下面有四个命题：①若、为一平面内两非零向量，则||||b a b a b a -=+⊥是的充要条件；②一平面内两条曲线的方程分别是0),(,0),(21==y x f y x f ，它们的交点是),(00y x P ，则方程0),(),(21=+y x f y x f 的曲线经过点P ；③经过一定点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；④1,21lim21-==-+→b x bx x 则. 其中真命题的序号是（把符合要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数.23cos sin sin 3)32sin()(2++-+=x x x x x f π（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最小值及此时x 的值；（3）若当)(,]127,12[x f x 时ππ∈的反函数为)1(),(11--f x f 求的值.18．（本小题满分12分）从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数. （1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中男生人数1≤ξ”的概率.19．（本小题满分12分）如图所示，已积压四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，,90︒=∠=∠BCD ABC⊥====PBC CD PC PB BC AB 侧面,2底面ABCD.（1）证明：BD PA ⊥；（2）求二面角P —BD —C 的大小；（3）求证：平面⊥PAD 平面PAB.20．（本小题满分12分）已知数列}{n a ，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1=1，对任意正整数n ，.24!+=+n n a S （1）令),,3,2,1(21 =-=+n a a b n n n 证明}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；（2）令}log log 1{,31222++⋅=n n n n n c c T b c 为数列的前n 项和，求.lim n n T ∞→21．（本小题满分12分）已知定义在实数集R 上的函数d c b a d cx bx ax x f ,,,,)(23其中+++=是实数. （1）若函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且,18)0(,7)0(-='-=f f 求函数)(x f 的表达式；（2）若03,,2<-ac b c b a 满足，求证：函数)(x f 是单调函数.22．（本小题满分14分）F 1、F 2分别是双曲线122=-y x 的两个焦点，O 为坐标原点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线b kx y l +=:与圆O 相切，并与双曲线交于A 、B 两点. ||AB 在向量21F F方向的投影是p.（1）根据条件求出b 和k 满足的关系式；（2）当1)(2=⋅p 时，求直线l 的方程；（3）当42,)(2≤≤=⋅m m p 且满足时，求AOB ∆面积的取值范围.数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.A8.C9.A 10.B 11.D 12.A 二、填空题：每小题4分，满分16分.13．2:3π 14．22 15．)2,2(- 16．①②③④ 三、解答题（共74分） 17．解：).32sin(2232322sin 2)2cos 1(3)32sin()(ππ+=+++--+=x x x x x f （3分）（1）π=T ；（5分）（2）当)(,)(125x f Z k k x 时∈-=ππ取最小值－2；（9分）（3）令.4)1(,4,]127,12[1)32sin(21πππππ==∈=+-f x x x 即得且（12分） 18．（1）解：ξ可能取的值为0，1，2，2,1,0,)(37352=⋅==-k C C C k P kk ξ 所以ξ的分布列为（5分）（2）解：由（1）ξ的数学期望为.767127170=⨯+⨯+⨯=ξE （9分）（3）由（1），“所选3人中男生人数1≤ξ”的概率为 .767472)1()0()1(=+==+==≤ξξξP P P （12分） 19．解法一：（1）取BC 中点O ，连结AO 交BD 于点E ，连结PO.PBC ABCD PBC BC PO PC PB 平面平面平面又,,,⊥⊥∴=平面ABCD=BC ，⊥∴PO 平面ABCD. （2分）在直角梯形ABCD 中，∵AB=BC=2CD ，易知Rt △ABO ≌Rt △BCD.∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，即AO ⊥BD ，由三垂线定理知PA ⊥BD （4分）（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO ⊥BD ，得PE ⊥BD. ∴∠PEO 为二面角P —BD —C 的平面角.（6分）设AB=BC=PB=PC=2CD=2a ，则.55,3a OE a PO == 在,15tan ,==∠∆OEPOPEO PEO Rt 中 .15arctan 的大小为二面角C BD P --∴ （8分）（3）取PB 的中点为N ，连结CN ，则CN ⊥PB ，又BC BC AB ,⊥ 是PB 在面ABCD 内的射影，,PB AB ⊥∴ 又,,PBC AB B BC PB 面⊥∴=∴平面PAB ⊥平面PBC. ∵CN ⊥PB ，面PAB ∩面PBC=PB ，∴CN ⊥平面PAB. （10分）取PA 的中点为M ，连结DM 、MN ，则由MN//AB//CD ，∴==∴,21CD AB MN 四边形MNCD 为平行四边形，∴CN//DM ， ∴DM ⊥平面PAB ，∴平面PAD ⊥平面PAB. （12分）解法二：取BC 中点为O ，∵侧面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形，∴PO ⊥底面ABCD. 以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，如图，建立空间直角坐标系. （1分）不妨设CD=1，则AB=BC=2，PO=3. ∴A （1，－2，0），B （1，0，0）， D （－1，－1，0），P （0，0，3）.∴).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD （2分）.0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴.BD PA ⊥∴⊥ （4分）（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ，连结PE.由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅ .,BD OA ⊥∴⊥∴ 又∵EO 为PE 在平面ABCD 内的射影，PEO BD PE ∠∴⊥∴,为二面角 P —BD —C 的平面角. （6分）在Rt △BEO 中，55sin =∠⋅=OBE OB OE ， ∴在Rt △PEO 中，.15tan ==∠OEPOPEO ∴二面角P —BD —C 的大小为.15arctan （8分）（3）取PA 的中点M ，连结DM ，则),23,1,21(-M 又),3,0,1().23,0,23(-==PB DM ,0)3(23)2(0123=-⨯+-⨯+⨯=⋅∴PA DM .,PA DM ⊥⊥∴即又.,,0)3(2300123PB DM ⊥⊥∴=-⨯+⨯+⨯=⋅即 ⊥∴DM 平面PAB ，∴平面PAD ⊥平面PAB. （12分）20．（1）证明：).(4)24()24(1111--++-=+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a ① （2分）由题知.2.21211++++-=∴-=n n n n n n a a b a a b又由①),2(2422)(411111n n n n n n n n a a a a a a a b -=-=--=∴+++++}{,22)2(2111n nn n n n n b a a a a b b ∴=--=∴+++是等比数列，公比q=2，（5分）又由,5,241,24,242212112=∴+=+∴+=+∴+=a a a a a a S.23,3252111121--⋅=⋅=∴=-=-=∴n n n q b b a a b （7分）（2）解：.111)1(1log log 1,2312221+-=+=⋅∴==++-n n n n c c b c n n n n n （9分） .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n （11分） .1)111(lim lim =+-=∞→∞→n T n n n （12分） 21．解（1）.23)(2c bx ax x f ++='由.1823)(,1818)0(2-+='-=-='bx ax x f c f 即得（3分）又由于)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是0)(='x f 的两个根.从而⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--.6,2.018627,01823b a b a b a 解得（5分）又根据.71862)(,77)0(23---=-=-=x x x x f d f 所以得（7分）（2）.0,0,03.23)(22≠≠<-++='c a ac b c bx ax x f 可知由条件（9分）因为)(x f '为二次三项式，并且0)3(4)3(4)2(22<-=-=∆ac b ac b ，所以，当0)(,0>'>x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递增函数；当0)(,0<'<x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递减函数. 因此，对任意给定的实数a ，函数)(x f 总是单调函数. （12分）22．解（1）双曲线122=-y x 的两个焦点分别是)0,2(),0,2(21F F -，从而圆O 的方程为.222=+y x由于直线b kx y +=与圆O 相切，所以有.21||2=+kb即)1(),1(222±≠+=k k b 为所求. （3分）（2）设),(),,(2211y x B y x A 则由y y x b kx y 消去⎩⎨⎧=-+=.1,22并整理得， .1,0)1(2)1(2222≠=+++-k b kbx x k 其中根据韦达定理，得.11,122221221-+=-=+k b x x k kb x x （5分）从而))((),(),(212121212211b kx b kx x x y y x x y x y x +++=+=⋅=⋅.1211)1()()1(2222222221212b kb k k b k b x x kb x x k +-+-++=++++= 又由（1）知).1(21)1(4132)1(),1(2222222222++-++-++=⋅∴+=k kk k k k k OB OA k b 21||F F AB 方向上的投影为p ，所以.1214132)(.11,cos 2222222122=+-+-+=⋅∴+>=<=k k k k p k F F p 即,1224322222-=-+-+k k k k （8分） 6,222±=±=⇒=∴b k k所以直线l 的方程为.6262-±=+±=x y x y 或（9分）（3）类似于（2）可得 ,2141322222m kk k k =+-+-+ 即,224322222m mk k k k -=-+-+ .24,1122mb m k +=+=∴ （10分）根据弦长公式，得 1)1(4)12(14)(1||22222212212-+--+=-++=k b k kb kx x x x kAB.)14)(12(21)11124)(12(2)1(112222222++=--+++=--++=m m mmm m k kb k 2)14)(12(2212||21⨯++⨯=⋅=∆m m AB S AOB 41)83(162121622-+=++=m m m而,42≤≤m ,103221221622min =+⨯+⨯==∴∆AOB S m 时当当.343241241642max =+⨯+⨯==∆AOB S m 时因此△AOB 面积的取值范围是].343,103[ （14分）。

吉林省长春市2018届高三质量监测(四)数学(理)试卷(含答案)

长春市普通高中2018届高三质量监测（四）数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{3,1,1,3}A =--，2{|230}B x x x =+-=. 则()A B =R I ðA. {1,3}-B. {1,3}--C. {1,3}-D. {1,3}2. 若复数1i1iz a +=+为纯虚数，则实数a 的值为A. 1B. 0C. 12-D. 1-3. 为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 C. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 D. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果4. 已知ABC △的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,3)B -，(4,2)C ，则向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为A.10B. 10-C.22D. 22-5. 设公差小于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3611S a =，则当n S 取得最大值时n 的值为A. 6B. 7C. 8D. 116. 函数()sin()(0,0,)()22f x A x A x ππωϕωϕ=+>>-<<∈R 的部分图像如图所示，则()3f π=A.12B.32 C. 12- D. 32- 7. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是 A . 1CC 与1B E 是异面直线患病未患病服用药没服用药00.10.20.30.40.50.60.70.80.91患病未患病服用药没服用药00.10.20.30.40.50.60.70.80.91Oxyπ61π32B . AC ⊥平面11ABB AC . AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D . 11//AC 平面1AB E8. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --⎪⎪-+⎧⎨⎩≤≥≥≥，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 9. 如图所示程序框图，若输出的x 为1-，则输入0x 的值为A. 1B. 12C. 1-D. 210. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1||PA 是12||F F 和12||A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为A.B.C. 2D.12. 已知函数()xf x e =，对任意的12,x x ∈R ，都有121212()()||(()())f x f x k f x f x x x -<⋅+-恒成立，则实数k 的取值范围是 A. [2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞UC. 11[,]22-D. 11(,][,)22-∞-+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

吉林省长春市普通高中2018届高三上学期质量监测理数试题Word版含解析

吉林省长春市普通高中2018届上学期质量监测高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（） A. 1213i + B. 1312i + C. 13i - D. 13i【答案】D.考点：复数的运算．2若实数a ，b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是（） A.22a b > B. 1ab> C. 22a b > D. lg()0a b -> 【答案】C. 【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当a b >时，22a b >为正确选项，故选C. 考点：不等式的性质．3.设集合2{|30}A x x x =-<，{|||2}B x x =<，则A B =（） A. {}|23x x << B. {}|20x x -<< C. {}|02x x << D. {}|23x x -<<【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可知{|03}A x x =<<，则{|22}B x x =-<<，∴{|02}A B x x =<<，故选 C.考点：集合的关系．4.运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A. 99212-B. 99212+C. 1010212-D. 1010221+【答案】A. 【解析】试题分析：由算法流程图可知，输出结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即为99212-，故选A.考点：程序框图．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和．6.几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.323B. 2163π-C. 403D. 8163π-【答案】C.【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为14022422233⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C.考点：空间几何体体积计算．7.已知变量X 服从正态分布(24)N ，，下列概率与(0)P X ≤相等的是（） A.(2)P X ≥ B.(4)P X ≥ C.(04)P X ≤≤ D. 1(4)P X ≥-【答案】B. 【解析】试题分析：由变量X 服从正态分布(2,4)N 可知，2x =为其密度曲线的对称轴，因此(0)(4)P X P X ≤≥=，故选B.考点：正态分布的性质．8.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（）A. 24πB. 12πC. 8πD. 1124π【答案】A.考点：三角函数的图象和性质．9.已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（）A.1C. 2D.【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，设(1cos ,sin )A θθ+，(,1)P x x +，则(1cos ,sin )B θθ--， ∴(1cos ,sin 1)PA x x θθ=+---，(1cos ,sin 1)PB x x θθ=-----， ∴(1cos )(1cos )(sin 1)(sin 1)PA PB x x x x θθθθ⋅=+---+-----22222(1)cos (1)sin 211x x x θ=--+---=+≥，当且仅当0x =时，等号成立，故选A. 考点：1.圆的标准方程；2.平面向量数量积及其运用．10.已知函数()f x 满足()(2)2f x f x +-=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，当(1,0]x ∈-时，()2f x +=，若定义在(1,3)-上的函数()()(1)g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（） A. 1(0,]2B. 1[,)2+∞C. (0,6+D. (0,6-【答案】D. 【解析】试题分析：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，∴22()2211xf x x x -=-=-=++，即()f x 在(1,1]x ∈-上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xx f x x x x -⎧ ∈-⎪=+⎨⎪ ∈⎩，又∵()(2)2f x f x +-=，∴()f x 的图象关于(1,1)点对称，可将函数()f x 在(1,3)x ∈-上的大致图象如下图所示，令()0()(1)g x f x t x =⇒=+，而(1)y t x =+表示过定点(1,0)-斜率为t 的直线，由图可知为其临界位置，当[1,2)x ∈时，2()(2)2f x x =--+，联立2(1)(2)2y t x y x =+⎧⎨=--+⎩，并令0∆=，可求得6t =-，因此直线的斜率t的取值范围是(0,6-，故选D.考点：1函数与方程；2.数形结合的数学思想．11.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（）种. A. 18 B. 27 C. 37 D . 212【答案】C. 【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为37C ，为35种；共计37种取法，故选C.考点：排列组合．12.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（） A. 10 B. 13 C. 16D. 19【答案】B.考点：圆锥曲线综合题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知实数x ，y 满足2040240x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，则2y x -的最小值为___________.【答案】1. 【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令2z y x =-，可化为2y x z =+，因此当直线过点(1,3)时，z 取得最小值为1，故填：1.考点：线性规划.14.已知向量(13)a =，，2(0,1)b t =+，则当[t ∈时，||||ba t b-的取值范围是_________. 【答案】. 【解析】试题分析：由题意，||bb 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||b a t b -表示||b tb 向量终点到a 终点的距离，当t =时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，可算得该距离||||b a t b-的取值范围是，故填：.考点：平面向量的线性运算.15.已知0>a ，6)x-展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰___________.【答案】2233π++考点：1.二项式定理；2.定积分的计算.16.已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈，若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积，已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________. 【答案】2520-. 【解析】试题分析：由题意可知，11p =，22p =，34p =，48p =，51p =，62p =，74p =，88p =，91p =，102p =，114p =，128p =，131p =，……，又∵{}n p 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，11q =-，21q =-，31q =，41q =-，51q =-，61q =，71q =-，81q =-，91q =，101q =-，111q =-，121q =，131q =-，……，又∵{}n q 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}n n p q ⋅，每12项的和循环一次，易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-，因此2016S 中有168组循环结构，故2016151682520S =-⨯=-，故填：2520-.考点：1.新定义问题；2.数列求和.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A满足()26A f π-=sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）最小正周期：π，单调递减区间：7[,]1212k k ππππ++()k Z ∈；（2）试题解析：（1）2()2sin cos sin2f x x x x x x =+=2sin(2)3x π=+，因此()f x 的最小正周期为22T ππ==，()f x 的单调递减区间为3222232k x k πππππ≤≤+++，即7[,]1212x k k ππππ∈++()k Z ∈；（2）由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==，又∵A 为锐角，∴3A π=，由正弦定理可得2sin a R A ===，sin sin 2b c B C R ++==，则1314b c +==，由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，可求得40bc =，故1sin 2ABC S bc A ∆==．考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）可以；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）计算离散型随机变量X 取到各个可能值时对应的概率，列出分布列后即可求解.试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表：22200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5，其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==，X 的分布列为：由于~(5,)5X B ，则525EX =⨯=，5(1)555DX =⨯⨯-=．考点：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布与期望和方差． 19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ︒∠=.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --的大小为60︒，AC ，BD 的交点为O ，连接1B O ，求三棱锥1B ABO -外接球的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）12548π.试题解析：（1）连接11B D ，∵面//ABCD 面1111A B C D ，面PBD 面ABCD BD =，面PBD 面111111A B C D B D =，∴11//BD B D ，即11B D 为PBD ∆的中位线，∴1B 为PB 中点；（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，1OB 方向为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)B ，1(0,0,)B t，(C，从而()AP t =，(,0)AB =，则13(3,3,)n t=，又∵2(0,0,1)n =，∴1212123||1cos ,2||||n n n n n n ⋅<>===⋅，则32t =，由题可知，OA OB ⊥，1OA OB ⊥，1OB OB ⊥，即三棱锥1B ABO -外接球为以OA ，OB ，1OB 为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为52d ==，即外接球半径为54，则三棱锥1B ABO -外接球的体积为33445125()33448V R πππ===．考点：1.面面平行的性质；2.二面角的求解；3.空间向量在立体几何中的运用．20.（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆内切圆面积的最大值为3π. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析. 试题解析：（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F PF ∆内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =12122F PF F PF r S C ∆∆=⋅，由12F PF C ∆为定值，因此12F PF S ∆也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12(22)22r c b a c ⋅⋅=⋅+，112(42)22t t t ⋅=+，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----，直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----，则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，则116(4,)2y MP m n x =--+，226(4,)2y MQ m n x =--+， 2121266(4)()()022y y MP MQ m n n x x ⋅=-+--=++，即2121266(4)()()033y y MP MQ m n n ty ty ⋅=-+--=++，即22121221212(3612)18()(4)03()9nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，2222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，即2269(4)0nt n m -++-=，若PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，即不论t 为何值时，0MP MQ ⋅=恒成立，因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点(1,0)和(7,0)．考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆锥曲线中的定点问题．21.（本小题满分12分）已知函数22ln ()a x f x x -=在点(1,(1))f 处的切线与直线41y x =-+平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值；（2）若对任意1x ，2x 1(0,]e∈，有1222221212()()||>f x f x k x x x x --⋅，求实数k 的取值范围；【答案】（1）1a =，()f x 有极小值为21()f e e =-；（2）(,4]-∞. 【解析】试题分析：（1）首先求导，根据导数的几何意义可求得a 的值，再根据导数的取值情况确定原函数的极值点；（2）将原不等式变形为122212()()||4f x f x x x ->-，再构造对应函数，将问题等价转化为求函数最值即可.试题解析：（1）由题意得3224ln ()a x f x x --+'=，又∵(1)4f '=-，解得1a =，令33224ln 44ln ()0a x x f x x x --+-+'===，解得x e =，即()f x 有极小值为21()f e e =-；（2）由1222221212()()||f x f x k x x x x ->-⋅，可得122212()()||11f x f x k x x ->-，令21()()g f x x =，则()l n g x x x x =+，其中2[,)x e ∈+∞，()2ln g x x '=+，又∵2[,)x e ∈+∞，则()2ln 4g x x ≥'=+，即122212()()||411f x f x x x ->-，因此实数k 的取值范围是(,4]-∞.考点：导数的综合运用．请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【答案】（1）曲线2C的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）最小值为8.【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可将2C 的极坐标方程化为相应直角方程，即可求解；（2）联立1C ，2C 的方程，将||AB 表示为相应的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos sin ρρθθ=+，因此曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）联立曲线1C 与曲线2C的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===||AB的最小值为8.考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|2|||()f x x x a a R =++-∈.（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式3()2f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥-；（2）(,4]-∞.【解析】试题分析：（1）对a 的取值分类讨论，将问题等价转化为不等号左边的最小值不小于0即可；（2）由题意可知，问题等价于函数()y f x =的图象恒在32y x =的上方，画出两个函数图象，即可得到关于a 的不等式，从而求解.试题解析：（1）当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a ≥-恒成立，即()f x 的最小值|2|a a ≥--，解得1a ≥-；（2）根据函数()f x 图象的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =，∴a 的取值范围是(,4]-∞时，3()2f x x ≥恒成立.考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题；4数形结合的数学思想．。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理)试卷(含答案)

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的）1. 设集合{|||1}A x x =<，{|(3)0}B x x x =-<，则A B =UA. (1,0)-B. (0,1)C. (1,3)-D. (1,3) 2. 若复数11iz i+=-，则||z = A. 1B. 0C.12D. 23.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为A.B.C.D.4. 函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为5. 将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos 2g x x =的图象,则a 的值可以为中国古代的算筹数码 1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式横式A.12π B. 512π C. 1112π D. 1712π 6.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么空白框中的语句及最后输出的n 值分别是A. 和B. 2n n =+和6C. 1n n =+和8D. 2n n =+和8 7. 6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. 24B. 36C. 48D. 60 8. cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A. C. 9. 已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A. 1 C. 2 D. 410.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π11. 已知双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，若其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，使得12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为B. 2C. 2 D . 3 12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ∀∈R ，都有()2f x '>-，则不等式2(log |31|)3|31|x x f -<--的解集为A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞UC. (,1)-∞D. (1,0)(0,3)-U二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数,x y 满足约束条件0405y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≤……，则2z x y =+的最大值为___________. 14. 已知x 、y 取值如下表：14561.33 5.67.4xy m m画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为$1y x =+，则m 的值为_______.（精确到0.1）15.已知函数21(),0()2log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩≤，若()2f a …，则实数a 的取值范围是___________.16. 已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r ，则(4)()PA PB PC PM ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值 ________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =-，在正项等比数列{}n b 中，2245,b a b a ==.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段,AD PB （1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数2()45x af x x x e=-+-.（1）若()f x 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）设g()()xx e f x =，当1m …时，若12g()g()2g()x x m +=，其中12x m x <<，求证：122x x m +<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：4cos (0)2πρθθ=<≤，2C ：cos 3ρθ=.（1）求1C 与2C 的交点的极坐标；（2）设点Q 在1C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|2||23|,f x x x m m =+++∈R . (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； (2) 对于(,0)x ∀∈-∞，都有2()f x x x+…恒成立，求m 的取值范围.长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=-U .故选C. 2. A 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. C 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. D 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5.C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. D 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D 7. A 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A. 8. B 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9. B 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B 由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10. D 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D ，故其外接球的半径为2，其表面积为5π.故选D. 11. B 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而2e =.故选B. 12. B 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 9【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 1.7【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. (,1][4,)-∞-+∞U 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞U .16. 48-本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）Q 2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又Q 数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -=（2）由（1）得：()12nn c n =-⋅∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅L ()23122212n n =⋅+⋅++-⋅L()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L()2341222212n n n T n +-=++++--⋅L()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===~(3,)5X B Q ，()3.55E X np ==⨯=19. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M ,Θ分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴，E Θ为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF Θ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA Θ平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A - 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n PD ，即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ，取()1,0,12=n121212311021cos ,||||n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+ 令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6. 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）Q ()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240xa f x x e'=-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥- ∴设()(42)x h x x e =- x R ∈ ，∴()(22)xh x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e == Q max [(42)]xa x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）Q ()()()245xxg x e f x x x e a ==-+-Q ()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-∴()()()1222211224545245x x mxx e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245xx x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞ ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----Q 0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又Q12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->Q 1x m <，2x m >∴12m x m ->， Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤Θ，6πθ=， 32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，.()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。

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2018 届吉林省长春市普通高中高三一模考试题数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位，则（）A.B.C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择 A 选项.2. 集合的子集的个数为（）A. 4 B. 7 C. 8 D. 16【答案】C【解析】集合含有 3 个元素，则其子集的个数为 .本题选择 C 选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大； ③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选 D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 91页【答案】C 【解析】因为等差数列中，，所以，所以当时前项和取最小值.故选 C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（），有A. 95，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91 【答案】B 【解析】由茎叶图可知，中位数为 92，众数为 86. 故选 B. 6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）A.B.C. 【答案】D 【解析】因为直线D. 的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选 D.7. 已知 A. 8 B. 9 【答案】B，且 C. 12 D. 16，则的最小值为（）【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为 9.本题选择 B 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的2页边长为 1 丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈【答案】B 【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为 3，四棱锥的体积为 2，则刍甍的体积为 5.故选 B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4 B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面 ABCD 的距离 2，矩形 ABCD 所在圆的半径为，从而球的半径.故选 A. 10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和B. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和D. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和【答案】C 【解析】由题意可知，为求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1009 项和.故选C.3页点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1 B. 2 C. 4 D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选 A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）4页13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则__________．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以故答案为 .15. 在中，三个内角的最大值为__________．【答案】，，的对边分别为，若，且，面积【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为 R，由题意可得其体积为：5页当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为 .三、解答题:共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，（Ⅱ）由，综上... 得证. 18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量节数618126页（Ⅰ）现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，求选出的点击量超过 3000 的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费 20 分钟进行剪辑，点击量超过 3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） .【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的 6 节课中有 2 节点击量超过 3000.（Ⅱ）的可能取值为 0，20，40，60则的分布列为 0204060即.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．7页（Ⅰ）证明：（Ⅱ）设平面；，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ） .【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接 . 以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为 .8页【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，则椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 k 的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是 k= .试题解析：(1)由椭圆定义，有，，，从而.(2)设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知 .21. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与（Ⅱ）当时，的图像在点处有相同的切线，求的值；恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明9页时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果.试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即因此整数的最大值为 2.（Ⅲ）由，令不恒成立. ，即，即由此可知，当时，，当时，，当时， …… 当时，， .综上：.10页即.（二）选考题：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3 为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ） .【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t 为参数），圆的极坐标方程为.（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修 4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明11页试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. (2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.12页。