根据张宇高数视频总结的考研数学知识点PPT课件
张宇高数笔记
张宇高数笔记第一章节极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡）④它有保号性。
数列极限存在的解题手段：①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x n ?A |<=""> 根据题设条件得出x n+1和x n 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x n+1=f(x n )，f (ξ)=ξ；则x n+1?x n =f (x n )?f(x n?1)，|x n+1?ξ|=|f (x n )?f (ξ)| （2）任何|f ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|f (x 1)?f (x 2)|≤k|x 1?x 2| （3）若知f(x)的单调性，可把x n+1和x n 的大小判断转化为对f (x n+1)和f(x n )的判断。
（4）若给出x n+1=f(x n )，f ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x n+1?x 0|=|f (x n )?f (x 0)|=|f′(ξ)(x n ?x 0)|≤A|(x n ?x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x n =∑f(n,k)n k=1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路）②唯一性、有界性、保号性。
③?ε>0,?δ>0,当0<|x ?x 0|<δ时，有|f (x )?A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
重要结论与具体解题技巧：①闭区间上连续的函数必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。
②无穷项相加的放缩：n ×u min ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max 有限项相加（且u i ≥0）的放缩：1×u max ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max ③诸如1x 2之类的形式难以处理，想到用倒代换。
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
张宇高数讲义
ex lim e x→+∞ x
− e−x + e−x
=
lim
x→+∞
ex ex
+ −
e−x e−x
= lim e x e x→+∞ x
− e−x + e−x
，
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形——分子分母同乘 e−x ，得到
lim e x e x→+∞ x
F+ ( x) =
lim
x→0+
⎛ ⎜⎝
sin
x
+
π 4
x−
4 3
⎞ ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
1 3
x3
x
+x−
4⎞ 3 ⎟⎠ 不存在，即不可导 ⇒
F′(x) ≠
f
(x)
请注意，我们还有更好的方法解决这个问题吗？
【例
2】
f
(
x
)
=
⎧⎪2 ⎨
x
cos
1 x2
+ 2 sin x
1 x2
,
x≠0 ,
⎪⎩0,
x=0
F
x2
+
1,
⎨
⎪⎩cos x +
π 4
,
x≤0 ,
x>0
F ( x) = x f (t ) dt ，则： −1
( A) F ( x)为f ( x)的一个原函数 (C ) F ( x)在(-∞，+∞)上不连续
( B) F ( x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f ( x)的原函数 ( D) F ( x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f ( x)的原函数
根据张宇高数视频总结的考研数学知识点
2 ln(1 sin ) sin d (sin )
2 0 1 2
令t sin
= 2 ln(1 t )tdt
2 0
1
0 0
令x1t 2 ln(1 t )d (1 t )
2 2 0 1 1 0
ln xdx x ln x| xd (ln x)
1
0
r dr. 1 r
2
于是分别只需计算
2 0
ln(1 tan ) sin 2 d 和
2
1
0
r dr即可. 1 r
2
2 0
ln(1 tan ) sin 2 d
2
2
2 0
1 ln sin cos d 2 cos
2 0 2
2 ln cos sin cos d
r ln(1 tan ) 2 原式= J (r , )drd 0 0 1 r
1 2
r ln(1 tan ) 2 r sin 2 drd 0 0 1 r
1 2
ln(1 tan ) sin 2 d
2 0 2
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6
1 对于不定积分 2 dx作一次变换， 2 ( x 1) x 1 2t 2 2 令t , 则x 1 , x 1 , dx dt 2 x 1 1 t 1 t (1 t ) 1 1 dx dx 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 t 2 1 t 2 2 ( ) ( ) dt 2 2t 2 (1 t ) 1 1 t 2 ( ) dt 8 t
张宇老师带你学高数上册导学 全
存在准则 两个重要极限（注意
两个重要极 极限成立的条件，熟 限 悉等价表达式）
掌握（两个重要极限 要会证明）【重点
】，“柯西极限存在 准则”考研不要求.
例1-4 4
利用函数极限求数列
极限
无穷小阶的概念（同
例1-5，例1
阶无穷小、等价无穷 小、高阶无穷小、低 §1.7无穷 阶无穷小、k阶无穷
掌握【重点】
掌握 掌握【重点】 掌握【重点】
§ 4.4 有 理 有理函数积分法，可 函数积分 化为有理函数的积分
§ 4.5 积 分 考研不作要求
表的使用
会求
总习题四
总结归纳本章的基本 概念、基本定理、基 本公式、基本方法
必做例题 精做练习
P192习4-1: 例1-3，5- 1(1),2(5)(8)(
15 13)(17)(19)( 21) (25),5,7
掌握
掌握 掌握 掌握
必做例题 精做练习 ——
例1-5 例6-10 例11-13
P286习6-2: 1(1)(4),2(1), 4,5(1),7,9,1 1,12,15(1)(3 ) ,16,19,21,22 (数二，数 三不用 做),28(数 二，数三不 用做)
例1-5
P293习6-3: 5,11（数三 全不用做）
方程
不要求）
例1-2
P314习7-3: 1(1)(5),2(2)
一阶线性微分方程的形式和解 掌握（熟记公式）
法 §7.4一阶
线性微分方
程
伯努利方程的形式和解法（记
1(5)(10)(12) 例1-10
(15)(16),2,3,
4
§3.3泰勒 泰勒中值定理 公式 麦克劳林展开式
(张宇)线性代数冲刺讲义(张宇)
式;(2) a11 0 .计算行列式 A . 解 由 aij Aij A A AA AA A E A A A 0 或 A 1 .又
T * T *
2 2 2 A a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 a12 a13 0 A 1.
)
你会继续证明下去吗？
【例 1】设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵,则线性方程组 ( AB) x 0 ( (A)当 n m 时仅有零解. (C)当 m n 时仅有零解. 解 (B)当 n m 时必有非零解. (D)当 m n 时必有非零解.
r ( AB) min{r ( A), r ( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵.选(D).
因此有
*
AG | A || B | En * * ,所以应有 G | B | A , H | A | B BH | A || B | E n | B | A* 0 ，选择（D）. | A | B* 0 A1 C 1 O
* 1
于是 C
（A）
| A | A*
0
G 0 A 0 * | C | , G 、 H 是 n 阶方阵 | A || B | ，设 C 0 H 0 B 0 A 0 G 0 AG CC * 0 B 0 H 0 BH 0 | A || B | En | A || B | E2 n 0 | A | B | En
ab b a a 2 b 2 ab b 2 a2 a ， c2 c1 a b ba 2 2 a b
n n
ab a 2 b 2 ab b a b ba 2 2 a b
张宇考研数学基础30讲线性代数分册
内容摘要
本书介绍了二次型的定义、性质和标准型，以及二次型的配方法和正定性。同时，还讲解了二次 型与对称矩阵的关系，以及如何利用二次型解决实际问题。 内容全面：本书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，从基本概念到解题技巧都有详细的 讲解。 实用性强：本书不仅注重知识点的讲解，还提供了大量的例题和练习题，便于学生理解和掌握。 难度适中：本书的难度适中，既不过于简单也不过于复杂，适合大多数学生的需求。 语言简洁易懂：本书的语言简洁易懂，易于理解和学习。
阅读感受
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》读后感
作为一名数学爱好者，我一直对张宇老师的数学课程抱有极高的兴趣。最近， 我阅读了张宇老师的《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》，这本书给我留下 了深刻的印象，让我对线性代数有了更深入的理解。
这本书的内容非常丰富，涵盖了线性代数的各个方面，包括矩阵、向量、行 列式、特征值、空间等。每个主题都从基础概念讲起，逐步引入复杂的理论和应 用。同时，书中还配有很多实例和练习题，这些题目非常有代表性，有助于读者 加深对知识的理解和应用。
张宇考研数学基础30讲线性 代数分册
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
讲解
向量
分册
数学
介绍
线性
包括
数学
基础
矩阵 方程组
定义
张宇
利用
二次型
考研
对角
性质
知识
内容摘要
内容摘要
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》是一本专门针对考研数学线性代数部分的辅导教材。本 书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值 与特征向量、矩阵的对角化、二次型等。 本书首先介绍了行列式的定义、性质和计算方法，包括展开式和递推式等。同时，还讲解了克拉 默法则，以及如何利用行列式解线性方程组。 矩阵是线性代数的核心概念之一。本书详细介绍了矩阵的定义、性质和操作，包括矩阵的加法、 减法、乘法、转置等。还讲解了逆矩阵的概念和计算方法，以及如何利用矩阵解线性方程组。 向量是线性代数的基本对象之一。本书介绍了向量的定义、性质和操作，包括向量的加法、数乘、 内积和外积等。同时，还讲解了向量组的线性相关性和向量组的秩，以及如何利用向量解线性方 程组。
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(x2 x 1)2
(x2 x 1)2
(x2 x 1)2
1
1 (2x 1) 3
dx 2
2 dx
(x2 x 1)
(x2 x 1)2
(x2
1 x
1)
dx
1 2
(2x 1) (x2 x 1)2
dx
3 2
(x2
1 x
1)2
dx
第一项
(
x2
1 x
1)
dx
d(x 1) 2
24
令tx 1
2
3
2
dt
t
2
3 2
2
2
由公式
(t 2
dt a2)2
1 2a2
(t
2
t a2)
dt
(t
2
a2
)
=
1 2a2
(t
2
t
a2)
1 a
arctan
t a
a2 3
4 a 3 2
则原式=
(t2
t
3)
2 arctan 3
2 3
t
C
x1 2
x2 x 1
2r cos sin
y y sin2 2r sin cos
r
2r sin cos r sin 2.
1
原式=
2
1 r ln(1 tan2 )J (r, )drd
00
1 r
2
1 r ln(1 tan2 )r sin 2 drd
00
1 r
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d
(x
1 2
)2
3 2
2
2 arctan 3
2 (x 1) 32
第二项 1
2
(2x 1) (x2 x 1)2
dx
1 2
d (x2 x 1) (x2 x 1)2
1 2
(x2
1 x
1)
C.
10
第三项 3
1
dx= 3
d(x 1) 2
2 (x2 x 1)2
2 [(x 1)2 3]2
方法2：递推公式Ik
dt (t 2 1)k
t2 (t
1 2
t2 1)k
dt
t2
1
1
Ik1 (t2 1)k dt Ik1 2(k 1) td ((t 2 1)k1 )
Ik 1
1[ 2(k 1) (t2
t 1)k 1
Ik 1]
整理得：Ik
=
2(k
t 1)(t 2
1)k 1
2k 2(k
3 1)
Ik 1
dt
(t 2 1)2
1 2
t
(t
2
1)
t
dt 2 1
=
2(t
t
2
1)
1 2
arctan
t
C.
12
一道不定积分的解答：
(
x
x6 2
1)2
dx
解：将被积函数分子x6 (x2 11)3
在x2 1处二项式展开，得
x6 (x2 11)3 1 3(x2 1) 3(x2 1)2 (x2 1)3
(x y) ln(1 y )
计算二重积分I D
x dxdy， 1 x y
其中D (x, y) | x y 1，x 0，y 0.
解法1：由区域D的图形 知，可用极坐标计算该二重积分。
令
x
y
r cos2 r sin2
，其中0
r
1，0
2
.
x x
由于J (r, ) r
cos2
0
=4
0
lnt tdt 2
0 ln td (t 2 )
1
1
| 2t2 ln t 0 2
0t2
1 dt 2
1
tdt 1
1
1t
0
4
1 0
r2 1
r
dr
则 r1令 t t2,d1rr 2tdt
2 0 (1 t2 )2tdt
1t
2 1(t4 2t2 1)dt 0
| 2(1 t5 2 t3 t) 1
53
0
2
8 15
16 15
.
综上所述，原式=116 = 16 .
15 15
5
6
解法2：首先由于x与y具有轮换对称性，故有
I
= D
(x
y) ln(1 1 x y
y x
) dxdy
D
(
y
x) ln(1 1 y x
x y
) dydx
2I
D
(x
y) ln(1 1 x y
y) dxdy
D
(x
y) ln(1 1 x y
于是
x6 (x2 1)2
=
(x2
1 1)2
3 (x2 1)
3
(x2
1)
故原式=
(
x
2
1 1)2
3 (x2 1)
3
(x2
1)dx
1 x3 2x 3 ln x 1
3
2 x 1
1 (x2 1)2 dx
13
对于不定积分 1 dx作一次变换，
(x2 1)2
令t
x x
1 ,则x 1
1
2t 1t
x) y dxdy
(x y)[ln(1 y ) ln(1 x )]
D
x 1 x y
y dxdy
7
(x y) ln (x y)2
D
xy dxdy 1 x y
2 D
(
x
y) ln(x 1 x
y
y)dxdy
2 D
(
x y) 1 x
ln xdxdy y
于是I =
1
dx
1x (x y) ln(x y) dy
2 arctan 3
2 3
(
x
12 )
C.
4
11
求 dt 的两种方法
(t 2 1)2 方法1：令 t tan z, dt sec2 zdz,则
dt
(t2 1)2 =
sec2 zdz sec4 z =
1 sec2
dz z
cos2zdz 1 (z 1 sin 2z) 22
将z arctan( 2 (x 1))代入即可。 32
1
ln xdx
1 x
x y
0
0
1 x y
0
0 1 x y
视令xx为常y数u 得I =
1
dx
0
1 u ln u du
x 1u
1
ln xdx
0
1 x
u du 1u
8
变换积分次序，得：
I
1
du
u u ln u dx
1
u
u
du ln xdx
0 0 1u
0 1u 0
1 u2 ln udu 1
,
x
1
2 1t
, dx
2 (1 t)2
dt
(x2
1 1)2
dx
(
x
1 1)2 (
x
1)
2
dx
(1 t 2t
)2
(1 2
t
)2
2 (1 t)2
dt
1 8
(1
t
t
)2dt
14
1 12
8 (t2 t 1)dt
1 ( 1 2 ln t t) C 8t
u
u
du ln xdx
0 1u
0 1u 0
1 u2 ln u
1u
0
1 u du 0
(u ln u u)du 1u
1 u2
16
0
du . 1 u 15
9
求不定积分
x2 2 (x2 x 1)2 dx
解：原式
(x2 x 1) (x 1) dx
(x2 x 1) dx
x 1 dx
1
r2
dr.
0
0 1 r
2
于是分别只需计算
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d和
1
r2
dr即可.
0
0 1 r
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d 0
2 2 ln
1
sin cos d
0 cos2
4 2 ln cos sin cos d 0 3
4
2 ln cos
cos d (cos ) 令tcos