考研数学各章.ppt

例 1 求 z ln(1 x2 y2 )在点(1，2)处的偏导数．
解 偏导数
z x
1
2x x2
y2
， z y
1
2y x2
y2
,
在(1，2)处的偏导数就是偏导数在(1，2)处的值，
所以
z x
(1, 2 )
1 ， z 3 y
(1, 2 )
2. 3
例2
设
f
(x,
y
)
=
e
arctan
y x
ln( x 2
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x 0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y)在点(x0 , y0 )处对 x 的偏
导数，记为
z x
f
x x0 y y0
,
x
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ).
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
lim f (x, y) A或 lim f (x, y) A.
( x, y )( x0 , y0 )
xx0 y y0
同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的 四则运算法则．
2. 二元函数的连续性
定义 2 设函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某邻域内 有定义，如果
u = x y ．把 z 和 x 暂时看作常量对 y 求导，得 x x2 y2 z
u y x ．把 x 和 y 暂时看作常量对 z 求导，得 y x2 y2 z
u z
xy z2
．
高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y)的两个偏导数 z ， z ， x y
一般说来，它们仍然是自变量 x, y 的函数．如果 z ， x
的偏导数都存在，且这个偏导数仍是 x, y 的函数，称
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
y
)
为函数
z
f
(x, y) 对自变量
x 的偏导
数.
类似地，可以定义函数z f (x, y) 对自变量 y 的偏
导数，记为
z y
,
f y
,
z
y或f
y
(
x,
y)
.
偏导数的求法： 从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一 个自变量固定，而将二元函数z f (x, y) 看成是另一个自 变量的一元函数的导数．因此，求二元函数的偏导数, 只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量， 而对另一个自变量进行一元函数求导即可．
dz Ax By.
定理 1 若z f (x, y) 在点(x, y) 处可微，则它在该点 一定连续．
定理 3 (可微的充分条件) 若z f (x, y) 在点 (x, y)处的两个偏导数连续，则z f (x, y) 在该点一定可 微．
全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函 数．例如若三元函数u f (x, y, z) 具有连续偏导数，则 其全微分的表达式为
z 的偏导数存在，可以继续对 x或 y 求偏导数，则称 y 这两个偏导数的偏导数为函数 z f (x, y)的二阶偏数．这
样的二阶偏导数共有四个，分别表示为
(z ) x x
2z x 2
f xx (x, y),
(z ) 2 z y x xy
f xy (x, y),
(z ) x y
2z yx
第八讲 多元函数微分学
一、多元函数的极限及连续性 二、偏导数 三、全微分 四、多元函数的极值
一、二元函数的极限与连续性
1. 二元函数的极限
定义 1 设二元函数 z f (x, y)，如果当点 (x, y)以任
意方式趋向点(x0 , y0 )时，f (x, y)总趋向于一个确定的常数 A，那么就称 A是二元函数 f (x, y)当 (x, y) (x0 , y0 )时的 极限，记为
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
z y
x y y0
,
f y
xx0 , z y
y y0
xx0 或f y (x0 , y0 ).
y y0
如果函数z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y)处对 x
y2 )，求
fx
(1,0) ．
解 如果先求偏导数 fx (x, y) ，运算是比较繁杂的， 但是若先把函数中的 y 固定在 y 0，则有
f (x,0) 2 ln x ，从而
fx (x,0) =
2 x
， fx (1,0) 2 ．
例 3 求u x2 y2 xy 的偏导数．
z
解 把 y 和 z 暂时看作常量对 x 求导，得
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 )
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．如果
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y)在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
示为关于x，y的线性函数与一个比 (x)2 (y)2
高阶的无穷小之和，即
z f (x x, y y) f (x, y) Ax By o(). 其中， A, B 与x，y 无关，只与 x, y 有关，o()是 当 0时比 高阶的无穷小，则称二元函数 z f (x, y)
在 点 (x, y) 处 可 微 ， 并 称 Ax By 是 z f (x, y) 在 点 (x, y)处的全微分，记作
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
二、偏导数
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0 , y0 )的某一邻域内有
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有改变量 x时相应地函数
有改变量 f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )如果极限
f yx (x, y),
y
(z ) y
2z y 2
f yy (x, y).
定理 若z f (x, y) 的两个二阶混合偏导数在点 (x, y)连续，则在该点有
2z 2z . xy yx
三、全微分
定义 设有二元函数 z f (x, y)，如果在点 (x, y) 处，函数的全增量 z f (x x, y y) f (x, y) 可以表
du u dx u dy u dz . x y z