(发给学生)第五章年金的精算现值
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保险精算学生存年金精算现值
显 然 ， m a x a m－ １ x
m
ax
a
－
x
a
x：m
（给出实际解释）
在概率的角度下，上述结论如何得到？是什么样？
一些公式
1.n ax vn n pxaxn n Exaxn
2.a x:n
a x:n
1 n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm m pxaxm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
0
Y
a K 1
a n
amn
a n
0K n n K mn
K mn
mn1
nm ax E Y
a a
k 1
n
k qx
a mn
a n
nm px.
k n
期末付延期n年，定期m年生存年金给付精算现值的结论是什么
样的？
4、延期终身生存年金
用 n ax表 示 某 x岁 人 投 保 一 延 期 n年 进 入 年 金 给 付 ， 每 年 末 给 付
M x v N x N x1
Dx
Dx Dx
Ax vax ax 1 dax 即1 dax Ax
实 际 意 义 是 ?从 概 率 的 角 度 怎 么 证 ？
经 过 变 换 ： Ax 1 dax 实际意义是？
类似地,有
1 da A1
x:n
x:n
d
n ax
A1 x:n
Ax
A va a
x:n
x:n
x:n 1
期末生命年金的现值。
a x:n
n t 1
t Ex
1 Dx
n
Dxt
t 1
年金精算现值
(m) ax
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
第五章年金的精算现值
P(ax
aT )
P(1vT
15.38)
P(vT 0.23)1
0.05
P(e0.0T 5 0.23)1P(T2.93)1 2.9310.01e50.01td5 t 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0t
pxvtdt
例 2：已 x 知 1-x,计算 当 100,0.0x5 3, 时 0 ，
解:
ax
0
t
pxvtdt
0
et
t
.e 0xsd
s
dt
0
e0.06t.e0.04tdt
0
e0.1tdt
b
lim b 0
e0.1tdt
lim( 1 e0.1t b 0.1
)|b0
10
例2：设余 T的命 概率密度 f(t函 )0.数 01－0为 5.0e1(5tt 0)利 , 息
－－
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
Ax:mAx:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VaYr
2Ax(Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
VarY2(ax :n2 ax:n)(a x:n)2
3、延期n年的终身生存年金
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
保险精算学年金的精算现值
年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付 外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出 统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益 来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、 合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散， 缴费也离散） 厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精 算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费
《保险精算学年金》PPT课件
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
最新保险精算-第5章2(2)年金的精算现值课件PPT
M538(4元0)
中西医结合治疗糖尿 病急性并发症
上海中医药大学附属龙华医院 方邦江
中医治疗急症？
急诊科西医占有主导地位，很少使用中医的理论、 方法和手段解决危急重症
存在的问题 思想上对中医治疗危急重症没有信心 中医理论和基本功不扎实 理论不能联系实际 辨证、辨病认识欠清 画地为牢，限制病种 缺乏科学的研究手段
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 da ； x
当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
为A。 x
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
l x 100 72 39
对 va 来v 说 元， 已支 a来 付 1 元 说 ， 尚 ， 而 未
x
x
所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
即A。 x
与寿险的换算公式注意
,
a x
1 A x d
2.定期生存年金
n
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
例4.5
(25)购买了到60岁退休时领取的终身生存年金，每
P 0 .0 8 E a 0.0P 8 0 .1 5 10 3525 60
P1.63
思考题
张发财赢得了金额为一百万元的体育彩票（税后），
张不要求立即支付，而按照精算等价原理得到如下一个
年金：
（1）该年金保证支付10年，每年支付数额为M元；
（2）10年后，若此人生存则继续支付，每年仍为M元；
生存年金的精算现值
资产配置优化
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
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研究不足与展望
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a x E Y a t f t t dt a t [ FT t ]dt
0 0
a t (1 t p x )dt a t ( t p x )dt
0 0
（ a t .t p x）｜
0
0 t
p x .( at )dt
30380 .05
Ax:n 1 a x:n
1 A35:20 2000a 35:20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
10000 e
40
l65 l 25
40
10000 1 0.06
818335 980199
811.6752
1 10000 40 E 25
10000 v 40 ( 40 p25 )1
10000 1 0.06
40
980199 818335
t 0 0
1 v . ln v .t p x dt 1 v t .t p x dt
t 0 0
1 ax
同理可得：
Ax:n 1 a x:n
Ax :n Ax n| a x
m|
a x :n
Ax :m A x :m n
2t
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2
( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 Var Y 2
2
( 1 2 7.375 ) ( 1 10 )2 50 2
0.035
Ax 1 a x
总额支付法－先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的 现值，再求现值的期望值。
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔
付的保险。 也就是我们在第4章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期 生存保险的趸缴纯保费为 1
Ax:n
1
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值
2t 0
2t 0 2t 0
2
v ( tq x ) dt v 2 t .( t p x )dt 2t 0
－( v .t p x ) | ( v ) .t p x dt 1 2 v 2 t . ln v .t p x dt
0
1 2 v .t p x dt 1 2 a x 0
0 t
p x .( a t )dt
0 t
p x .( v s ds)dt
0
t
ax
0 t
p x v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:
ax
ax
0 t
p x v dt 0 e
t
tΒιβλιοθήκη .e 0 x s ds
23258 .59
Ax :n Ax n| a x
A35:10 A35 200010| a 35 2000
1 i 1 i 1 2000 [( A35: 20 A35:20 ) A35 ] / 1 D55 i M 35 M 55 i M 35 2000 [( ) ]/ D35 D35 D35
15315 .87
Ax :m A x :m n m| a x :n A35:10 A35:30 200010| a 35:20 2000
12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
s x :n
t n
a x a x:n
0
n
v
n s
.n s p x ds
0
v .n p x . v s . s p x n ds
n|
a x n E x . a xn
（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方 式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金
终身年金/定期年金
延期年金/非延期年金
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为 Y aT
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v s ds v s lnv |0 v t ln v ln v 0
t
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
a x v k .k p x
k 0
..
Ax ( Ax )2 Var( a x ) d2
.. 2
例 已知 i 0.05
x lx dx
a x:n
n
0 t
p x v t dt
1 例2：已知 x , 计算当 100, 0.05, x 30时， -x 30年定期生存年金的精算 现值
解: a30:30
30 t
0
p30v dt e
t
30
x s ds t 0
1 t 70
t
n E A v n px n x x:n
1 注： n E x A 称为精算折现因子 , 称为累积因子 n Ex
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁， 可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
1 0.06 14116.1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(ax:n a x:n ) (a x:n )2
2
3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )
123205.37
第二节 连续给付型年金
连续生存年金的定义
在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金
的保险
连续生存年金的种类 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 现实支付法 总额支付法
一、连续给付型终身生存年金
假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年 给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为 a x
解:
t
－
－
ax
0 t
p x v t dt
p x fT ( t )dt 0.015e 0.015 t dt e 0.015 t t t
0.065 t
a x e 0.015t .e 0.05 t dt 0 e
0
e 0.065 t dt |0 15.38 0.065
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
m|
a x:n m E x . a x m:n
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x
0
0
v fT t dt
t
t
0
t dt v ( q ) v FT t dt 0 t x
0 0
a t (1 t p x )dt a t ( t p x )dt
0 0
（ a t .t p x）｜
0
0 t
p x .( at )dt
30380 .05
Ax:n 1 a x:n
1 A35:20 2000a 35:20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
10000 e
40
l65 l 25
40
10000 1 0.06
818335 980199
811.6752
1 10000 40 E 25
10000 v 40 ( 40 p25 )1
10000 1 0.06
40
980199 818335
t 0 0
1 v . ln v .t p x dt 1 v t .t p x dt
t 0 0
1 ax
同理可得：
Ax:n 1 a x:n
Ax :n Ax n| a x
m|
a x :n
Ax :m A x :m n
2t
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2
( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 Var Y 2
2
( 1 2 7.375 ) ( 1 10 )2 50 2
0.035
Ax 1 a x
总额支付法－先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的 现值，再求现值的期望值。
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔
付的保险。 也就是我们在第4章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期 生存保险的趸缴纯保费为 1
Ax:n
1
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值
2t 0
2t 0 2t 0
2
v ( tq x ) dt v 2 t .( t p x )dt 2t 0
－( v .t p x ) | ( v ) .t p x dt 1 2 v 2 t . ln v .t p x dt
0
1 2 v .t p x dt 1 2 a x 0
0 t
p x .( a t )dt
0 t
p x .( v s ds)dt
0
t
ax
0 t
p x v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:
ax
ax
0 t
p x v dt 0 e
t
tΒιβλιοθήκη .e 0 x s ds
23258 .59
Ax :n Ax n| a x
A35:10 A35 200010| a 35 2000
1 i 1 i 1 2000 [( A35: 20 A35:20 ) A35 ] / 1 D55 i M 35 M 55 i M 35 2000 [( ) ]/ D35 D35 D35
15315 .87
Ax :m A x :m n m| a x :n A35:10 A35:30 200010| a 35:20 2000
12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
s x :n
t n
a x a x:n
0
n
v
n s
.n s p x ds
0
v .n p x . v s . s p x n ds
n|
a x n E x . a xn
（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方 式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金
终身年金/定期年金
延期年金/非延期年金
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为 Y aT
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v s ds v s lnv |0 v t ln v ln v 0
t
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
a x v k .k p x
k 0
..
Ax ( Ax )2 Var( a x ) d2
.. 2
例 已知 i 0.05
x lx dx
a x:n
n
0 t
p x v t dt
1 例2：已知 x , 计算当 100, 0.05, x 30时， -x 30年定期生存年金的精算 现值
解: a30:30
30 t
0
p30v dt e
t
30
x s ds t 0
1 t 70
t
n E A v n px n x x:n
1 注： n E x A 称为精算折现因子 , 称为累积因子 n Ex
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁， 可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
1 0.06 14116.1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(ax:n a x:n ) (a x:n )2
2
3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )
123205.37
第二节 连续给付型年金
连续生存年金的定义
在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金
的保险
连续生存年金的种类 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 现实支付法 总额支付法
一、连续给付型终身生存年金
假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年 给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为 a x
解:
t
－
－
ax
0 t
p x v t dt
p x fT ( t )dt 0.015e 0.015 t dt e 0.015 t t t
0.065 t
a x e 0.015t .e 0.05 t dt 0 e
0
e 0.065 t dt |0 15.38 0.065
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
m|
a x:n m E x . a x m:n
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x
0
0
v fT t dt
t
t
0
t dt v ( q ) v FT t dt 0 t x